From 0bf1d5f787edeb964e6916d43d6c6ccddf069cd7 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: SammyMar <samuel.martins7@hotmail.com>
Date: Thu, 24 Aug 2023 15:24:42 -0300
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-<title>Ciência de Dados Aplicada à Saúde Materno-Infantil - 11&nbsp; Análise de Componentes Principais (PCA).</title>
+<title>Ciência de Dados Aplicada à Saúde Materno-Infantil - 10&nbsp; Análise de Componentes Principais (PCA).</title>
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     <h2 id="toc-title">Índice</h2>
    
   <ul>
-  <li><a href="#introdução." id="toc-introdução." class="nav-link active" data-scroll-target="#introdução."><span class="header-section-number">11.1</span> Introdução.</a></li>
-  <li><a href="#como-realizar-a-análise-de-componentes-principais." id="toc-como-realizar-a-análise-de-componentes-principais." class="nav-link" data-scroll-target="#como-realizar-a-análise-de-componentes-principais."><span class="header-section-number">11.2</span> Como realizar a análise de componentes principais.</a></li>
-  <li><a href="#número-de-componentes-principais-e-redução-da-dimensionalidade." id="toc-número-de-componentes-principais-e-redução-da-dimensionalidade." class="nav-link" data-scroll-target="#número-de-componentes-principais-e-redução-da-dimensionalidade."><span class="header-section-number">11.3</span> Número de componentes principais e ReduçãO da dimensionalidade.</a></li>
-  <li><a href="#interpretação-do-componentes-principais-de-uma-amostra." id="toc-interpretação-do-componentes-principais-de-uma-amostra." class="nav-link" data-scroll-target="#interpretação-do-componentes-principais-de-uma-amostra."><span class="header-section-number">11.4</span> Interpretação do componentes principais de uma amostra.</a></li>
+  <li><a href="#introdução." id="toc-introdução." class="nav-link active" data-scroll-target="#introdução."><span class="header-section-number">10.1</span> Introdução.</a></li>
+  <li><a href="#como-realizar-a-análise-de-componentes-principais." id="toc-como-realizar-a-análise-de-componentes-principais." class="nav-link" data-scroll-target="#como-realizar-a-análise-de-componentes-principais."><span class="header-section-number">10.2</span> Como realizar a análise de componentes principais.</a></li>
+  <li><a href="#número-de-componentes-principais-e-redução-da-dimensionalidade." id="toc-número-de-componentes-principais-e-redução-da-dimensionalidade." class="nav-link" data-scroll-target="#número-de-componentes-principais-e-redução-da-dimensionalidade."><span class="header-section-number">10.3</span> Número de componentes principais e ReduçãO da dimensionalidade.</a></li>
+  <li><a href="#interpretação-do-componentes-principais-de-uma-amostra." id="toc-interpretação-do-componentes-principais-de-uma-amostra." class="nav-link" data-scroll-target="#interpretação-do-componentes-principais-de-uma-amostra."><span class="header-section-number">10.4</span> Interpretação do componentes principais de uma amostra.</a></li>
   </ul>
 </nav>
     </div>
@@ -277,7 +277,7 @@ <h2 id="toc-title">Índice</h2>
 
 <header id="title-block-header" class="quarto-title-block default">
 <div class="quarto-title">
-<h1 class="title"><span class="chapter-number">11</span>&nbsp; <span class="chapter-title">Análise de Componentes Principais (PCA).</span></h1>
+<h1 class="title"><span class="chapter-number">10</span>&nbsp; <span class="chapter-title">Análise de Componentes Principais (PCA).</span></h1>
 </div>
 
 
@@ -292,15 +292,15 @@ <h1 class="title"><span class="chapter-number">11</span>&nbsp; <span class="chap
 
 </header>
 
-<section id="introdução." class="level2" data-number="11.1">
-<h2 data-number="11.1" class="anchored" data-anchor-id="introdução."><span class="header-section-number">11.1</span> Introdução.</h2>
+<section id="introdução." class="level2" data-number="10.1">
+<h2 data-number="10.1" class="anchored" data-anchor-id="introdução."><span class="header-section-number">10.1</span> Introdução.</h2>
 <p>A Análise de Componentes Principais (PCA) é uma técnica que busca resumir a variação presente em um conjunto de dados multivariados através de combinações lineares de suas variáveis originais, que são correlacionadas. O objetivo principal é reduzir a dimensionalidade dos dados, representando um grande número de variáveis originais em um número menor de componentes principais. Essas novas variáveis são ordenadas em ordem decrescente de importância, de modo que a primeira componente principal capture a maior quantidade possível da variabilidade total dos dados, e as subsequentes capturem cada vez menos.</p>
 <p>A primeira componente principal é calculada de forma a maximizar a variância explicada pelos dados, ou seja, ela é a direção ao longo da qual os dados apresentam a maior variação possível. As demais componentes são ortogonais à primeira e são combinações lineares das variáveis originais, indicando a importância relativa de cada variável naquele componente. Note então, que por essa definição já podemos perceber a relação com os autovetores e autovetores associados.</p>
 <p>O PCA tem diversas aplicações em áreas como estatística, engenharia e ciência de dados, sendo usado para resumir grandes conjuntos de dados, detectar padrões e estruturas latentes, identificar outliers e reduzir o ruído presente nos dados. Além disso, ele é comumente utilizado como uma técnica de pré-processamento de dados para outras técnicas de análise, como regressão e clustering.</p>
 <p>Uma aplicação comum do PCA é na identificação de variáveis latentes em um conjunto de dados, que não são diretamente observáveis, mas podem ser inferidas a partir de outras variáveis observáveis correlacionadas entre si.Um exemplo de variável latente na obstetrícia pode ser a “saúde fetal” ou até mesmo a “saúde materna”. Não pode ser diretamente medida ou observada, mas pode ser inferida a partir de múltiplas variáveis observáveis, como a frequência cardíaca fetal, a pressão arterial materna entre outras.</p>
 </section>
-<section id="como-realizar-a-análise-de-componentes-principais." class="level2" data-number="11.2">
-<h2 data-number="11.2" class="anchored" data-anchor-id="como-realizar-a-análise-de-componentes-principais."><span class="header-section-number">11.2</span> Como realizar a análise de componentes principais.</h2>
+<section id="como-realizar-a-análise-de-componentes-principais." class="level2" data-number="10.2">
+<h2 data-number="10.2" class="anchored" data-anchor-id="como-realizar-a-análise-de-componentes-principais."><span class="header-section-number">10.2</span> Como realizar a análise de componentes principais.</h2>
 <p>O primeiro passo é entender a definição matemática real das componentes principais. Seja <span class="math inline">\(\boldsymbol{X}\)</span> um vetor aleatório com <span class="math inline">\(\boldsymbol{\mu} = E(\boldsymbol{X})\)</span> e <span class="math inline">\(\boldsymbol \Sigma = Var(\boldsymbol{X})\)</span> e <span class="math inline">\((\lambda_i,e_i), i = 1,\dots,p\)</span> os pares de autovalores e autovetores normalizados associados de <span class="math inline">\(\Sigma\)</span>. Então,</p>
 <p><span class="math display">\[
 \begin{split}
@@ -370,8 +370,8 @@ <h2 data-number="11.2" class="anchored" data-anchor-id="como-realizar-a-análise
 <p>As componentes principais podem ser obtidas a partir de variáveis padronizadas. A padronização das variáveis é comumente realizada na análise de componentes principais para garantir que as variáveis tenham a mesma escala e evitar que uma variável com maior variabilidade domine a análise em detrimento das outras. Bem como estudado em variáveis aleatórias, a padronização das variáveis é feita subtraindo-se a média de cada variável e dividindo-se pelo desvio padrão. Dessa forma, todas as variáveis terão média zero e desvio padrão igual a um.</p>
 <p>No código anterior, a padronização das variáveis não foi realizada, porem é recomendado padronizar as variáveis antes de realizar qualquer análise de componentes principais, isso pode ser feito de maneira simples utilizando o comando <code>scale</code>. Ao realizar essa transformação, trabalhar com a matriz de covariâncias das variáveis transformadas equivale a trabalhar com a matriz de correlação.</p>
 </section>
-<section id="número-de-componentes-principais-e-redução-da-dimensionalidade." class="level2" data-number="11.3">
-<h2 data-number="11.3" class="anchored" data-anchor-id="número-de-componentes-principais-e-redução-da-dimensionalidade."><span class="header-section-number">11.3</span> Número de componentes principais e ReduçãO da dimensionalidade.</h2>
+<section id="número-de-componentes-principais-e-redução-da-dimensionalidade." class="level2" data-number="10.3">
+<h2 data-number="10.3" class="anchored" data-anchor-id="número-de-componentes-principais-e-redução-da-dimensionalidade."><span class="header-section-number">10.3</span> Número de componentes principais e ReduçãO da dimensionalidade.</h2>
 <p>A escolha do número ideal de componentes principais é uma etapa crucial ao aplicar a Análise de Componentes Principais (PCA) em um conjunto de dados. A seleção adequada de componentes pode garantir a retenção da maior parte da variância dos dados, ao mesmo tempo em que reduz a dimensionalidade do problema. Abaixo são apresentados alguns dos métodos atualmente utilizados para número <span class="math inline">\(d\)</span> de componentes retidas.</p>
 <ul>
 <li><em>Variância explicada</em></li>
@@ -409,8 +409,8 @@ <h2 data-number="11.3" class="anchored" data-anchor-id="número-de-componentes-p
 <p>Usando o gráfico discutido no Método de variância explicada, você pode selecionar o número inicial de componentes principais e obter o conjunto de dados reduzido (transformado). Em seguida, você constrói um modelo de regressão ou classificação e mede seu desempenho por meio do RMSE ou da pontuação de precisão. Em seguida, você altera ligeiramente o número de componentes principais, constrói o modelo novamente e mede a pontuação de desempenho. Após repetir essas etapas várias vezes, você pode selecionar o melhor número de componentes principais que realmente oferece a melhor pontuação de desempenho.</p>
 <p>Observe que a pontuação de desempenho do modelo depende de outros fatores também. Por exemplo, depende do estado aleatório da divisão dos conjuntos de treinamento e teste, quantidade de dados, desequilíbrio de classes, número de árvores no modelo (se o modelo for uma floresta aleatória ou uma variante similar), número de iterações definidas durante a otimização, valores discrepantes e valores ausentes nos dados, etc. Portanto, tenha cuidado ao usar este método!</p>
 </section>
-<section id="interpretação-do-componentes-principais-de-uma-amostra." class="level2" data-number="11.4">
-<h2 data-number="11.4" class="anchored" data-anchor-id="interpretação-do-componentes-principais-de-uma-amostra."><span class="header-section-number">11.4</span> Interpretação do componentes principais de uma amostra.</h2>
+<section id="interpretação-do-componentes-principais-de-uma-amostra." class="level2" data-number="10.4">
+<h2 data-number="10.4" class="anchored" data-anchor-id="interpretação-do-componentes-principais-de-uma-amostra."><span class="header-section-number">10.4</span> Interpretação do componentes principais de uma amostra.</h2>
 <p>Após realizar a Análise de Componentes Principais (PCA) em um conjunto de dados, é importante interpretar os componentes principais resultantes para entender a estrutura e os padrões presentes nos dados. A interpretação dos componentes principais envolve analisar os coeficientes de ponderação das variáveis originais em cada componente, ou loadings, como apresentado nas sessões anteriores.</p>
 <p>Uma forma comum de interpretar os loadings é observar os valores absolutos e as diferenças entre eles. Valores absolutos altos indicam uma forte contribuição da variável para a respectiva componente principal, enquanto valores baixos indicam uma contribuição fraca. Além disso, diferenças significativas entre os valores absolutos dos loadings de uma variável em diferentes componentes podem indicar a presença de padrões específicos relacionados a essa variável.</p>
