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% Filename: lista14.tex
%
% This code is part of 'Solutions for MT402, Matrizes'
%
% Description: This file corresponds to the solutions of homework sheet 14.
%
% Created: 08.05.12 09:34:01 PM
% Last Change: 29.06.12 05:40:35 PM
%
% Authors:
% - Raniere Silva (2012): initial version
%
% Copyright (c) 2012 Raniere Silva <[email protected]>
%
% This work is licensed under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License. To view a copy of this license, visit http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/ or send a letter to Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA.
%
% This work is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.
%
Considere a matriz $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ e $\lambda_i$ seus autovalores.
\begin{questions}
\question A matriz $A$ \'{e} singular se e somente se $\lambda = 0$ \'{e} um autovalor de $A$.
\begin{solution}
Primeiro vamos mostrar que se $A$ \'{e} singular ent\~{a}o $\lambda = 0$ \'{e} um autovalor.
Se $A$ \'{e} singular ent\~{a}o $\det(A)=0$ e, portanto, $\det(A - 0I) = 0$. Logo, $0$ \'{e} autovalor.
Agora vamos mostrar que se $\lambda = 0$ \'{e} um autovalor ent\~{a}o $A$ \'{e} singular.
Se $\lambda = 0$ \'{e} um autovalor ent\~{a}o $\det(A - 0I) = 0$ e, portanto $\det(A) = 0$. Logo, $A$ \'{e} singular.
\end{solution}
\question Se $A$ \'{e} n\~{a}o singular e se $(\lambda, v)$ \'{e} um autopar de $A$, ent\~{a}o, $(\lambda^{-1}, v)$ \'{e} um autopar de $A^{-1}$.
\begin{solution}
Se $A$ \'{e} n\~{a}o singular ent\~{a}o existe $A^{-1}$ tal que $A A^{-1} = A^{-1} A = I$. Se $(\lambda, v)$ \'{e} autopar de $A$ ent\~{a}o
\begin{align*}
A v &= \lambda v \\
A^{-1} A v &= A^{-1} \lambda v \\
I v &= \lambda A^{-1} v \\
\lambda^{-1} v &= A^{-1} v,
\end{align*}
i.e., $(\lambda^{-1}, v)$ \'{e} um autopar de $A^{-1}$.
\end{solution}
\question $A$ e $A^t$ possuem os mesmos autovalores? Justifique.
\begin{solution}
$A$ e $A^t$ possuem os mesmos autovalores. Suponhamos que $\lambda$ \'{e} um autovalor de $A$, ent\~{a}o $\det(A - \lambda I) = 0$ e portanto
\begin{align*}
\det(A - \lambda I)^t &= \det\left( (A - \lambda I)^t \right) \\
&= \det(A^t - (\lambda I)^t) \\
&= \det(A^t - \lambda I).
\end{align*}
Logo, $\lambda$ \'{e} um autovalor de $A^t$.
\end{solution}
\question $A$ e $A^H$ possuem os mesmos autovalores? Justifique.
\begin{solution}
$A$ e $A^H$ n\~{a}o possuem os mesmos autovalores. Suponhamos que $\lambda$ \'{e} um autovalor de $A$, ent\~{a}o $\det(A - \lambda I) = 0$ e portanto
\begin{align*}
\det(A - \lambda I)^H &= \det\left( (A - \lambda I)^H \right) \\
&= \det(A^H - \lambda^H I) \\
&= \det(A^H - \bar{\lambda} I).
\end{align*}
Logo, $\bar{\lambda}$ \'{e} um autovalor de $A^H$.
\end{solution}
\question A matriz $\alpha A$ possui autovalores $\alpha \lambda_i$.
\begin{solution}
Seja $(\lambda, v)$ um autopar de $A$, ent\~{a}o $A v = \lambda v$ e
\begin{align*}
(\alpha A) v &= \alpha A v \\
&= \alpha \lambda v.
\end{align*}
Logo, $\alpha \lambda$ \'{e} um autovalor de $\alpha A$.
\end{solution}
\question Os autovalores de $A^r$ s\~{a}o $\lambda_i^r$, onde $r$ \'{e} um inteiro positivo.
\begin{solution}
Seja $(\lambda, v)$ um autopar de $A$, ent\~{a}o $A v = \lambda v$ e
\begin{align*}
A^2 v &= A (A v) \\
&= A A v \\
&= A \lambda v \\
&= \lambda^2 v.
\end{align*}
Aplicando repetidamente o processo anterior concluimos que $\lambda^r$ \'{e} um autovalor de $A^r$, onde $r$ \'{e} um inteiro positivo.
\end{solution}
\question Se $A$ \'{e} hermitiana ent\~{a}o seus autovalores s\~{a}o reais.
\begin{solution}
Suponhamos que $\lambda$ \'{e} um autovalor de $A$, ent\~{a}o $\det(A - \lambda I) = 0$ e portanto
\begin{align*}
\det(A - \lambda I)^H &= \det\left( (A - \lambda I)^H \right) \\
&= \det(A^H - \lambda^H I) \\
&= \det(A - \overline{\lambda} I).
