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% Filename: lista08.tex
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% This code is part of 'Solutions for MT402, Matrizes'
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% Description: This file corresponds to the solutions of homework sheet 08.
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% Created: 19.04.12 13:20:15
% Last Change: 04.06.12 05:12:14 PM
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% Authors:
% - Raniere Silva (2012): initial version
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% Copyright (c) 2012 Raniere Silva <[email protected]>
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% This work is licensed under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License. To view a copy of this license, visit http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/ or send a letter to Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA.
%
% This work is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.
%
\begin{questions}
\question[Trefthen - Lecture 6] Um projetor \'{e} uma matriz $P : n \times n$ que satisfaz $P^2 = P$ (matriz idempotente).
\begin{parts}
\part Se $v \in \EIof{P}$, ent\~{a}o $P v = v$.
\begin{solution}
$v \in \EIof{P} \rightarrow v = P x, x \in \mathbb{R}^n$. Ent\~{a}o, $P v = P (Px) = P^2(x) = Px = v$.
\end{solution}
\part O vetor $(v - Pv)$ pertence a $\ENof{P}$.
\begin{solution}
$P (v - Pv) = Pv - P^2v = Pv - Pv = 0$.
\end{solution}
\part No item anterior foi introduzida a matriz $I - P$ uma vez que, $v - Pv = (I - P)v$. $I - P$ tamb\'{e}m \'{e} um projetor.
\begin{solution}
$(I - P)^2 - (I - P)(I - P) = I - 2P + P^2 = I - 2P + P = I - P$.
Resultado: se $P$ \'{e} projetor, ent\~{a}o, $I - P$ tamb\'{e} \'{e} projetor.
\end{solution}
\part $\EIof{I - P} = \ENof{P}$.
\begin{solution}
Primeiro vamos provar que $\EIof{I - P} \subseteq \ENof{P}$.
Se $w \in \EIof{I - P}$, ent\~{a}o $w = (I - P) y$, $y \in \mathbb{R}^n$, e $P w = P (I - P) y = P y - P^2 y = P y - P y = 0$, portanto, $w \in \ENof{P}$.
Agora vamos provar que $\ENof{P} \subseteq \EIof{I - P}$.
$z \in \ENof{P} \rightarrow P z = 0 \rightarrow P z - z + z = 0 \rightarrow (I - P) z = z \rightarrow z \in \mathbb{I - P}$.
Resultado: $\EIof{I - P} = \ENof{P}$ e $\EIof{P} = \ENof{I - P}$.
\end{solution}
\part $\EIof{P}$ e $\ENof{P}$ s\~{a}o subespa\c{c}os complementares em $\mathbb{R}^n$.
\begin{solution}
%$\EIof{P} \cap \ENof{P} = \{0\}
$\forall w \in \EIof{P} \cap \ENof{P}$, tem-se que $P w = w$ e $P w = 0$, logo, $\EIof{P} \cap \ENof{P} = {0}$. $\forall v \in \mathbb{R}^n : v = v - P v + Pv = Pv + (I - P)v = v_1 + v_2$ com $v_1 \in \EIof{P}$ e $v_2 \in \EIof{I - P}$ (e pelo resultado do item anterior: $v_2 \in \ENof{P}$).
E, esta forma de representar $v$ \'{e} única, pois: se existir outra representa\c{c}\~{a}o para $v$, $v = r_1 + r_2$ com$r_1 \in \EIof{P}$ e $r_2 \in \ENof{P}$ e $r_2 \in \ENof{P}$, subtraindo esta representa\c{c}\~{a}o da anterior, teremos: $0 = P v + (I - P)v - (r_1 + r_2) = (Pv - r_1) + ((I - P)v - r_2)) \rightarrow (P v - r_1) = -( (I - P) v - r_2) $ com $(P v - r_1) \in \EIof{P}$ e $( (I - P)v - r_2) \in \EIof{I - P} = \ENof{P}$. Logo estes veores est\~{a}o na interse\c{c}\~{a}o de $\EIof{P}$ e $\ENof{P}$, e portanto, s\~{a}o iguais ao vetor nulo. Logo, $r_1 = P v$ e $r_2 = (I - P)v$ e portanto a representa\c{c}\~{a}o \'{e} única.
Resultado: $\mathbb{R}^n = \EIof{P} + \ENof{P}$ ou $\mathbb{R}^n = \EIof{P} + \EIof{I - P}$ e portanto, se $\postoof{P} = r$, temos $\postoof{\EIof{I - P}} = \postoof{\ENof{P}} = n - r$.