 <p>Por exemplo, suponha que estamos analisando um conjunto de dados com indicadores de saúde que inclui variáveis como taxa de mortalidade infantil, taxa de natalidade, gastos com saúde per capita, entre outras. Após realizar a PCA, obtemos as componentes principais. Podemos então examinar os loadings para interpretar os padrões presentes nos dados.</p>
@@ -663,7 +663,7 @@ <h2 data-number="11.4" class="anchored" data-anchor-id="interpretação-do-compo
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 <p>Os autovetores são representados por setas que partem do centro de massa dos dados e indicam a direção e a magnitude da variação dos dados nessa direção. A magnitude da variação é dada pelo valor do autovalor correspondente a cada autovetor, que indica a importância daquele eixo.</p>
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-<title>Ciência de Dados Aplicada à Saúde Materno-Infantil - 10&nbsp; Aprendizado Não Supervisionado</title>
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   <a href="./supervisionada.html" class="sidebar-item-text sidebar-link">
  <span class="menu-text"><span class="chapter-number">8</span>&nbsp; <span class="chapter-title">Aprendizado supervisionado</span></span></a>
   </div>
-</li>
-        <li class="sidebar-item">
-  <div class="sidebar-item-container"> 
-  <a href="./introducao_algebra.html" class="sidebar-item-text sidebar-link">
- <span class="menu-text"><span class="chapter-number">9</span>&nbsp; <span class="chapter-title">Introdução à Algebra Linear</span></span></a>
-  </div>
 </li>
         <li class="sidebar-item">
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   <a href="./naosupervisionado.html" class="sidebar-item-text sidebar-link active">
- <span class="menu-text"><span class="chapter-number">10</span>&nbsp; <span class="chapter-title">Aprendizado Não Supervisionado</span></span></a>
+ <span class="menu-text"><span class="chapter-number">9</span>&nbsp; <span class="chapter-title">Aprendizado Não Supervisionado</span></span></a>
   </div>
 </li>
         <li class="sidebar-item">
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   <a href="./PCA.html" class="sidebar-item-text sidebar-link">
- <span class="menu-text"><span class="chapter-number">11</span>&nbsp; <span class="chapter-title">Análise de Componentes Principais (PCA).</span></span></a>
+ <span class="menu-text"><span class="chapter-number">10</span>&nbsp; <span class="chapter-title">Análise de Componentes Principais (PCA).</span></span></a>
   </div>
 </li>
         <li class="sidebar-item sidebar-item-section">
@@ -250,7 +244,7 @@
           <li class="sidebar-item">
   <div class="sidebar-item-container"> 
   <a href="./introducao_algebra.html" class="sidebar-item-text sidebar-link">
- <span class="menu-text"><span class="chapter-number">9</span>&nbsp; <span class="chapter-title">Introdução à Algebra Linear</span></span></a>
+ <span class="menu-text"><span class="chapter-number">B</span>&nbsp; <span class="chapter-title">Introdução à Algebra Linear</span></span></a>
   </div>
 </li>
           <li class="sidebar-item">
@@ -271,15 +265,15 @@
     <h2 id="toc-title">Índice</h2>
    
   <ul>
-  <li><a href="#clustering-ou-agrupamentos" id="toc-clustering-ou-agrupamentos" class="nav-link active" data-scroll-target="#clustering-ou-agrupamentos"><span class="header-section-number">10.0.1</span> Clustering ou Agrupamentos</a></li>
-  <li><a href="#redução-de-dimensionalidade" id="toc-redução-de-dimensionalidade" class="nav-link" data-scroll-target="#redução-de-dimensionalidade"><span class="header-section-number">10.0.2</span> Redução de dimensionalidade</a></li>
-  <li><a href="#análise-de-agrupamentos" id="toc-análise-de-agrupamentos" class="nav-link" data-scroll-target="#análise-de-agrupamentos"><span class="header-section-number">10.1</span> Análise de Agrupamentos</a>
+  <li><a href="#clustering-ou-agrupamentos" id="toc-clustering-ou-agrupamentos" class="nav-link active" data-scroll-target="#clustering-ou-agrupamentos"><span class="header-section-number">9.0.1</span> Clustering ou Agrupamentos</a></li>
+  <li><a href="#redução-de-dimensionalidade" id="toc-redução-de-dimensionalidade" class="nav-link" data-scroll-target="#redução-de-dimensionalidade"><span class="header-section-number">9.0.2</span> Redução de dimensionalidade</a></li>
+  <li><a href="#análise-de-agrupamentos" id="toc-análise-de-agrupamentos" class="nav-link" data-scroll-target="#análise-de-agrupamentos"><span class="header-section-number">9.1</span> Análise de Agrupamentos</a>
   <ul class="collapse">
-  <li><a href="#métodos-por-particionamento" id="toc-métodos-por-particionamento" class="nav-link" data-scroll-target="#métodos-por-particionamento"><span class="header-section-number">10.1.1</span> Métodos por Particionamento</a></li>
-  <li><a href="#métodos-hierárquicos" id="toc-métodos-hierárquicos" class="nav-link" data-scroll-target="#métodos-hierárquicos"><span class="header-section-number">10.1.2</span> Métodos Hierárquicos</a></li>
-  <li><a href="#dbscan" id="toc-dbscan" class="nav-link" data-scroll-target="#dbscan"><span class="header-section-number">10.1.3</span> DBSCAN</a></li>
-  <li><a href="#agrupamento-espectral" id="toc-agrupamento-espectral" class="nav-link" data-scroll-target="#agrupamento-espectral"><span class="header-section-number">10.1.4</span> Agrupamento Espectral</a></li>
-  <li><a href="#validação-do-modelo" id="toc-validação-do-modelo" class="nav-link" data-scroll-target="#validação-do-modelo"><span class="header-section-number">10.1.5</span> Validação do Modelo</a></li>
+  <li><a href="#métodos-por-particionamento" id="toc-métodos-por-particionamento" class="nav-link" data-scroll-target="#métodos-por-particionamento"><span class="header-section-number">9.1.1</span> Métodos por Particionamento</a></li>
+  <li><a href="#métodos-hierárquicos" id="toc-métodos-hierárquicos" class="nav-link" data-scroll-target="#métodos-hierárquicos"><span class="header-section-number">9.1.2</span> Métodos Hierárquicos</a></li>
+  <li><a href="#dbscan" id="toc-dbscan" class="nav-link" data-scroll-target="#dbscan"><span class="header-section-number">9.1.3</span> DBSCAN</a></li>
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+  <li><a href="#validação-do-modelo" id="toc-validação-do-modelo" class="nav-link" data-scroll-target="#validação-do-modelo"><span class="header-section-number">9.1.5</span> Validação do Modelo</a></li>
   </ul></li>
   </ul>
 </nav>
@@ -289,7 +283,7 @@ <h2 id="toc-title">Índice</h2>
 
 <header id="title-block-header" class="quarto-title-block default">
 <div class="quarto-title">
-<h1 class="title"><span class="chapter-number">10</span>&nbsp; <span class="chapter-title">Aprendizado Não Supervisionado</span></h1>
+<h1 class="title"><span class="chapter-number">9</span>&nbsp; <span class="chapter-title">Aprendizado Não Supervisionado</span></h1>
 </div>
 
 
@@ -306,18 +300,18 @@ <h1 class="title"><span class="chapter-number">10</span>&nbsp; <span class="chap
 
 <p>O aprendizado de máquina pode ser dividido em duas categorias principais: aprendizado supervisionado e aprendizado não supervisionado. O aprendizado supervisionado é uma abordagem que utiliza um conjunto de dados rotulados para treinar um modelo de aprendizado de máquina. Por outro lado, o aprendizado não supervisionado não utiliza rótulos, mas em vez disso, tenta encontrar padrões e estruturas no conjunto de dados sem qualquer orientação externa.</p>
 <p>Em geral, o aprendizado não supervisionado é usado quando não há classificação sobre os dados disponível ou quando os dados rotulados são muito escassos. Ele pode ser usado para várias tarefas, incluindo clustering (agrupamento) e redução de dimensionalidade.</p>
-<section id="clustering-ou-agrupamentos" class="level3" data-number="10.0.1">
-<h3 data-number="10.0.1" class="anchored" data-anchor-id="clustering-ou-agrupamentos"><span class="header-section-number">10.0.1</span> Clustering ou Agrupamentos</h3>
+<section id="clustering-ou-agrupamentos" class="level3" data-number="9.0.1">
+<h3 data-number="9.0.1" class="anchored" data-anchor-id="clustering-ou-agrupamentos"><span class="header-section-number">9.0.1</span> Clustering ou Agrupamentos</h3>
 <p>O clustering é uma técnica de aprendizado não supervisionado em que os dados são agrupados com base em sua similaridade. Em outras palavras, os dados que são mais semelhantes são postos em uma mesma classificação, enquanto os dados que são diferentes são agrupados em classificações diferentes.</p>
 <p>Existem vários algoritmos de clustering disponíveis, incluindo o algoritmo k-means, o clustering hierárquico e o DBSCAN. O algoritmo k-means é um dos algoritmos de clustering mais populares por conta da sua fácil compreensão e aplicação, além de sua eficiência.</p>
 </section>
-<section id="redução-de-dimensionalidade" class="level3" data-number="10.0.2">
-<h3 data-number="10.0.2" class="anchored" data-anchor-id="redução-de-dimensionalidade"><span class="header-section-number">10.0.2</span> Redução de dimensionalidade</h3>
+<section id="redução-de-dimensionalidade" class="level3" data-number="9.0.2">
+<h3 data-number="9.0.2" class="anchored" data-anchor-id="redução-de-dimensionalidade"><span class="header-section-number">9.0.2</span> Redução de dimensionalidade</h3>
 <p>A redução de dimensionalidade é uma técnica de aprendizado não supervisionado usada para reduzir o número de variáveis em um conjunto de dados. Ou seja, reduz a dimensionalidade do espaço de características dos dados, enquanto tenta preservar a maior parte da informação original. A redução de dimensionalidade pode ser usada para simplificar o modelo e, portanto, torná-lo mais fácil de interpretar ou para acelerar o treinamento do modelo.</p>
 <p>Existem vários algoritmos de redução de dimensionalidade disponíveis, incluindo a Análise de Componentes Principais (PCA), a Análise Fatorial e a T-SNE. O PCA é um dos algoritmos de redução de dimensionalidade mais populares e será o aqui trabalhado.</p>
 </section>
-<section id="análise-de-agrupamentos" class="level2" data-number="10.1">
-<h2 data-number="10.1" class="anchored" data-anchor-id="análise-de-agrupamentos"><span class="header-section-number">10.1</span> Análise de Agrupamentos</h2>
+<section id="análise-de-agrupamentos" class="level2" data-number="9.1">
+<h2 data-number="9.1" class="anchored" data-anchor-id="análise-de-agrupamentos"><span class="header-section-number">9.1</span> Análise de Agrupamentos</h2>
 <p>Como descrito anteriormente e reforçado aqui, na análise de agrupamento, buscamos identificar regiões no espaço dos dados que possuam um grande número de observações próximas umas das outras. Essas regiões são chamadas de clusters. A ideia é agrupar indivíduos que sejam semelhantes entre si e diferentes dos indivíduos em outros clusters. Essa técnica é chamada de aprendizado não supervisionado, pois não utilizamos uma variável específica como referência para avaliar o resultado do agrupamento.</p>
 <p>Formalmente, os clusters são definidos da seguinte forma:</p>
 <ul>
@@ -362,8 +356,8 @@ <h2 data-number="10.1" class="anchored" data-anchor-id="análise-de-agrupamentos
 <p>Outra abordagem interessante é considerar a densidade dos pontos no espaço. Nesse caso, procuramos identificar regiões mais densas separadas por áreas menos povoadas. Esses métodos, conhecidos como baseados em densidade, oferecem uma perspectiva diferente na análise dos dados, aqui será considerado o DBSCAN.</p>
 <p>Também existe uma classe de métodos que utiliza técnicas de decomposição espectral. Esses métodos reduzem a dimensionalidade dos dados, preservando as informações relevantes dos grupos presentes. São os chamados agrupamentos espectrais, que exploram as propriedades dos autovalores e autovetores da matriz de similaridade dos dados.</p>
 <p>Cada uma dessas abordagens possui suas próprias características, vantagens e limitações.</p>
-<section id="métodos-por-particionamento" class="level3" data-number="10.1.1">
-<h3 data-number="10.1.1" class="anchored" data-anchor-id="métodos-por-particionamento"><span class="header-section-number">10.1.1</span> Métodos por Particionamento</h3>
+<section id="métodos-por-particionamento" class="level3" data-number="9.1.1">
+<h3 data-number="9.1.1" class="anchored" data-anchor-id="métodos-por-particionamento"><span class="header-section-number">9.1.1</span> Métodos por Particionamento</h3>