\end{align*}
Logo, $\lambda = \overline{\lambda}$, i.e., $\lambda \in \mathbb{R}$, \'{e} um autovalor de $A$.
\end{solution}
\question Se $A$ \'{e} real sim\'{e}trica ent\~{a}o seus autovalores s\~{a}o reais.
\begin{solution}
Seja $(\lambda, v)$ um autopar da matriz $A$, ent\~{a}o $A v = \lambda v$ e $\overline{A v} = \overline{\lambda v}$. Como $A$ \'{e} real, temos que $A \overline{v} = \overline{\lambda v}$. Ent\~{a}o
\begin{align*}
\lambda (v \overline{v}) &= (\lambda v) \overline{v} = A v \overline{v} = A \overline{v} v = \overline{\lambda v} v = \overline{\lambda} (v \overline{v})
\end{align*}
e portanto $\lambda = \overline{\lambda}$ que implica em $\lambda \in \mathbb{R}$.
\end{solution}
\question Se $A$ \'{e} real sim\'{e}trica definida positiva ent\~{a}o seus autovalores s\~{a}o positivos.
\begin{solution}
Seja $(\lambda, v)$ um autopar da matriz $A$, ent\~{a}o $A v = \lambda v$. Ent\~{a}o
\begin{align*}
v^t A v &= v^t \lambda v = \lambda \| v \|.
\end{align*}
Como $A$ \'{e} sim\'{e}trica definida positiva temos que $v^t A v > 0$, $v \neq 0$ e portanto $\lambda > 0$.
\end{solution}
\question Se $A$ \'{e} ortogonal ent\~{a}o $| \lambda_i | = 1$.
\begin{solution}
Se $A$ \'{e} ortogonal ent\~{a}o $A^H A = I$. Seja $(\lambda, v)$ um autopar de $A$ e portanto,
\begin{align*}
A v &= \lambda v \\
A^H A v &= A^H \lambda v \\
I v &= \lambda A^H v \\
v &= \lambda \bar{\lambda} v.
\end{align*}
Logo, $\lambda \bar{\lambda} = 1$ que corresponde a $|\lambda| = 1$.
\end{solution}
\question Para as normas induzidas a partir das normas vetoriais $p$: $\| A \|_p \geq | \lambda_i |, \forall i$.
\begin{solution}
Seja $(\lambda, v)$ um autopar de $A$, ent\~{a}o
\begin{align*}
\| A \|_p &= \max \| A x \|_p / \| x \| p \\
&\geq \max \| A v \|_p / \| v \|_p \\
&= \max \| \lambda v \|_p / \| v /|_p \\
&\geq max | \lambda | \| v \|_p / \| v \|_p \\
&= \lambda.
\end{align*}
\end{solution}
\question Os autovalores de $A + \alpha I$ s\~{a}o $\lambda_i + \alpha$.
\begin{solution}
Seja $(\lambda, v)$ um autopar de $A$, ent\~{a}o $A v = \lambda v$ e
\begin{align*}
(A + \alpha I) v &= A v + \alpha I v \\
&= \lambda v + \alpha v \\
&= (\lambda + \alpha)v.
\end{align*}
Logo, $\lambda + \alpha$ \'{e} autovalor de $A + \alpha I$.
\end{solution}
\question Enuncie e demonstre o teorema dos discos de Gerchgorin. Exemplifique como empregar o resultado deste teorema para localiza\c{c}\~{a}o dos autovalores de uma matriz $A$.
\begin{solution}
% TODO Fazer esse exerc\'{i}cio.
\end{solution}
\question Usando o teorema dos discos de Gerschgorin, demonstre que uma matriz diagonalmente dominante \'{e} n\~{a}o singular.
\begin{solution}
% TODO Fazer esse exerc\'{i}cio.
\end{solution}
\question Considerando o teorema abaixo
\begin{quote}
Se a uni\~{a}o $\mathcal{U}$ de $k$ discos de Gerschgorin n\~{a}o tangencia qualquer um dos demais $n - k$ c\'{i}rculos, ent\~{a}o existem exatamente $k$ autovalores, contando suas multiplicidades, nos discos em $\mathcal{U}$. (Meyer\nocite{Meyer:2000:matrix}, cap. 7, p\'{a}g, 498).
\end{quote}
verifique que a matriz
\begin{align*}
A &= \begin{bmatrix}
1 & 0 & -2 & 0 \\
0 & 12 & 0 & -4 \\
1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 5 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\end{align*}
possui pelo menos dois autovalores reais.
\begin{solution}
% TODO Fazer esse exerc\'{i}cio.
\end{solution}
\question Demonstre que a matriz $A : n \times n$, $a_{ii} = n$, $i = 1, \ldots, n$ e $a_{ij} = 1$, $i \neq j$ \'{e} n\~{a}o singular.
\begin{solution}
% TODO Fazer esse exerc\'{i}cio.
\end{solution}
\end{questions}