\end{solution}
\end{parts}
\question Encontre um exemplo de matriz $P : 2 \times 2$ que seja um projetor (n\~{a}o deve ser ortogonal). Interprete geometricamente esta proje\c{c}\~{a}o mostrando os subespa\c{c}os $\EIof{P}$ e $\ENof{P}$.
\begin{solution}
Se $P$ \'{e} um projetor ent\~{a}o $P^2 = P$ que implica em $P^2 - P = P(I - P) = 0$. Logo,
\begin{align*}
P &= \begin{bmatrix}
1 / 2 & 1 / 4 \\
1 & 1 / 2
\end{bmatrix}
\end{align*}
\'{e} um projetor n\~{a}o ortogonal.
\end{solution}
\question[Equa\c{c}\~{a}o 5.13.9, p\'{a}gina 433, do Meyer\nocite{Meyer:2000:matrix}] Demonstre que um projetor $P$ \'{e} ortogonal se e somente se $P = P^t$.
\begin{solution}
Se $P$ \'{e} um projetor ortogonal, ent\~{a}o
\begin{align*}
P_M &= M \left( M^t M \right)^{-1} M^t
\end{align*}
garante que $P$ \'{e} sim\'{e}trico. E se $P$ \'{e} sim\'{e}trico, ent\~{a}o $P$ deve ser projetor ortogonal pois $\text{Im}(A)^\perp = \text{N}(A^t)$ e $\text{N}(A)^\perp = \text{Im}(A^t)$ que permite escrever $P = P^t \rightarrow \text{Im}(P) = \text{Im}(P^t) \rightarrow \text{Im}(P) \perp \text{N}(P)$.
\end{solution}
\question Demonstre que se $P$ \'{e} um projetor ent\~{a}o para qualquer norma matricial induzida de normas vetoriais (norma-p): $\| P \|_p \geq 1$.
\begin{solution}
Se $P$ \'{e} um projetor e $x \in \text{Im}(P)$ ent\~{a}o a igualdade a seguir \'{e} v\'{a}lida para todo $v$:
\begin{align*}
P^2 v = P \left( P v \right) = P x = x = P v.
\end{align*}
Ent\~{a}o
\begin{align*}
\| P \|_P &= \max_{v \neq 0} \| P v \|_p / \| v \|_p \\
&\geq \| P x \|_p / \| x \|_p \\
&= \| x \|_p / \| x \|_p = 1.
\end{align*}
\end{solution}
\question[Equa\c{c}\~{a}o 5.13.10, p\'{a}gina 4.33, do Meyer\nocite{Meyer:2000:matrix}] Demonstre que se $P$ \'{e} um projetor ortogonal ent\~{a}o $\| P \|_2 = 1$.
\begin{solution}
Se $M$ e $N$ s\~{a}o subespa\c{c}os complementares e se $P_{MN}$ \'{e} o projetor obl\'{i}quo de $M$ em $N$ ent\~{a}o
\begin{align*}
\sin(\theta_{m \times n}) &= 1 / \| P_{MN} \|_2
\end{align*}
e, consequentemente, $\| P \|_2 = 1 / \sin(\theta)$, onde $\theta$ \'{e} o \^{a}ngulo entre $\text{Im}(P)$ e $\text{N}(P)$. Deste modo fica claro que $\| P \|_2 \geq 1$ para todo projetor e $\| P \|_2 = 1$ se e somente se $\theta = \pi / 2$, i.e., se e somente se $\text{Im}(P) \perp \text{N}(P)$.
\end{solution}
\question Seja $w \in \mathbb{R}^n$ e a matriz $P = \left( w w^t \right) / \left( w^t w \right)$. Demonstre que $P$ \'{e} um projetor orotogonal. Interprete geometricamente a a\c{c}\~{a}o da matriz $P$ em vetore do $\mathbb{R}^n$. Fa\c{c}a um gr\'{a}fico considerando $n = 2$.
\begin{solution}
Pela defini\c{c}\~{a}o temos que $P$ \'{e} um projetor ortogonal se e somente se
\begin{enumerate}
\item $P^2 = P$:
Temos que
\begin{align*}
P^2 &= P P \\
&= \left( \frac{w w^t}{w^t w} \right) \left( \frac{w w^t}{w^t w} \right) \\
&= \left( w w^t w w^t \right) / \| w \|_2^4 \\
&= \| w \|_2^2 \left( w w^t \right) / \| w \|_2^4 \\
&= w w^t / w^t w = P.
\end{align*}
\item $P = P^t$:
Verificamos que $P = P^t$ pois $w w^t = \left( w w^t \right)^t$.
\end{enumerate}
A interpreta\c{c}\~{a}o geom\'{e}trica \'{e} que $\text{Im}(P)$ \'{e} o plano definido por $w w^t$.