 <p>Os métodos por particionamento são comumente utilizados para agrupar dados, onde cada partição representa um cluster. Esses métodos são baseados em distância e envolvem a realocação iterativa das observações entre os clusters para obter um particionamento otimizado.</p>
 <p>A escolha do número de clusters é um aspecto importante, pois influencia diretamente a qualidade do agrupamento. Uma abordagem comum é o método do cotovelo, que considera a relação entre a variância total intraclusters e o número de grupos criados. O método do cotovelo considera que aumentar o número de clusters reduz a variância, mas em algum ponto, não há melhora significativa na granularidade do agrupamento. Esse ponto ótimo, que indica o número adequado de clusters, é identificado no gráfico por uma curva tracejada.</p>
 <div class="quarto-figure quarto-figure-center">
@@ -376,8 +370,8 @@ <h3 data-number="10.1.1" class="anchored" data-anchor-id="métodos-por-particion
 <p>A variância total intraclusters é calculada como a soma das distâncias euclidianas quadráticas entre as observações e os respectivos centróides, utilizando a fórmula:</p>
 <p><span class="math display">\[\sum_{l=1}^{K} \sum_{i \in \mathcal{C}_l} |\mathbf{x}_i - \mathbf{c}_l|^2\]</span></p>
 <p>Essas são algumas das abordagens dos métodos por particionamento, aqui será considerado o k-médias e o k-medóides com os algorítmos PAM e CLARA, que serão apresentados a seguir com exemplos de aplicações.</p>
-<section id="k-médias" class="level4" data-number="10.1.1.1">
-<h4 data-number="10.1.1.1" class="anchored" data-anchor-id="k-médias"><span class="header-section-number">10.1.1.1</span> K-médias</h4>
+<section id="k-médias" class="level4" data-number="9.1.1.1">
+<h4 data-number="9.1.1.1" class="anchored" data-anchor-id="k-médias"><span class="header-section-number">9.1.1.1</span> K-médias</h4>
 <p>O K-médias é um método amplamente utilizado para agrupamento de dados. Ele busca encontrar K partições dos dados, minimizando a variância. O algoritmo de <span class="citation" data-cites="lloyd1982least">(<a href="references.html#ref-lloyd1982least" role="doc-biblioref">Lloyd 1982</a>)</span> é comumente usado para realizar o K-médias. Ele envolve os seguintes passos:</p>
 <ol type="1">
 <li><p>escolha dos K centróides iniciais;</p></li>
@@ -415,8 +409,8 @@ <h4 data-number="10.1.1.1" class="anchored" data-anchor-id="k-médias"><span cla
 <li><p><code>Within_cluster_sum_of_squares</code>: É um valor que representa a soma dos quadrados das distâncias de cada observação em relação ao seu respectivo centróide. Essa medida indica a variabilidade dos dados dentro de cada cluster. Quanto menor o valor, mais compacto e homogêneo é o cluster.</p></li>
 </ul>
 </section>
-<section id="k-medóides" class="level4" data-number="10.1.1.2">
-<h4 data-number="10.1.1.2" class="anchored" data-anchor-id="k-medóides"><span class="header-section-number">10.1.1.2</span> K-medóides</h4>
+<section id="k-medóides" class="level4" data-number="9.1.1.2">
+<h4 data-number="9.1.1.2" class="anchored" data-anchor-id="k-medóides"><span class="header-section-number">9.1.1.2</span> K-medóides</h4>
 <p>Em situações com valores extremos, os algoritmos K-medóides surgem como uma alternativa ao cálculo do centróide, evitando a influência excessiva desses valores na representação central de cada grupo. O algoritmo PAM (Partitioning Around Medoids) proposto por <span class="citation" data-cites="kaufman2009finding">(<a href="references.html#ref-kaufman2009finding" role="doc-biblioref">Kaufman e Rousseeuw 2009</a>)</span> considera um custo para as trocas de medóides a cada iteração. O custo é calculado como a diferença da variância total intragrupo considerando um novo medóide (observação não medóide) em comparação com o medóide atual. A variância total intragrupo é uma medida da dispersão dos pontos dentro de um grupo.</p>
 <p>Para realizar o agrupamento, o algoritmo PAM segue os seguintes passos:</p>
 <ol type="1">
@@ -476,8 +470,8 @@ <h4 data-number="10.1.1.2" class="anchored" data-anchor-id="k-medóides"><span c
 <p>Esses resultados fornecem detalhes sobre os medóides finais escolhidos, a atribuição dos clusters para cada observação, o valor objetivo do agrupamento, as distâncias de isolamento, informações adicionais sobre os clusters, as subamostras utilizadas e a chamada original da função.</p>
 </section>
 </section>
-<section id="métodos-hierárquicos" class="level3" data-number="10.1.2">
-<h3 data-number="10.1.2" class="anchored" data-anchor-id="métodos-hierárquicos"><span class="header-section-number">10.1.2</span> Métodos Hierárquicos</h3>
+<section id="métodos-hierárquicos" class="level3" data-number="9.1.2">
+<h3 data-number="9.1.2" class="anchored" data-anchor-id="métodos-hierárquicos"><span class="header-section-number">9.1.2</span> Métodos Hierárquicos</h3>
 <p>Os métodos hierárquicos são utilizados para agrupar dados em diferentes níveis de granularidade. Existem duas abordagens principais: aglomerativa e divisiva.</p>
 <p>Na abordagem aglomerativa, os grupos são construídos a partir do nível mais baixo, onde cada observação forma um cluster separado, até atingir o nível mais alto, onde todos os dados estão em um único grupo. A fusão dos clusters ocorre com base na dissimilaridade entre eles. As medidas de dissimilaridade mais utilizadas, entre dois grupos, também conhecidas como linkages, podem ser definidas da seguinte forma:</p>
 <ul>
@@ -597,8 +591,8 @@ <h3 data-number="10.1.2" class="anchored" data-anchor-id="métodos-hierárquicos
 <span id="cb5-60"><a href="#cb5-60" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>diana_res <span class="ot">&lt;-</span> <span class="fu">cutree</span>(diana , <span class="at">k =</span> <span class="dv">3</span><span class="sc">:</span><span class="dv">8</span>)</span></code><button title="Copiar para a área de transferência" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
 </div>
 </section>
-<section id="dbscan" class="level3" data-number="10.1.3">
-<h3 data-number="10.1.3" class="anchored" data-anchor-id="dbscan"><span class="header-section-number">10.1.3</span> DBSCAN</h3>
+<section id="dbscan" class="level3" data-number="9.1.3">
+<h3 data-number="9.1.3" class="anchored" data-anchor-id="dbscan"><span class="header-section-number">9.1.3</span> DBSCAN</h3>
 <p>O método DBSCAN (Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise) é um algoritmo de agrupamento que foi proposto para encontrar clusters com formas arbitrárias, ou seja, clusters que não necessariamente possuem uma forma esférica ou convexa. Ele busca identificar as regiões mais densas do espaço vetorial separadas por regiões com menos objetos, como é possível ver na figura abaixo sua eficiência em relação a outros métodos.</p>
 <div class="quarto-figure quarto-figure-center">
 <figure class="figure">
@@ -650,8 +644,8 @@ <h3 data-number="10.1.3" class="anchored" data-anchor-id="dbscan"><span class="h
 </ul>
 <p>Uma técnica relacionada ao DBSCAN que lida com a limitação dos parâmetros globais é o algoritmo OPTICS (Ordering Points To Identify the Clustering Structure), proposto por <span class="citation" data-cites="ankerst1999optics">(<a href="references.html#ref-ankerst1999optics" role="doc-biblioref">Ankerst et al. 1999</a>)</span>. O OPTICS ordena os dados de forma que as observações em grupos mais densos estarão mais próximas na ordenação. Esse algoritmo pode ser uma opção para explorar diferentes densidades de pontos em diferentes clusters.</p>
 </section>
-<section id="agrupamento-espectral" class="level3" data-number="10.1.4">
-<h3 data-number="10.1.4" class="anchored" data-anchor-id="agrupamento-espectral"><span class="header-section-number">10.1.4</span> Agrupamento Espectral</h3>
+<section id="agrupamento-espectral" class="level3" data-number="9.1.4">
+<h3 data-number="9.1.4" class="anchored" data-anchor-id="agrupamento-espectral"><span class="header-section-number">9.1.4</span> Agrupamento Espectral</h3>
 <p>Agrupar conjuntos de dados com alta dimensionalidade pode ser desafiador para alguns métodos de agrupamento. A grande quantidade de variáveis em alta dimensão pode aumentar significativamente o custo computacional e dificultar a separação adequada dos grupos. Nesse contexto, os métodos de agrupamento espectral surgem como uma abordagem promissora, pois permitem reduzir a dimensionalidade dos dados sem perder a informação contida nas variáveis, além de melhorar a separação entre grupos que podem não estar claramente distintos devido à alta dimensionalidade.</p>
 <p>Os algoritmos de agrupamento espectral usam uma medida de dissimilaridade para representar o conjunto de dados como um grafo. Nessa representação, os vértices do grafo correspondem às observações (<span class="math inline">\(V = v_1, ..., v_N\)</span>), e as arestas (<span class="math inline">\(A\)</span>) são definidas por uma matriz de similaridade, onde <span class="math inline">\(a(x_i, x_{i'})\)</span> representa o peso da aresta que conecta os vértices <span class="math inline">\(x_i\)</span> e <span class="math inline">\(x_{i'}\)</span>. O agrupamento em <span class="math inline">\(K\)</span> clusters é então formulado como um problema de corte de arestas, que pode ser computacionalmente complexo. Para contornar essa complexidade, é aplicada a teoria espectral.</p>
 <p>O algoritmo de Ng, Jordan e Weiss (NJW) é um exemplo de algoritmo de agrupamento espectral. Ele requer a definição prévia de um parâmetro, assim como o algoritmo K-médias. Esse parâmetro é o número de grupos <span class="math inline">\(K\)</span> a serem formados. O algoritmo NJW segue os seguintes passos:</p>
@@ -695,12 +689,12 @@ <h3 data-number="10.1.4" class="anchored" data-anchor-id="agrupamento-espectral"
 </div>
 <p>A escolha dos parâmetros <span class="math inline">\(K\)</span> e <span class="math inline">\(\sigma\)</span> pode ser feita de forma arbitrária, dependendo do objetivo do estudo. No entanto, existem abordagens e técnicas disponíveis para auxiliar na seleção desses parâmetros. No exemplo acima , o parâmetro <span class="math inline">\(\sigma\)</span> foi fixado em 1, e o número de grupos <span class="math inline">\(K\)</span> foi escolhido com base na análise dos primeiros autovalores da matriz Laplaciana <span class="math inline">\(L\)</span>. O valor ótimo de <span class="math inline">\(K\)</span> é aquele em que ocorre uma queda significativa dos autovalores, uma vez que os maiores autovalores da matriz Laplaciana tendem a ser próximos de 1.</p>
 </section>
-<section id="validação-do-modelo" class="level3" data-number="10.1.5">
-<h3 data-number="10.1.5" class="anchored" data-anchor-id="validação-do-modelo"><span class="header-section-number">10.1.5</span> Validação do Modelo</h3>
+<section id="validação-do-modelo" class="level3" data-number="9.1.5">
+<h3 data-number="9.1.5" class="anchored" data-anchor-id="validação-do-modelo"><span class="header-section-number">9.1.5</span> Validação do Modelo</h3>
 <p>No problema do agrupamento, não é possível verificar o grau de acerto do resultado obtido, uma vez que os verdadeiros grupos não são conhecidos a priori. Portanto, é necessário aplicar algum tipo de validação à partição final.</p>
 <p>Quatro índices de avaliação interna da qualidade do agrupamento são os principais a serem utilizados atualmente: Davies-Bouldin (DB), Dunn (D), Silhueta (S) e Calinski-Harabasz (CH).</p>
-<section id="davies-bouldin-db" class="level4" data-number="10.1.5.1">
-<h4 data-number="10.1.5.1" class="anchored" data-anchor-id="davies-bouldin-db"><span class="header-section-number">10.1.5.1</span> Davies-Bouldin (DB):</h4>
+<section id="davies-bouldin-db" class="level4" data-number="9.1.5.1">
+<h4 data-number="9.1.5.1" class="anchored" data-anchor-id="davies-bouldin-db"><span class="header-section-number">9.1.5.1</span> Davies-Bouldin (DB):</h4>
 <p>O índice DB mede a similaridade média entre cada grupo e seu grupo mais similar dentre os demais clusters. A distância média <span class="math inline">\(\delta_l\)</span> de um grupo <span class="math inline">\(l\)</span> às suas observações é calculada em relação a um valor referencial <span class="math inline">\(m_l\)</span>. A fórmula para <span class="math inline">\(\delta_l\)</span> é:</p>
 <p><span class="math display">\[
 \delta_{l} = \left(\frac{1}{n_{l}} \sum_{i=1}^{n_{l}} \left \| x_{i} - m_{l} \right \|^q\right)^{\frac{1}{q}}.
