[A-L] (2023/24) Lezione 8 - Esercizio 5

[Elia-Belli]

Dimostrare la seguente proprietà sull'anello $(\mathbb{Z},+,\cdot)$:

• Siano $a,b,c \in \mathbb{Z},\ a\neq 0,\ (b,c)\neq (0,0)$, $MCD(ab,ac)=|a|MCD(b,c)$

[Elia-Belli]

Sia $d=MCD(ab,ac)=|a|MCD(b,c)$ e $d'= MCD(b.c)$
per (Bezout) : $d=(ab)x_0+(ac)y_0$, e $d'=bx_1+cy_1$
$d=|a|d' \Rightarrow (ab)x_0+(ac)y_0 = |a|(bx_1+cy_1) \Rightarrow a(bx_0+cy_0) = |a|(bx_1+cy_1)$
Questa uguaglianza è verificata per $(x_1=x_0,y_1=y_0)$ se $a>0$, e per $(x_1=-x_0,y_1=-y_0)$ se $a<0$

[CiottoloMaggico]