Para $n = 2$ temos
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\draw[->] (-0.2, 0) -- (6.2, 0) node[below right] {$x_1$};
\draw[->] (0, -0.2) -- (0, 3.2) node[above right] {$x_2$};
\draw[->, color=red] (0,0) -- (1, 0.5) node[below right] {$(1 ,0.5)^t$};
\draw[->, color=red] (0,0) -- (5, 2.5) node[below right] {$P (1, 0.5)^t$};
\draw[->, color=green] (0,0) -- (0.5, 1) node[above right] {$(0.5, 1)^t$};
\draw[->, color=green] (0,0) -- (4, 2) node[below right] {$P (0.5, 1)^t$};
\draw[->, color=blue] (0,0) -- (0.5, 0.5) node[above right] {$(0.5 ,0.5)^t$};
\draw[->, color=blue] (0,0) -- (3, 1.5) node[below right] {$P (0.5 ,0.5)^t$};
\draw[dotted] (0,0) -- (4,2);
\draw[->] (0,0) -- (2,1) node[below right] {$w$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{solution}
\question Projetores com Bases Orotogonais: Considere a matriz $\hat{Q} : m \times n$ com vetores coluna $q_j$ tais que $q_j^* q_i = 0$, $i \neq j$, e $q_j^* q_j = 1$. Demonstre que a matriz $P = \hat{Q} \hat{Q}^*$ \'{e} um projetor ortogonal.
\begin{solution}
Pela defini\c{c}\~{a}o temos que $P$ \'{e} um projetor ortogonal se e somente se
\begin{enumerate}
\item $P^2 = P$:
Temos que
\begin{align*}
P^2 &= P P \\
&= \hat{Q} \hat{Q}^* \hat{Q} \hat{Q}^* \\
&= \hat{Q} I \hat{Q}^* && \text{$q_j^* q_i = 0$, $i \neq j$, e $q_j^* q_j = 1$} \\
&= \hat{Q} \hat{Q}^* = P.
\end{align*}
\item $P = P^*$:
Verificamos que $P = P^t$ pois $\hat{Q} \hat{Q}^* = \left( \hat{Q} \hat{Q}^* \right)^*$.
\end{enumerate}
\end{solution}
\question[Exemplo 5.13.3, p\'{a}gina 434, do Meyer\nocite{Meyer:2000:matrix}] Projetores com Bases Arbitr\'{a}rias: Considere $A : m \times n$, $\postoof{A} = n$ e o subespa\c{c}o $\EIof{A}$. Deduza a express\~{a}o para $P$, projetor ortogonal sobre $\EIof{A}$.
\begin{solution}
Seja $B_{m \times r}$ e $N_{n \times n - r}$ matrizes cujas colunas s\~{a}o bases de $\text{Im}(A)$ e $\text{N}(A)$, respectivamente. O Teorema da decomposi\c{c}\~{a}o ortogonal diz que $\text{Im}(A)^\perp = \text{N}(A^t)$ e $\text{N}(A)^\perp = \text{Im}(A^t)$, ent\~{a}o utilizando
\begin{align*}
P_M &= M \left( M^t M \right)^{-1} M^t, \\
P_{M^\perp} &= N \left( N^t N \right)^{-1} N^t, \\
P_{M^\perp} & = I - P_M,
\end{align*}
podemos escrever
\begin{align*}
P_{\text{Im}(A)} &= B \left( B^t B \right)^{-1} B^t, \\
P_{\text{N}(A^t)} &= P_{\text{Im}(A)^\perp} = I - P_{\text{Im}(A)} = I - B \left( B^t B \right)^{-1} B^t, \\
P_{\text{N}(A)} &= N \left( N^t N \right)^{-1} N^t, \\
P_{\text{Im}(A^t)} &= P_{\text{N}(A)^\perp} = I - P_{\text{N}(A)} = I - N \left( N^t N \right)^{-1} N^t.
\end{align*}
E quando $\text{posto}(A) = n$, todas as colunas de $A$ s\~{a}o bas\'{i}cas e
\begin{align*}
P_{\text{Im}(A)} &= A \left( A^t A \right)^{-1} A^t.
\end{align*}
\end{solution}
\question Seja $w \in \mathbb{R}^n$ tal que $\| w \|_2 = 1$ e defina $Q : n \times n$ por $Q = I - 2 w w^t = I - 2P$ onde $P = w w^t$. Demonstre que:
\begin{parts}
\part $Q w = - w$.
\begin{solution}
Temos que
\begin{align*}
Q w &= \left( I - 2 w w^t \right) w \\
&= w - 2 w w^t w \\
&= w - 2 w \| w \|_2^2 \\
&= -w && \| w \|_2 = 1.