@@ -725,8 +719,8 @@ <h4 data-number="10.1.5.1" class="anchored" data-anchor-id="davies-bouldin-db"><
 <span id="cb8-9"><a href="#cb8-9" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>                      )<span class="sc">$</span>DB </span></code><button title="Copiar para a área de transferência" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
 </div>
 </section>
-<section id="dunn-d" class="level4" data-number="10.1.5.2">
-<h4 data-number="10.1.5.2" class="anchored" data-anchor-id="dunn-d"><span class="header-section-number">10.1.5.2</span> Dunn (D):</h4>
+<section id="dunn-d" class="level4" data-number="9.1.5.2">
+<h4 data-number="9.1.5.2" class="anchored" data-anchor-id="dunn-d"><span class="header-section-number">9.1.5.2</span> Dunn (D):</h4>
 <p>O índice D mede a razão entre a separação dos grupos e a variância dentro deles. A separação entre dois grupos <span class="math inline">\(l\)</span> e <span class="math inline">\(l'\)</span> é calculada pela distância do vizinho mais próximo, dessa forma buscamos valores grandes para essa medida de avaliação. A variância intragrupo é representada pelo diâmetro <span class="math inline">\(diam_l\)</span> do cluster. A fórmula para o índice D é:</p>
 <p><span class="math display">\[
 D = \frac{{\min_{l,l' \in \{1,...,K\}; l \neq l'} d(C_{l}, C_{l'})}}{{\max_{l \in \{1,...,K\}} diam_{l}}}.
@@ -736,8 +730,8 @@ <h4 data-number="10.1.5.2" class="anchored" data-anchor-id="dunn-d"><span class=
 <span id="cb9-2"><a href="#cb9-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> clValid<span class="sc">::</span><span class="fu">dunn</span>(<span class="at">distance =</span> dist_euclidian , k_medias<span class="sc">$</span>cluster)</span></code><button title="Copiar para a área de transferência" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
 </div>
 </section>
-<section id="silhueta-s" class="level4" data-number="10.1.5.3">
-<h4 data-number="10.1.5.3" class="anchored" data-anchor-id="silhueta-s"><span class="header-section-number">10.1.5.3</span> Silhueta (S):</h4>
+<section id="silhueta-s" class="level4" data-number="9.1.5.3">
+<h4 data-number="9.1.5.3" class="anchored" data-anchor-id="silhueta-s"><span class="header-section-number">9.1.5.3</span> Silhueta (S):</h4>
 <p>O índice de Silhueta(S) mede a qualidade do agrupamento considerando as distâncias de cada ponto em relação às observações do mesmo grupo e aos demais clusters formados. Para cada observação <span class="math inline">\(i\)</span> pertencente ao grupo <span class="math inline">\(C_l\)</span>, definimos as medidas <span class="math inline">\(a_i\)</span> e <span class="math inline">\(b_i\)</span> da seguinte maneira:</p>
 <p>$$</p>
 <span class="math display">\[\begin{split}
@@ -759,8 +753,8 @@ <h4 data-number="10.1.5.3" class="anchored" data-anchor-id="silhueta-s"><span cl
 <span id="cb10-2"><a href="#cb10-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>clusterSim<span class="sc">::</span><span class="fu">index.S</span>(dist_euclidian , k_medias<span class="sc">$</span>cluster)</span></code><button title="Copiar para a área de transferência" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
 </div>
 </section>
-<section id="calinski-harabasz-ch" class="level4" data-number="10.1.5.4">
-<h4 data-number="10.1.5.4" class="anchored" data-anchor-id="calinski-harabasz-ch"><span class="header-section-number">10.1.5.4</span> Calinski-Harabasz (CH):</h4>
+<section id="calinski-harabasz-ch" class="level4" data-number="9.1.5.4">
+<h4 data-number="9.1.5.4" class="anchored" data-anchor-id="calinski-harabasz-ch"><span class="header-section-number">9.1.5.4</span> Calinski-Harabasz (CH):</h4>
 <p>O índice de Calinski-Harabasz (CH) considera a variância intra-grupo, chamada de <span class="math inline">\(WGGS_l\)</span>, de cada cluster <span class="math inline">\(C_l\)</span> gerado, levando em conta a distância quadrática de cada observação em relação ao seu valor de referência <span class="math inline">\(m_l\)</span>, que pode ser um centróide ou medóide. A variância intra-grupo total,<span class="math inline">\(WGGS\)</span>, é calculada como a soma das variâncias intra-grupo de cada cluster:</p>
 <p><span class="math display">\[
 WGGS = \sum_{l=1}^{K} \sum_{i=1}^{n_{l}} d^2(x_{i}, m_l).
@@ -1038,13 +1032,13 @@ <h4 data-number="10.1.5.4" class="anchored" data-anchor-id="calinski-harabasz-ch
 </script>
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@@ -515,8 +515,8 @@ <h1 class="title">Referências</h1>
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   {
     "objectID": "naosupervisionado.html#análise-de-agrupamentos",
     "href": "naosupervisionado.html#análise-de-agrupamentos",
-    "title": "10  Aprendizado Não Supervisionado",
-    "section": "10.1 Análise de Agrupamentos",
-    "text": "10.1 Análise de Agrupamentos\nComo descrito anteriormente e reforçado aqui, na análise de agrupamento, buscamos identificar regiões no espaço dos dados que possuam um grande número de observações próximas umas das outras. Essas regiões são chamadas de clusters. A ideia é agrupar indivíduos que sejam semelhantes entre si e diferentes dos indivíduos em outros clusters. Essa técnica é chamada de aprendizado não supervisionado, pois não utilizamos uma variável específica como referência para avaliar o resultado do agrupamento.\nFormalmente, os clusters são definidos da seguinte forma:\n\nCada cluster é um grupo de observações;\nTodos os indivíduos pertencem a pelo menos um cluster;\nDois clusters diferentes não possuem observações em comum.\n\nAo realizar o agrupamento de dados, é importante utilizar um método que maximize as diferenças entre os clusters, ao mesmo tempo que minimiza as diferenças dentro de cada cluster. Para isso, são utilizadas medidas de similaridade ou dissimilaridade, que quantificam as diferenças entre as observações.\nAs medidas de dissimilaridade mais comumente usadas são a distância euclidiana e a distância euclidiana quadrática, como apresentado abaixo respectivamente:\n\\[\n\\begin{split}\nd(\\mathbf{x}_i, \\mathbf{x}_i') = \\sqrt{\\sum_{j=1}^{p} (x_{ij} - x_{i'j})^2}\\\\\nd^2(\\mathbf{x}_i, \\mathbf{x}_i') = \\sum_{j=1}^{p} (x_{ij} - x_{i'j})^2\n\\end{split}\n\\]\nOutras medidas menos utilizadas incluem a distância absoluta e a distância de Mahalanobis, que leva em consideração a matriz de covariância, respectivamente representadas como:\n\\[\n\\begin{split}\nd_a(\\mathbf{x}_i, \\mathbf{x}_i') = \\sum_{j=1}^{p} |x_{ij} - x_{i'j}|\\\\\nd_M(\\mathbf{x}_i, \\mathbf{x}_i') = \\sqrt{(\\mathbf{x}_i - \\mathbf{x}_i')' \\mathbf{S}^{-1} (\\mathbf{x}_i - \\mathbf{x}_i')}\n\\end{split}\n\\]\nUma maneira comum de representar as dissimilaridades entre os objetos em um conjunto de dados é por meio de uma matriz de dissimilaridade. Essa matriz mostra os valores de dissimilaridade \\(a(x_i,x_j)\\) entre cada par de objetos \\(x_i\\) e \\(x_j\\) com \\(i,j = 1,2,\\dots,N.\\)\n\\[\n\\begin{align}\nA =\n\\begin{bmatrix}\n          a(x_1,x_1) & a(x_1,x_2) & \\cdots &a(x_1,x_N) \\\\\n         a(x_2,x_1) & a(x_2,x_2) & \\cdots & a(x_2,x_N)  \\\\\n            \\vdots &\\vdots & \\ddots &\\vdots \\\\\n           a(x_N,x_1) & a(x_N,x_2) & \\cdots & a(x_N,x_N)\n         \\end{bmatrix}.\n  \\end{align}\n\\]\nAs matrizes de dissimilaridade podem ser obtidas com apoio da função dist(), onde o tipo de distância (Euclidiana por exemplo), é passada no parâmetro da função, method , veja a seguir, um exemplo aplicado ao conjunto de indicadores obstétricos, esse DataSet séra o referncial para a sessão atual, será considerado apenas as colunas dos indicadores.\n\ndist_euclidian &lt;- dist(scale(dados_indicadores[,-c(1:4)]), method = \"euclidean\")\n\nO códio acima cria e armazena um objeto do tipo dist que será utilizado em exemplos futuros.\nA análise de agrupamento é uma ferramenta valiosa que permite identificar estratos em uma população e detectar outliers. É importante considerar a escalabilidade do método, sua capacidade de lidar com diferentes tipos de variáveis e clusters de formatos variados. Além disso, a robustez em relação a outliers e a capacidade de agrupar dados de alta dimensionalidade são considerações essenciais. Existem diversos métodos de agrupamento na literatura, cada um com vantagens e desvantagens. Nas próximas sessões, exploraremos os métodos considerados e suas aplicações adequadas, bem como métodos de avaliação de qualidade para os agrupamentos.\nNeste capítulo, vamos explorar diferentes maneiras de resolver o desafio do agrupamento de dados. Existem abordagens tradicionais, como o particionamento, que envolve dividir o conjunto de dados em grupos distintos. Além disso, temos os métodos hierárquicos, nos quais os grupos são organizados em uma estrutura de árvore.\nOutra abordagem interessante é considerar a densidade dos pontos no espaço. Nesse caso, procuramos identificar regiões mais densas separadas por áreas menos povoadas. Esses métodos, conhecidos como baseados em densidade, oferecem uma perspectiva diferente na análise dos dados, aqui será considerado o DBSCAN.\nTambém existe uma classe de métodos que utiliza técnicas de decomposição espectral. Esses métodos reduzem a dimensionalidade dos dados, preservando as informações relevantes dos grupos presentes. São os chamados agrupamentos espectrais, que exploram as propriedades dos autovalores e autovetores da matriz de similaridade dos dados.\nCada uma dessas abordagens possui suas próprias características, vantagens e limitações.\n\n10.1.1 Métodos por Particionamento\nOs métodos por particionamento são comumente utilizados para agrupar dados, onde cada partição representa um cluster. Esses métodos são baseados em distância e envolvem a realocação iterativa das observações entre os clusters para obter um particionamento otimizado.\nA escolha do número de clusters é um aspecto importante, pois influencia diretamente a qualidade do agrupamento. Uma abordagem comum é o método do cotovelo, que considera a relação entre a variância total intraclusters e o número de grupos criados. O método do cotovelo considera que aumentar o número de clusters reduz a variância, mas em algum ponto, não há melhora significativa na granularidade do agrupamento. Esse ponto ótimo, que indica o número adequado de clusters, é identificado no gráfico por uma curva tracejada.\n\n\n\n\n\nA variância total intraclusters é calculada utilizando as distâncias euclidianas quadráticas entre as observações e o centróide do respectivo grupo. O centróide \\(c_l\\) de um grupo \\(C_l\\) é obtido através da média das observações atribuídas a esse cluster, utilizando a fórmula:\n\\[c_l = \\frac{1}{|\\mathcal{C}_l|} \\sum{i \\in \\mathcal{C}_l} \\mathbf{x}_i\\]\nA variância total intraclusters é calculada como a soma das distâncias euclidianas quadráticas entre as observações e os respectivos centróides, utilizando a fórmula:\n\\[\\sum_{l=1}^{K} \\sum_{i \\in \\mathcal{C}_l} |\\mathbf{x}_i - \\mathbf{c}_l|^2\\]\nEssas são algumas das abordagens dos métodos por particionamento, aqui será considerado o k-médias e o k-medóides com os algorítmos PAM e CLARA, que serão apresentados a seguir com exemplos de aplicações.\n\n10.1.1.1 K-médias\nO K-médias é um método amplamente utilizado para agrupamento de dados. Ele busca encontrar K partições dos dados, minimizando a variância. O algoritmo de (Lloyd 1982) é comumente usado para realizar o K-médias. Ele envolve os seguintes passos:\n\nescolha dos K centróides iniciais;\nparticionamento dos dados com base na menor distância para cada centróide;\natualização dos centróides com as novas observações atribuídas a eles;\nrepetição dos passos 2 e 3 até que não haja mais mudança de agrupamento. É possível definir um número máximo de iterações para otimizar o método computacionalmente.\n\nUma alternativa é o algoritmo de (Hartigan e Wong 1979), que adiciona uma etapa de validação para alterar os agrupamentos. A cada iteração, verifica-se se houve atualização nos centróides dos grupos. Nesse caso, um novo objeto só é atribuído a um cluster se a soma das distâncias quadráticas diminuir.\nNo entanto, o método K-médias apresenta limitações ao lidar com clusters de formas não convencionais ou grupos com tamanhos muito discrepantes. Além disso, ele é sensível a outliers, pois a inclusão de um dado extremo pode influenciar significativamente o valor do centróide. A aplicação para o software R, tanto do método de agrupamento quanto a escolha do número de clusters K pelo método do cotovelo, segue abaixo, será considerado os dados padronizados para retirar qualquer tendência em função da diferença de escala ou amplitude dos dados:\n\nset.seed (1122)\n#BIBLIOTECAS\nlibrary(ggplot2)\n## padronizacao dos dados \n\ndados_norm &lt;- as.data.frame(scale(dados_indicadores[,-c(1:4)]))\n\n## escolhendo k pelo metodo do cotovelo\n\ncotovelo_kmedias &lt;- factoextra::fviz_nbclust(dados_norm ,\n kmeans,\n method = \"wss\") +\n geom_vline( xintercept = 7, linetype = 2) +\n labs(x = \"Numero de Grupos\", y = \"Variancia Total Intragrupo\", title = \"K-medias\")\n\n## ajustando k-medias com o numero de grupos escolhido\n\nk_medias &lt;- kmeans(dados_norm,\n                        centers = 7)\n\nA função kmeans é uma ferramenta poderosa disponível no R para realizar o agrupamento de dados utilizando o método K-médias. A função kmeans retorna três principais objetos:\n\nCluster_centers: É uma matriz que representa os centróides finais de cada cluster. Cada linha dessa matriz representa um centróide, com as coordenadas correspondentes às variáveis do conjunto de dados.\nCluster_assignment: É um vetor que contém as atribuições de cada observação a um determinado cluster. Cada elemento desse vetor representa o número do cluster ao qual a observação foi atribuída. O valor 1 representa o primeiro cluster, o valor 2 representa o segundo cluster e assim por diante.\nWithin_cluster_sum_of_squares: É um valor que representa a soma dos quadrados das distâncias de cada observação em relação ao seu respectivo centróide. Essa medida indica a variabilidade dos dados dentro de cada cluster. Quanto menor o valor, mais compacto e homogêneo é o cluster.\n\n\n\n10.1.1.2 K-medóides\nEm situações com valores extremos, os algoritmos K-medóides surgem como uma alternativa ao cálculo do centróide, evitando a influência excessiva desses valores na representação central de cada grupo. O algoritmo PAM (Partitioning Around Medoids) proposto por (Kaufman e Rousseeuw 2009) considera um custo para as trocas de medóides a cada iteração. O custo é calculado como a diferença da variância total intragrupo considerando um novo medóide (observação não medóide) em comparação com o medóide atual. A variância total intragrupo é uma medida da dispersão dos pontos dentro de um grupo.\nPara realizar o agrupamento, o algoritmo PAM segue os seguintes passos:\n\nEscolha inicial dos \\(K\\) medóides a partir do conjunto de dados;\nAs observações não selecionadas como medóides são atribuídas ao grupo cujo medóide é o mais próximo;\nSelecionar aleatoriamente uma observação não medóide \\(o_r\\);\nCalcular o custo de se mudar o medóide atual para \\(o_r\\);\nCaso o custo seja menor que 0, realizar a troca de medóide;\nRepetir os passos 2 a 5 até que não haja mais mudanças de agrupamento.\n\nO custo de mudança do medóide atual para outra observação é calculado como a diferença da variância total intragrupo considerando a nova observação como representante em comparação com o medóide atual.\nAlém disso, é comum utilizar a medida de distância absoluta no lugar da distância euclidiana quadrática para calcular a distância entre os pontos e os medóides. O método pode ser visto abaixo:\n\n## escolhendo k pelo metodo do cotovelo\ncotovelo_pam &lt;- factoextra::fviz_nbclust(dados_norm ,\n                      cluster::pam,\n                      method = \"wss\") +\n                geom_vline( xintercept = 7, linetype = 2) +\n                labs(x = \"Numero de Grupos\",\n                      y = \"Variancia Total Intragrupo\",\n                      title = \"PAM\")\n\npam &lt;- cluster::pam(dados_norm ,\n                      k = 7)\n\nA função cluster::pam no R retorna os seguintes elementos:\n\nmedoids: Um vetor contendo os índices das observações selecionadas como medóides finais de cada cluster.\nclustering: Um vetor contendo os rótulos dos clusters aos quais cada observação foi atribuída.\nobjective: O valor da medida de dissimilaridade total do agrupamento obtido.\nisolation.distance: Um vetor com as distâncias de isolamento de cada observação em relação ao seu medóide correspondente.\nclusinfo: Uma lista com informações adicionais sobre os clusters, incluindo o número de observações em cada cluster e a soma das distâncias de dissimilaridade intracluster.\n\nEsses elementos fornecem informações sobre os medóides finais selecionados, a atribuição de clusters para cada observação, o valor objetivo do agrupamento, as distâncias de isolamento e informações adicionais sobre cada cluster.\nPara lidar com grandes conjuntos de dados, o algoritmo CLARA (Clustering Large Applications) divide o conjunto em amostras menores e aplica o PAM nessas amostras. Em seguida, calcula a variância total intragrupo para cada agrupamento gerado. A partição que apresentar menor variância total intragrupo é selecionada como o resultado final do algoritmo. Observe abaixo a aplicação para o R:\n\ncotovelo_clara &lt;- factoextra::fviz_nbclust(dados_norm ,\n                      cluster::clara ,\n                      method = \"wss\") +\n                  geom_vline( xintercept = 7, linetype = 2) +\n                  labs(x = \"Numero de Grupos\",\n                        y = \"Variancia Total Intragrupo\",\n                        title = \"CLARA\")\nclara &lt;- cluster::clara(dados_norm ,\n                          k = 7, samples = 10)\n\nA função cluster::clara no R retorna os seguintes resultados:\n\nmedoids: Um objeto pamobject contendo os medóides finais de cada cluster.\nclustering: Um vetor com os rótulos dos clusters atribuídos a cada observação.\nobjective: O valor da medida de dissimilaridade total do agrupamento obtido.\nisolation.distance: Um vetor com as distâncias de isolamento de cada observação em relação ao seu medóide correspondente.\nclusinfo: Uma lista com informações adicionais sobre os clusters, como o número de observações em cada cluster e a soma das distâncias de dissimilaridade intracluster.\nsamples: Uma lista contendo os índices das observações selecionadas em cada subamostra.\ncall: A chamada original da função cluster::clara que foi utilizada.\n\nEsses resultados fornecem detalhes sobre os medóides finais escolhidos, a atribuição dos clusters para cada observação, o valor objetivo do agrupamento, as distâncias de isolamento, informações adicionais sobre os clusters, as subamostras utilizadas e a chamada original da função.\n\n\n\n10.1.2 Métodos Hierárquicos\nOs métodos hierárquicos são utilizados para agrupar dados em diferentes níveis de granularidade. Existem duas abordagens principais: aglomerativa e divisiva.\nNa abordagem aglomerativa, os grupos são construídos a partir do nível mais baixo, onde cada observação forma um cluster separado, até atingir o nível mais alto, onde todos os dados estão em um único grupo. A fusão dos clusters ocorre com base na dissimilaridade entre eles. As medidas de dissimilaridade mais utilizadas, entre dois grupos, também conhecidas como linkages, podem ser definidas da seguinte forma:\n\nMétodo do vizinho mais próximo (Single linkages): Considera a menor distância entre todas as possíveis combinações de observações de dois grupos.\n\n\\[\nd(C_l,C_{l'}) = \\min_{x_i \\in C_l ;x_k \\in C_{l'}} d(x_i,x_j).\n\\]\n\nMétodo do vizinho mais distante (Complete linkages): Utiliza a maior distância entre todas as possíveis combinações de observações de dois grupos.\n\n\\[\nd(C_l,C_{l'}) = \\max_{x_i \\in C_l ;x_k \\in C_{l'}} d(x_i,x_j).\n\\]\n\nMétodo da média das distâncias (Average linkages): Calcula a média das distâncias entre as observações de dois grupos.\n\n\\[\nd(C_l,C_{l'}) = \\frac{1}{|C_l||C_{l'}|}\\sum_{x_i \\in C_l ;x_k \\in C_{l'}} d(x_i,x_j).\n\\]\n\nMétodo do centróide (Centróide linkages): Considera a distância entre os centróides de cada grupo como medida de dissimilaridade.\n\n\\[\nd(C_l,C_{l'}) = d^2(c_l,c_{l'}) .\n\\]\n\nMétodo de Ward: Minimiza a variância dentro dos grupos ao fundir os clusters que levam à menor variação possível.\n\n\\[\nd(C_l,C_{l'}) = \\frac{n_ln_{l'}}{n_l + n_{l'}} d^2(c_l,c_{l'}) .\n\\]\nNo contexto dos métodos hierárquicos de agrupamento, a abordagem aglomerativa é amplamente utilizada e estudada. Isso se deve ao fato de que a abordagem divisiva apresenta um custo computacional mais elevado, uma vez que em cada iteração é necessário identificar a melhor divisão do grupo para maximizar a dissimilaridade. Portanto, o algoritmo para o agrupamento hierárquico aglomerativo consiste em:\n\nCada observação é inicialmente atribuída a um cluster separado.\nCom base no método de dissimilaridade escolhido, calcula-se a dissimilaridade entre todos os pares de grupos.\nOs dois grupos com a menor dissimilaridade são fundidos em um único grupo.\nRepetem-se os passos 2 e 3 até que todas as observações estejam em um único grupo.