\end{align*}
\end{solution}
\part $Q v = v$ se $<w, v> = 0$.
\begin{solution}
Temos que
\begin{align*}
Q v &= \left( I - 2 w w^t \right) v \\
&= v - 2 w w^t v \\
&= v - 2 w <w, v> \\
&= v && <w, v> = 0.
\end{align*}
\end{solution}
\part $Q$ \'{e} sim\'{e}trica e ortogonal.
\begin{solution}
Primeiro vamos mostrar que $Q$ \'{e} sim\'{e}trica:
\begin{align*}
Q^t &= \left( I - 2 w w^t \right)^t \\
&= I^t - 2 \left( w w^t \right)^t \\
&= I - 2 \left( w^t \right)^t w^t \\
&= I - 2 w w^t = Q.
\end{align*}
E agora que $Q$ \'{e} ortogonal, i.e., $Q^2 = I$:
\begin{align*}
Q Q &= \left( I - 2 w w^t \right) \left( I - 2 w w^t \right) \\
&= I - 2 w w^t - 2 w w^t + 4 w w^t w w^t \\
&= I - 4 w w^t + 4 \| w \|_2^2 w w^t \\
&= I && \| w \|_2 = 1.
\end{align*}
\end{solution}
\end{parts}
\question Dado $z = (5, 2)^t$. Defina: $v = (-\| z \|_2, 0)^t$ e $u = z - v$. Interprete geometricamente a a\c{c}\~{a}o das matrizes $P = (u u^t) / (u^t u)$, $R = I - P$ e $Q = I - 2p$ em vetores do $\mathbb{R}^2$.
\begin{solution}
Temos que $v = (- \sqrt{29}, 0^t$ e $u = (5 + \sqrt{29}, 2)^t$. Logo,
\begin{align*}
P &= \begin{bmatrix}
10.20 & 1.96 \\
1.96 & 0.38
\end{bmatrix}, \\
R &= \begin{bmatrix}
-9.20 & -1.96 \\
-1.96 & 0.62
\end{bmatrix}, \\
Q &= \begin{bmatrix}
-19.39 & -3.93 \\
-3.93 & 0.24
\end{bmatrix},
\end{align*}
onde $P$ \'{e} um projetor ortogonal, $R = I - P$ \'{e} o projetor complementar e $Q = I - 2P$ \'{e} um refletor.
A seguir uma ilustra\c{c}\~{a}o, fora de escala, da a\c{c}\~{a}o de cada um destes operadores.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=0.25]
\draw[->] (-16.2, 0) -- (16.2, 0) node[below right] {$x_1$};
\draw[->] (0, -4.2) -- (0, 4.2) node[above right] {$x_2$};
\draw[->, color=blue] (0,0) -- (1,1) node[above right] {$(1, 1)^t$};
\draw[->, color=blue] (0,0) -- (12.16, 2.34) node[above right] {$P (1, 1)^t$};
\draw[->, color=blue] (0,0) -- (-11.16, -1.34) node[above left] {$R (1, 1)^t$};
\draw[->, color=blue] (0,0) -- (-23.32, -3.68) node[below right] {$Q (1, 1)^t$};
\draw[->, color=red] (0,0) -- (-0.5, 1.00) node[above left] {$(-0.5 ,1)^t$};
\draw[->, color=red] (0,0) -- (-3.13, -0.60) node[below right] {$P (-0.5, 1)^t$};
\draw[->, color=red] (0,0) -- (2.63, 1.60) node[above left] {$R (-0.5, 1)^t$};
\draw[->, color=red] (0,0) -- (5.77, 2.20) node[above left] {$Q (-0.5, 1)^t$};
\draw[->] (0,0) -- (5,2) node[below right] {$z$};
\draw[dotted] (-15.57, -3.00) -- (15.57, 3.00);
\draw[->] (0,0) -- (10.38, 2.00) node[below right] {$z$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{solution}
\question Demonstre que se $P$ \'{e} um projetor ortogonal ent\~{a}o $I - 2P$ \'{e} uma amtriz sim\'{e}trica e ortogonal. Interprete geometricamente.
\begin{solution}
Se $P$ \'{e} um projetor ortogonal ent\~{a}o $P^2 = P$ e $P = P^t$.
Primeiro vamos mostrar que $I - 2P$ \'{e} sim\'{e}trica:
\begin{align*}
\left( I - 2 P \right)^t &= I^t - 2 P^t \\
&= I - 2 P && P = P^t .
\end{align*}
E agora que $I - 2P$ \'{e} ortogonal, i.e., $\left( I - 2 P \right)^2 = I$:
\begin{align*}
\left( I - 2 P \right) \left( I - 2 P \right) &= I - 2 P - 2 P + 4 P P \\
&= I - 4 P + 4 P && P^2 = P \\
&= I .
\end{align*}
\end{solution}
\end{questions}