\n\nJá na abordagem divisiva, tomando o algoritmo DIANA (Divisive Analysis), inicia-se com um grupo único que contém todas as observações e, em cada etapa, divide-se o grupo em dois com base na maior dissimilaridade entre as observações. O algoritmo DIANA segue os seguintes passos:\n\nTodas as observações são agrupadas em um único grupo.\nA observação com a maior dissimilaridade média em relação aos pontos do mesmo grupo é separada em um novo grupo.\nCada observação do grupo inicial é atribuída ao novo grupo se a dissimilaridade média em relação aos objetos desse grupo for menor do que a dissimilaridade média em relação aos demais pontos do grupo inicial.\n\n4.Calcula-se o diâmetro de todos os grupos (a maior dissimilaridade entre duas observações) e seleciona-se o grupo com o maior diâmetro.\n\nRepetem-se os passos 2 a 4 até que cada observação esteja em um grupo separado.\n\nNo agrupamento hierárquico, a visualização dos clusters é feita por meio de um dendrograma, um gráfico ramificado que mostra as junções e divisões dos clusters. A altura do ramo no primeiro nó do dendrograma representa a dissimilaridade entre os grupos divididos. Para determinar o número de grupos a partir do dendrograma, busca-se uma grande diferença de altura (dissimilaridade) ao adicionar um cluster aos dados. Uma característica dos métodos hierárquicos é que as decisões de agrupamento ou divisão não são desfeitas, ou seja, não há troca de observações entre os clusters. Decisões de união ou divisão mal feitas podem resultar em grupos de baixa qualidade. Além disso, esses métodos não são bem dimensionados, pois cada decisão de mesclagem ou divisão requer a avaliação de muitos objetos ou clusters. Pelo exemplo abaixo, uma possível resposta de número adequado de clusters seria de dois ou três grupos.\n\n\n\n\n\nOs agrupamentos hierárquicos podem ser obtidos de maneira rapida com o apoio computacional, onde inicialmente, com uso das funções hclust e cluster::diana, é obtido um objeto da classe “hclust” e da clase “diana” respectivamente, esses objetos contém informações sobre o agrupamento hierárquico realizado, incluindo a estrutura do dendrograma, as distâncias entre os objetos e outras propriedades relacionadas. Seguido pela seleção, com base no dendrograma, do número K ideal de clusters (Não necessariamente só um K), e o “corte” da árvore aglomerativa no valor ideal identificado. É apresentado abaixo para todos os métodos citados a aplicação para o R, supondo a distância utilizada como a euclidiana calculada no início do capítulo.\n\nlibrary(ggdendro)\n#AGLOMERATIVOS ############\n#METODO WARD -----\n##CRIAR O OBJETO HCLUST\nagl_ward &lt;- hclust(dist_euclidian , method = \"ward.D2\")\n\n# PLOT DO DENDROGRAMA \ndendograma_ward &lt;-  plot(cut(as.dendrogram(agl_ward), h = 20)$upper ,\n main = \"Ward - cortado em H = 20\")\n\n# \"corte\" NOS RESPECTIVOS VALORES IDEAIS DE NUMERO DE CLUSTERS\nagl_ward_res &lt;- cutree(agl_ward , k = 3:8)\n\n# segue o mesmo para todos os outros metodos\n\n#METODO SINGLE LINKAGE -----\nagl_single &lt;- hclust(dist_euclidian , method = \"single\")\n\ndendograma_single &lt;- plot(cut(as.dendrogram(agl_single), h = 4)$upper ,\n                        main = \"Vizinho mais Proximo - cortado em H = 4\",\n                          xlab = \"\")\n\nagl_single_res &lt;- cutree(agl_single , k = 3:8)\n\n#METODO COMPLETE LINKAGE -----\nagl_complete &lt;-  hclust(dist_euclidian , method = \"complete\")\n\ndendograma_complete &lt;- plot(cut(as.dendrogram(agl_complete), h = 10)$upper ,\n                             main = \"Vizinho mais Distante - cortado em H = 10\")\n\nagl_complete_res &lt;- cutree(agl_complete , k = 3:8)\n\n#METODO AVARAGE LINKAGE -----\nagl_ave &lt;- hclust(dist_euclidian , method = \"average\")\n\ndendograma_ward &lt;- plot(cut(as.dendrogram(agl_ave), h = 15)$upper ,\n                                main = \" Media das Distancias - cortado em H = 15\")\n\nagl_ave_res &lt;- cutree(agl_ave, k = 3:8)\n\n#METODO CENTROIDE LINKAGE -----\nagl_cent &lt;- hclust(dist_euclidian , method = \"centroid\")\n\ndendograma_ward &lt;- plot(cut(as.dendrogram(agl_cent), h = 15)$upper ,\n                            main = \" Centroide - cortado em H = 15\")\n\nagl_cent_res &lt;- cutree(agl_cent , k = 3:8)\n\n####### DIVISIVO (DIANA) #########\ndiana &lt;- cluster::diana(dist_euclidian ,\n                            diss = TRUE ,\n                            metric = \"euclidean\",\n                            keep.diss = FALSE ,\n                            keep.data = FALSE\n                            )\n\ndendrograma_diana &lt;-  plot(cut(as.dendrogram(diana), h = 7)$upper ,\n                                   main = \"Diana - cortado em H = 7\")\n\ndiana_res &lt;- cutree(diana , k = 3:8)\n\n\n\n10.1.3 DBSCAN\nO método DBSCAN (Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise) é um algoritmo de agrupamento que foi proposto para encontrar clusters com formas arbitrárias, ou seja, clusters que não necessariamente possuem uma forma esférica ou convexa. Ele busca identificar as regiões mais densas do espaço vetorial separadas por regiões com menos objetos, como é possível ver na figura abaixo sua eficiência em relação a outros métodos.\n\n\n\n\n\nA ideia geral do algoritmo DBSCAN é identificar os clusters de forma que a densidade de pontos ao redor de cada ponto de um grupo seja maior que um limite estabelecido. Ele utiliza dois parâmetros principais: \\(\\epsilon\\) e MinPts, para entendimento do agrupamento DBSCAN observe a definição dos seguintes termos:\n\n\\(\\epsilon\\)-vizinhos: Os \\(\\epsilon\\)-vizinhos de um ponto \\(x_j\\) são os objetos cuja distância para \\(x_i\\) seja menor ou igual a \\(\\epsilon\\), ou seja, a vizinhança de \\(x_i\\) é composta pelos objetos que estão dentro de um raio \\(\\epsilon\\) ao redor de \\(x_i\\).\nPonto de Núcleo: Um ponto \\(x_i\\) é considerado um ponto de núcleo se o número de seus \\(\\epsilon\\)-vizinhos (ou seja, os pontos dentro da vizinhança de \\(x_i\\)) for maior ou igual a um valor mínimo estabelecido chamado MinPts.\nPonto de Borda: Um ponto \\(x_i\\) é considerado um ponto de borda se o número de seus \\(\\epsilon\\) -vizinhos for menor do que MinPts, mas ele está dentro da vizinhança de algum ponto de núcleo.\nDiretamente alcançável por densidade: Um ponto \\(x_j\\) é diretamente alcançável por densidade por um ponto \\(x_i\\) se \\(x_j\\) é um \\(\\epsilon\\)-vizinho de \\(x_i\\) e se \\(x_i\\) é um ponto de núcleo.\nAlcançável por densidade: Um ponto \\(x_i\\) é alcançável por densidade por um ponto \\(x_j\\) se existe uma cadeia de pontos \\(x_{i'}\\) , onde $i’ N \\mathbb{N} $, em que \\(x_1 = x_j, x_N = x_i\\) e \\(x_{i' + 1}\\) é diretamente alcançável por densidade por \\(x_{i'}\\).\nConectado por densidade: Um ponto \\(x_i\\) é conectado por densidade a um ponto \\(x_j\\) se existe um terceiro ponto \\(x_{i'}\\) em que ambos são alcançáveis por densidade por \\(x_{i'}\\).\n\nCom base nesses critérios, o DBSCAN define os grupos da seguinte forma:\n\nSe um ponto \\(x_i\\) é alcançável por densidade por um ponto \\(x_j\\), então ambos pertencem ao mesmo cluster \\(C_l\\).\nTodos os pontos de um cluster são conectados por densidade entre si.\n\nUma das vantagens do DBSCAN é sua capacidade de identificar outliers no conjunto de dados, uma vez que ele não atribui todos os objetos a grupos. Os outliers são definidos como os pontos que não são atribuídos a nenhum cluster. O algoritmo DBSCAN funciona da seguinte maneira:\n\nInicialmente, todas as observações da base de dados são classificadas como “não visitadas”.\nEm seguida, os seguintes passos são executados repetidamente:\n(a). Selecionar aleatoriamente uma observação “não visitada” \\(x_i\\).\n(b). Verificar o número de \\(epsilon\\)-vizinhos da observação \\(x_i\\) selecionada:\n\nSe o número de \\(\\epsilon\\)-vizinhos \\(|NEps(x_i)|\\) for maior ou igual a MinPts, um novo cluster é criado para \\(x_i\\), e todos os objetos na \\(\\epsilon\\)-vizinhança de \\(x_i\\) são adicionados a um conjunto candidato, \\(M\\). O algoritmo adiciona iterativamente a \\(C_l\\) todos os objetos em 𝑀 que não pertencem a nenhum cluster.\nSe o número de \\(\\epsilon\\)-vizinhos \\(|NEps(x_i)|\\) for menor do que MinPts, \\(x_i\\) é marcado como um ponto de ruído (outlier).\n\nRepetir os passos 1 e 2 até que não haja mais observações “não visitadas”.\n\nOs parâmetros \\(\\epsilon\\) e MinPts afetam diretamente o resultado do agrupamento, determinando o tamanho mínimo de cada grupo e a distância entre os clusters. Uma das limitações do DBSCAN é o fato de que esses parâmetros são globais, ou seja, definidos para todos os grupos formados, o que pode não ser ideal quando diferentes clusters possuem densidades de pontos distintas. Para a seleção do valor de MinPts é comum que seja baseado no problema em si ou conhecimento prévio. Porém, uma proposta para seleção é o MinPts = 2×\\(p\\) pode ser um bom valor para o parâmetro. Já o \\(\\epsilon\\) costuma ser baseado no número mínimo de pontos definido, em que é construído o gráfico das distâncias de cada ponto para os MinPts−1 vizinhos mais próximos e escolhido o valor “cotovelo”, ou seja, onde começa a ocorrer um crescimento mais acentuado nas distâncias ordenadas. Abaixo vemos como esse método se dá de forma aplicada para o software de programação tanto da seleção do melhor \\(\\epsilon\\) quanto da aplicação do modelo.\n\n## selecao do melhor eps\n dbscan::kNNdist(dados_diss ,\n k = 3, all = FALSE)\n## ajuste com o eps selecionado\n dbscan &lt;- dbscan::dbscan(dados_norm , eps = 2, minPts = 4)\n\nEssa função retorna os seguintes elementos:\n\ncluster: É um vetor que atribui um número de cluster a cada ponto de dados no conjunto de entrada. Os pontos que não pertencem a nenhum cluster são rotulados como “0” ou como “outlier”.\neps: É o valor do raio (epsilon) usado no algoritmo.\nminPts: É o número mínimo de pontos necessários para formar um cluster.\nborder: É um vetor lógico que indica se cada ponto é um ponto de borda.\nreachability: É um vetor que armazena os valores de reachability distance de cada ponto.\ncore_dist: É um vetor que contém as distâncias de densidade mínima( core distance ) para cada ponto.\n\nUma técnica relacionada ao DBSCAN que lida com a limitação dos parâmetros globais é o algoritmo OPTICS (Ordering Points To Identify the Clustering Structure), proposto por (Ankerst et al. 1999). O OPTICS ordena os dados de forma que as observações em grupos mais densos estarão mais próximas na ordenação. Esse algoritmo pode ser uma opção para explorar diferentes densidades de pontos em diferentes clusters.\n\n\n10.1.4 Agrupamento Espectral\nAgrupar conjuntos de dados com alta dimensionalidade pode ser desafiador para alguns métodos de agrupamento. A grande quantidade de variáveis em alta dimensão pode aumentar significativamente o custo computacional e dificultar a separação adequada dos grupos. Nesse contexto, os métodos de agrupamento espectral surgem como uma abordagem promissora, pois permitem reduzir a dimensionalidade dos dados sem perder a informação contida nas variáveis, além de melhorar a separação entre grupos que podem não estar claramente distintos devido à alta dimensionalidade.\nOs algoritmos de agrupamento espectral usam uma medida de dissimilaridade para representar o conjunto de dados como um grafo. Nessa representação, os vértices do grafo correspondem às observações (\\(V = v_1, ..., v_N\\)), e as arestas (\\(A\\)) são definidas por uma matriz de similaridade, onde \\(a(x_i, x_{i'})\\) representa o peso da aresta que conecta os vértices \\(x_i\\) e \\(x_{i'}\\). O agrupamento em \\(K\\) clusters é então formulado como um problema de corte de arestas, que pode ser computacionalmente complexo. Para contornar essa complexidade, é aplicada a teoria espectral.\nO algoritmo de Ng, Jordan e Weiss (NJW) é um exemplo de algoritmo de agrupamento espectral. Ele requer a definição prévia de um parâmetro, assim como o algoritmo K-médias. Esse parâmetro é o número de grupos \\(K\\) a serem formados. O algoritmo NJW segue os seguintes passos:\n\nCalcula-se a matriz de similaridade \\(A\\), usando um parâmetro escalar \\(\\sigma\\). A similaridade entre cada par de pontos \\(x_i\\) e \\(x_{i'}\\) é medida usando uma função de similaridade, como a função Gaussiana. A matriz \\(A\\) é preenchida com os valores calculados.\nCalcula-se a matriz de graus \\(D\\), onde cada elemento \\(d_{ij}\\) na diagonal principal representa a soma das similaridades da linha \\(i\\) da matriz \\(A\\). A matriz \\(D\\) captura a estrutura de conectividade do conjunto de dados.\nConstrói-se a matriz Laplaciana \\(L\\), que é uma forma de normalização de \\(A\\). No algoritmo NJW, a matriz Laplaciana é definida como \\(L = D^{(-1/2)} 𝐴 𝐷^{(-1/2)}\\). Essa normalização realça as diferenças entre os grupos de dados.\nIdentificam-se os \\(K\\) maiores autovalores de \\(L\\) e seus respectivos autovetores associados, que são armazenados em uma matriz \\(Z\\) de tamanho \\(N \\times K\\).\nDefine-se uma nova matriz \\(Y\\), normalizada a partir de \\(Z\\). Cada elemento \\(y_{ii'}\\) de \\(Y\\) é calculado dividindo-se o elemento \\(z_{ii'}\\) de \\(Z\\) pelo produto da raiz quadrada do elemento diagonal correspondente a \\(z_{ii}\\) e a raiz quadrada do elemento diagonal correspondente a \\(z_{i'}\\). Essa normalização ajusta as magnitudes dos dados.\nCom a redução da dimensionalidade dos dados na matriz \\(Y\\) (de tamanho \\(N \\times K\\)), pode-se aplicar um algoritmo de agrupamento, como o K-médias, para realizar o agrupamento dos dados.\n\n\nspectral_clustering &lt;- function(data , # dados\n                                k) # numero de grupos\n                                {\n    # matriz de dissimilaridade\n    A &lt;- as.matrix(KRLS::gausskernel (data , 2)) # sigma^2 = 1\n    diag(A) &lt;- 0\n    \n    # matriz Laplaciana\n    L = diag(1 / sqrt(rowSums(A))) %*% A %*% diag(1 / sqrt(rowSums(A)))\n    \n    # matriz de autovetores associados aos k maiores autovalores\n    auto &lt;- eigen(L, symmetric = TRUE)\n    X &lt;- auto$vectors[, 1:k]\n    \n    # matriz normalizada\n    Y &lt;- X / sqrt(rowSums(X ^ 2))\n    \n    # agrupamente k medias na matriz redimensionalizada\n    set.seed (1122)\n    k_means &lt;- kmeans(Y, centers = k)\n    \n    return(list(\n    clusters = k_means$cluster , #retornar grupos\n    auto = auto , #retornar autovalores e autovetores\n    autovetores = X, #retornar autovetores dos K maiores autovalores\n    normalizada = Y #retornar matriz normalizada\n    ))\n}\n\nA escolha dos parâmetros \\(K\\) e \\(\\sigma\\) pode ser feita de forma arbitrária, dependendo do objetivo do estudo. No entanto, existem abordagens e técnicas disponíveis para auxiliar na seleção desses parâmetros. No exemplo acima , o parâmetro \\(\\sigma\\) foi fixado em 1, e o número de grupos \\(K\\) foi escolhido com base na análise dos primeiros autovalores da matriz Laplaciana \\(L\\). O valor ótimo de \\(K\\) é aquele em que ocorre uma queda significativa dos autovalores, uma vez que os maiores autovalores da matriz Laplaciana tendem a ser próximos de 1.\n\n\n10.1.5 Validação do Modelo\nNo problema do agrupamento, não é possível verificar o grau de acerto do resultado obtido, uma vez que os verdadeiros grupos não são conhecidos a priori. Portanto, é necessário aplicar algum tipo de validação à partição final.\nQuatro índices de avaliação interna da qualidade do agrupamento são os principais a serem utilizados atualmente: Davies-Bouldin (DB), Dunn (D), Silhueta (S) e Calinski-Harabasz (CH).\n\n10.1.5.1 Davies-Bouldin (DB):\nO índice DB mede a similaridade média entre cada grupo e seu grupo mais similar dentre os demais clusters. A distância média \\(\\delta_l\\) de um grupo \\(l\\) às suas observações é calculada em relação a um valor referencial \\(m_l\\). A fórmula para \\(\\delta_l\\) é:\n\\[\n\\delta_{l} = \\left(\\frac{1}{n_{l}} \\sum_{i=1}^{n_{l}} \\left \\| x_{i} - m_{l} \\right \\|^q\\right)^{\\frac{1}{q}}.\n\\]\nonde \\(n_l\\) é o número de observações no grupo \\(l\\), \\(x_i\\) é uma observação, \\(m_l\\) é o valor referencial (centróide ou medóide) e \\(q\\) é um valor pré-definido, onde os valores mais utilizados são \\(q = 1\\) e \\(q= 2\\). Para o índice, é utilizada também distância entre os grupos \\(\\Delta_{ll'}\\), que é obtida como a distância entre os valores referenciais de cada grupo. A fórmula para \\(\\Delta_{ll'}\\) é:\n\\[\n\\Delta_{ll'} = \\left( \\sum_{j=1}^{p} |m_{jl} - m_{jl'}|^{t} \\right)^{\\frac{1}{t}}.\n\\]\nonde \\(t \\in \\mathbb{N}\\) é pré-definido e geralmente adotado como \\(t = 1\\) (distâncias absolutas) ou \\(t=2\\) (distância euclidiana). Assim, o índice de Davies-Bouldin (DB) fica definido por:\n\\[\nDB = \\frac{1}{K} \\sum_{l=1}^{K} \\max_{l \\neq l'} \\left( \\frac{\\delta_{l} + \\delta_{l'}}{\\Delta_{ll'}} \\right).\n\\] Nesse caso, buscamos agrupar observações de forma a minimizar a variância intragrupo e maximizar a diferença entre eles. Portanto, valores menores do índice de Davies-Bouldin são considerados melhores. Observe a métrica aplicada ao conjunto de dados de agrupamento obtido pelo k-médias (As medidas seguintes também serão aplicadas ao mesmo conjunto).\n\n#Metrica DB usando Centroide\nclusterSim::index.DB(dados_norm ,\n                     k_medias$cluster)$DB\n#Metrica DB usando Medoide\nclusterSim::index.DB(dados_norm ,\n                      k_medias$cluster ,\n                      d = dist_euclidian ,\n                      centrotypes = \"medoids\"\n                      )$DB \n\n\n\n10.1.5.2 Dunn (D):\nO índice D mede a razão entre a separação dos grupos e a variância dentro deles. A separação entre dois grupos \\(l\\) e \\(l'\\) é calculada pela distância do vizinho mais próximo, dessa forma buscamos valores grandes para essa medida de avaliação. A variância intragrupo é representada pelo diâmetro \\(diam_l\\) do cluster. A fórmula para o índice D é:\n\\[\nD = \\frac{{\\min_{l,l' \\in \\{1,...,K\\}; l \\neq l'} d(C_{l}, C_{l'})}}{{\\max_{l \\in \\{1,...,K\\}} diam_{l}}}.\n\\]\n\n#Metrica D\n clValid::dunn(distance = dist_euclidian , k_medias$cluster)\n\n\n\n10.1.5.3 Silhueta (S):\nO índice de Silhueta(S) mede a qualidade do agrupamento considerando as distâncias de cada ponto em relação às observações do mesmo grupo e aos demais clusters formados. Para cada observação \\(i\\) pertencente ao grupo \\(C_l\\), definimos as medidas \\(a_i\\) e \\(b_i\\) da seguinte maneira:\n$$\n\\[\\begin{split}\na_i = \\frac{1}{n_{l}-1} \\sum_{i' \\neq i, i' \\in C_{l}}^{n_l} d(x_{i}, x_{i'}),\\\\\n\nb_i = \\min_{l \\neq l'} \\left( \\frac{1}{n_{l'}} \\sum_{i' \\in C_{l'}}^{n_{l'}} d(x_{i}, x_{i'}) \\right).\n\\end{split}\\]\n$$\nonde \\(d(x_i,x_{i'})\\) representa a distância entre as observações \\(x_i\\) e \\(x_{i'}\\). A partir dessas medidas, calculamos a silhueta \\(s_i\\) da observação \\(i\\), com \\(i = 1, ..., N\\), usando a fórmula:\n\\[\ns_i = \\frac{b_i - a_i}{\\max(a_i, b_i)}.\n\\]\nO coeficiente de Silhueta S global é obtido por:\n\\[\nS = \\frac{1}{K} \\sum_{l=1}^{K} \\frac{1}{n_{l}} \\sum_{i=1}^{n_{l}} s_i.\n\\] Dessa forma, valores maiores de S indicam agrupamentos mais densos e separados, o que é considerado um cenário adequado para um agrupamento bem-sucedido.\n\n#Metrica S\nclusterSim::index.S(dist_euclidian , k_medias$cluster)\n\n\n\n10.1.5.4 Calinski-Harabasz (CH):\nO índice de Calinski-Harabasz (CH) considera a variância intra-grupo, chamada de \\(WGGS_l\\), de cada cluster \\(C_l\\) gerado, levando em conta a distância quadrática de cada observação em relação ao seu valor de referência \\(m_l\\), que pode ser um centróide ou medóide. A variância intra-grupo total,\\(WGGS\\), é calculada como a soma das variâncias intra-grupo de cada cluster:\n\\[\nWGGS = \\sum_{l=1}^{K} \\sum_{i=1}^{n_{l}} d^2(x_{i}, m_l).\n\\]\nAlém disso, o cálculo do índice CH utiliza uma medida de dispersão \\(BGSS\\) entre os grupos, que é obtida através da soma ponderada das distâncias quadráticas do valor de referência de cada cluster em relação a um valor central global \\(m\\). Essa medida é calculada da seguinte forma:\n\\[\nBGSS = \\sum_{l=1}^{K} n_{l} d^2(m_l, m).\n\\]\nDessa forma, o índice CH de Calinski-Harabasz é dado por:\n\\[\nCH = \\frac{(N - K) }{K - 1}\\times \\frac{BGSS}{WGSS}.\n\\]\nOnde, valores maiores do índice CH indicam grupos com menor variância e bem separados, o que é considerado uma boa característica de um agrupamento.\n\n#Metrica CH usando Medoide\nclusterSim::index.G1(dados_norm , k_medias$cluster , \n                     d = dist_euclidian , centrotypes = \"medoids\")\n\n#Metrica CH usando centroide\nclusterSim::index.G1(dados_norm , k_medias$cluster)\n\n\n\n\n\nAnkerst, Mihael, Markus M Breunig, Hans-Peter Kriegel, e Jörg Sander. 1999. «OPTICS: Ordering points to identify the clustering structure». ACM Sigmod record 28 (2): 49–60.\n\n\nHartigan, John A, e Manchek A Wong. 1979. «Algorithm AS 136: A k-means clustering algorithm». Journal of the royal statistical society. series c (applied statistics) 28 (1): 100–108.\n\n\nKaufman, Leonard, e Peter J Rousseeuw. 2009. Finding groups in data: an introduction to cluster analysis. John Wiley & Sons.\n\n\nLloyd, Stuart. 1982. «Least squares quantization in PCM». IEEE transactions on information theory 28 (2): 129–37."
+    "title": "9  Aprendizado Não Supervisionado",
+    "section": "9.1 Análise de Agrupamentos",
+    "text": "9.1 Análise de Agrupamentos\nComo descrito anteriormente e reforçado aqui, na análise de agrupamento, buscamos identificar regiões no espaço dos dados que possuam um grande número de observações próximas umas das outras. Essas regiões são chamadas de clusters. A ideia é agrupar indivíduos que sejam semelhantes entre si e diferentes dos indivíduos em outros clusters. Essa técnica é chamada de aprendizado não supervisionado, pois não utilizamos uma variável específica como referência para avaliar o resultado do agrupamento.\nFormalmente, os clusters são definidos da seguinte forma:\n\nCada cluster é um grupo de observações;\nTodos os indivíduos pertencem a pelo menos um cluster;\nDois clusters diferentes não possuem observações em comum.\n\nAo realizar o agrupamento de dados, é importante utilizar um método que maximize as diferenças entre os clusters, ao mesmo tempo que minimiza as diferenças dentro de cada cluster. Para isso, são utilizadas medidas de similaridade ou dissimilaridade, que quantificam as diferenças entre as observações.\nAs medidas de dissimilaridade mais comumente usadas são a distância euclidiana e a distância euclidiana quadrática, como apresentado abaixo respectivamente:\n\\[\n\\begin{split}\nd(\\mathbf{x}_i, \\mathbf{x}_i') = \\sqrt{\\sum_{j=1}^{p} (x_{ij} - x_{i'j})^2}\\\\\nd^2(\\mathbf{x}_i, \\mathbf{x}_i') = \\sum_{j=1}^{p} (x_{ij} - x_{i'j})^2\n\\end{split}\n\\]\nOutras medidas menos utilizadas incluem a distância absoluta e a distância de Mahalanobis, que leva em consideração a matriz de covariância, respectivamente representadas como:\n\\[\n\\begin{split}\nd_a(\\mathbf{x}_i, \\mathbf{x}_i') = \\sum_{j=1}^{p} |x_{ij} - x_{i'j}|\\\\\nd_M(\\mathbf{x}_i, \\mathbf{x}_i') = \\sqrt{(\\mathbf{x}_i - \\mathbf{x}_i')' \\mathbf{S}^{-1} (\\mathbf{x}_i - \\mathbf{x}_i')}\n\\end{split}\n\\]\nUma maneira comum de representar as dissimilaridades entre os objetos em um conjunto de dados é por meio de uma matriz de dissimilaridade. Essa matriz mostra os valores de dissimilaridade \\(a(x_i,x_j)\\) entre cada par de objetos \\(x_i\\) e \\(x_j\\) com \\(i,j = 1,2,\\dots,N.\\)\n\\[\n\\begin{align}\nA =\n\\begin{bmatrix}\n          a(x_1,x_1) & a(x_1,x_2) & \\cdots &a(x_1,x_N) \\\\\n         a(x_2,x_1) & a(x_2,x_2) & \\cdots & a(x_2,x_N)  \\\\\n            \\vdots &\\vdots & \\ddots &\\vdots \\\\\n           a(x_N,x_1) & a(x_N,x_2) & \\cdots & a(x_N,x_N)\n         \\end{bmatrix}.\n  \\end{align}\n\\]\nAs matrizes de dissimilaridade podem ser obtidas com apoio da função dist(), onde o tipo de distância (Euclidiana por exemplo), é passada no parâmetro da função, method , veja a seguir, um exemplo aplicado ao conjunto de indicadores obstétricos, esse DataSet séra o referncial para a sessão atual, será considerado apenas as colunas dos indicadores.\n\ndist_euclidian &lt;- dist(scale(dados_indicadores[,-c(1:4)]), method = \"euclidean\")\n\nO códio acima cria e armazena um objeto do tipo dist que será utilizado em exemplos futuros.\nA análise de agrupamento é uma ferramenta valiosa que permite identificar estratos em uma população e detectar outliers. É importante considerar a escalabilidade do método, sua capacidade de lidar com diferentes tipos de variáveis e clusters de formatos variados. Além disso, a robustez em relação a outliers e a capacidade de agrupar dados de alta dimensionalidade são considerações essenciais. Existem diversos métodos de agrupamento na literatura, cada um com vantagens e desvantagens. Nas próximas sessões, exploraremos os métodos considerados e suas aplicações adequadas, bem como métodos de avaliação de qualidade para os agrupamentos.\nNeste capítulo, vamos explorar diferentes maneiras de resolver o desafio do agrupamento de dados. Existem abordagens tradicionais, como o particionamento, que envolve dividir o conjunto de dados em grupos distintos. Além disso, temos os métodos hierárquicos, nos quais os grupos são organizados em uma estrutura de árvore.\nOutra abordagem interessante é considerar a densidade dos pontos no espaço. Nesse caso, procuramos identificar regiões mais densas separadas por áreas menos povoadas. Esses métodos, conhecidos como baseados em densidade, oferecem uma perspectiva diferente na análise dos dados, aqui será considerado o DBSCAN.\nTambém existe uma classe de métodos que utiliza técnicas de decomposição espectral. Esses métodos reduzem a dimensionalidade dos dados, preservando as informações relevantes dos grupos presentes. São os chamados agrupamentos espectrais, que exploram as propriedades dos autovalores e autovetores da matriz de similaridade dos dados.\nCada uma dessas abordagens possui suas próprias características, vantagens e limitações.\n\n9.1.1 Métodos por Particionamento\nOs métodos por particionamento são comumente utilizados para agrupar dados, onde cada partição representa um cluster. Esses métodos são baseados em distância e envolvem a realocação iterativa das observações entre os clusters para obter um particionamento otimizado.\nA escolha do número de clusters é um aspecto importante, pois influencia diretamente a qualidade do agrupamento. Uma abordagem comum é o método do cotovelo, que considera a relação entre a variância total intraclusters e o número de grupos criados. O método do cotovelo considera que aumentar o número de clusters reduz a variância, mas em algum ponto, não há melhora significativa na granularidade do agrupamento. Esse ponto ótimo, que indica o número adequado de clusters, é identificado no gráfico por uma curva tracejada.\n\n\n\n\n\nA variância total intraclusters é calculada utilizando as distâncias euclidianas quadráticas entre as observações e o centróide do respectivo grupo. O centróide \\(c_l\\) de um grupo \\(C_l\\) é obtido através da média das observações atribuídas a esse cluster, utilizando a fórmula:\n\\[c_l = \\frac{1}{|\\mathcal{C}_l|} \\sum{i \\in \\mathcal{C}_l} \\mathbf{x}_i\\]\nA variância total intraclusters é calculada como a soma das distâncias euclidianas quadráticas entre as observações e os respectivos centróides, utilizando a fórmula:\n\\[\\sum_{l=1}^{K} \\sum_{i \\in \\mathcal{C}_l} |\\mathbf{x}_i - \\mathbf{c}_l|^2\\]\nEssas são algumas das abordagens dos métodos por particionamento, aqui será considerado o k-médias e o k-medóides com os algorítmos PAM e CLARA, que serão apresentados a seguir com exemplos de aplicações.\n\n9.1.1.1 K-médias\nO K-médias é um método amplamente utilizado para agrupamento de dados. Ele busca encontrar K partições dos dados, minimizando a variância. O algoritmo de (Lloyd 1982) é comumente usado para realizar o K-médias. Ele envolve os seguintes passos:\n\nescolha dos K centróides iniciais;\nparticionamento dos dados com base na menor distância para cada centróide;\natualização dos centróides com as novas observações atribuídas a eles;\nrepetição dos passos 2 e 3 até que não haja mais mudança de agrupamento. É possível definir um número máximo de iterações para otimizar o método computacionalmente.\n\nUma alternativa é o algoritmo de (Hartigan e Wong 1979), que adiciona uma etapa de validação para alterar os agrupamentos. A cada iteração, verifica-se se houve atualização nos centróides dos grupos. Nesse caso, um novo objeto só é atribuído a um cluster se a soma das distâncias quadráticas diminuir.\nNo entanto, o método K-médias apresenta limitações ao lidar com clusters de formas não convencionais ou grupos com tamanhos muito discrepantes. Além disso, ele é sensível a outliers, pois a inclusão de um dado extremo pode influenciar significativamente o valor do centróide. A aplicação para o software R, tanto do método de agrupamento quanto a escolha do número de clusters K pelo método do cotovelo, segue abaixo, será considerado os dados padronizados para retirar qualquer tendência em função da diferença de escala ou amplitude dos dados:\n\nset.seed (1122)\n#BIBLIOTECAS\nlibrary(ggplot2)\n## padronizacao dos dados \n\ndados_norm &lt;- as.data.frame(scale(dados_indicadores[,-c(1:4)]))\n\n## escolhendo k pelo metodo do cotovelo\n\ncotovelo_kmedias &lt;- factoextra::fviz_nbclust(dados_norm ,\n kmeans,\n method = \"wss\") +\n geom_vline( xintercept = 7, linetype = 2) +\n labs(x = \"Numero de Grupos\", y = \"Variancia Total Intragrupo\", title = \"K-medias\")\n\n## ajustando k-medias com o numero de grupos escolhido\n\nk_medias &lt;- kmeans(dados_norm,\n                        centers = 7)\n\nA função kmeans é uma ferramenta poderosa disponível no R para realizar o agrupamento de dados utilizando o método K-médias. A função kmeans retorna três principais objetos:\n\nCluster_centers: É uma matriz que representa os centróides finais de cada cluster. Cada linha dessa matriz representa um centróide, com as coordenadas correspondentes às variáveis do conjunto de dados.\nCluster_assignment: É um vetor que contém as atribuições de cada observação a um determinado cluster. Cada elemento desse vetor representa o número do cluster ao qual a observação foi atribuída. O valor 1 representa o primeiro cluster, o valor 2 representa o segundo cluster e assim por diante.\nWithin_cluster_sum_of_squares: É um valor que representa a soma dos quadrados das distâncias de cada observação em relação ao seu respectivo centróide. Essa medida indica a variabilidade dos dados dentro de cada cluster. Quanto menor o valor, mais compacto e homogêneo é o cluster.\n\n\n\n9.1.1.2 K-medóides\nEm situações com valores extremos, os algoritmos K-medóides surgem como uma alternativa ao cálculo do centróide, evitando a influência excessiva desses valores na representação central de cada grupo. O algoritmo PAM (Partitioning Around Medoids) proposto por (Kaufman e Rousseeuw 2009) considera um custo para as trocas de medóides a cada iteração. O custo é calculado como a diferença da variância total intragrupo considerando um novo medóide (observação não medóide) em comparação com o medóide atual. A variância total intragrupo é uma medida da dispersão dos pontos dentro de um grupo.\nPara realizar o agrupamento, o algoritmo PAM segue os seguintes passos:\n\nEscolha inicial dos \\(K\\) medóides a partir do conjunto de dados;\nAs observações não selecionadas como medóides são atribuídas ao grupo cujo medóide é o mais próximo;\nSelecionar aleatoriamente uma observação não medóide \\(o_r\\);\nCalcular o custo de se mudar o medóide atual para \\(o_r\\);\nCaso o custo seja menor que 0, realizar a troca de medóide;\nRepetir os passos 2 a 5 até que não haja mais mudanças de agrupamento.\n\nO custo de mudança do medóide atual para outra observação é calculado como a diferença da variância total intragrupo considerando a nova observação como representante em comparação com o medóide atual.\nAlém disso, é comum utilizar a medida de distância absoluta no lugar da distância euclidiana quadrática para calcular a distância entre os pontos e os medóides. O método pode ser visto abaixo:\n\n## escolhendo k pelo metodo do cotovelo\ncotovelo_pam &lt;- factoextra::fviz_nbclust(dados_norm ,\n                      cluster::pam,\n                      method = \"wss\") +\n                geom_vline( xintercept = 7, linetype = 2) +\n                labs(x = \"Numero de Grupos\",\n                      y = \"Variancia Total Intragrupo\",\n                      title = \"PAM\")\n\npam &lt;- cluster::pam(dados_norm ,\n                      k = 7)\n\nA função cluster::pam no R retorna os seguintes elementos:\n\nmedoids: Um vetor contendo os índices das observações selecionadas como medóides finais de cada cluster.\nclustering: Um vetor contendo os rótulos dos clusters aos quais cada observação foi atribuída.\nobjective: O valor da medida de dissimilaridade total do agrupamento obtido.\nisolation.distance: Um vetor com as distâncias de isolamento de cada observação em relação ao seu medóide correspondente.\nclusinfo: Uma lista com informações adicionais sobre os clusters, incluindo o número de observações em cada cluster e a soma das distâncias de dissimilaridade intracluster.\n\nEsses elementos fornecem informações sobre os medóides finais selecionados, a atribuição de clusters para cada observação, o valor objetivo do agrupamento, as distâncias de isolamento e informações adicionais sobre cada cluster.\nPara lidar com grandes conjuntos de dados, o algoritmo CLARA (Clustering Large Applications) divide o conjunto em amostras menores e aplica o PAM nessas amostras. Em seguida, calcula a variância total intragrupo para cada agrupamento gerado. A partição que apresentar menor variância total intragrupo é selecionada como o resultado final do algoritmo. Observe abaixo a aplicação para o R:\n\ncotovelo_clara &lt;- factoextra::fviz_nbclust(dados_norm ,\n                      cluster::clara ,\n                      method = \"wss\") +\n                  geom_vline( xintercept = 7, linetype = 2) +\n                  labs(x = \"Numero de Grupos\",\n                        y = \"Variancia Total Intragrupo\",\n                        title = \"CLARA\")\nclara &lt;- cluster::clara(dados_norm ,\n                          k = 7, samples = 10)\n\nA função cluster::clara no R retorna os seguintes resultados:\n\nmedoids: Um objeto pamobject contendo os medóides finais de cada cluster.\nclustering: Um vetor com os rótulos dos clusters atribuídos a cada observação.\nobjective: O valor da medida de dissimilaridade total do agrupamento obtido.\nisolation.distance: Um vetor com as distâncias de isolamento de cada observação em relação ao seu medóide correspondente.\nclusinfo: Uma lista com informações adicionais sobre os clusters, como o número de observações em cada cluster e a soma das distâncias de dissimilaridade intracluster.\nsamples: Uma lista contendo os índices das observações selecionadas em cada subamostra.\ncall: A chamada original da função cluster::clara que foi utilizada.\n\nEsses resultados fornecem detalhes sobre os medóides finais escolhidos, a atribuição dos clusters para cada observação, o valor objetivo do agrupamento, as distâncias de isolamento, informações adicionais sobre os clusters, as subamostras utilizadas e a chamada original da função.\n\n\n\n9.1.2 Métodos Hierárquicos\nOs métodos hierárquicos são utilizados para agrupar dados em diferentes níveis de granularidade. Existem duas abordagens principais: aglomerativa e divisiva.\nNa abordagem aglomerativa, os grupos são construídos a partir do nível mais baixo, onde cada observação forma um cluster separado, até atingir o nível mais alto, onde todos os dados estão em um único grupo. A fusão dos clusters ocorre com base na dissimilaridade entre eles. As medidas de dissimilaridade mais utilizadas, entre dois grupos, também conhecidas como linkages, podem ser definidas da seguinte forma:\n\nMétodo do vizinho mais próximo (Single linkages): Considera a menor distância entre todas as possíveis combinações de observações de dois grupos.\n\n\\[\nd(C_l,C_{l'}) = \\min_{x_i \\in C_l ;x_k \\in C_{l'}} d(x_i,x_j).\n\\]\n\nMétodo do vizinho mais distante (Complete linkages): Utiliza a maior distância entre todas as possíveis combinações de observações de dois grupos.\n\n\\[\nd(C_l,C_{l'}) = \\max_{x_i \\in C_l ;x_k \\in C_{l'}} d(x_i,x_j).\n\\]\n\nMétodo da média das distâncias (Average linkages): Calcula a média das distâncias entre as observações de dois grupos.\n\n\\[\nd(C_l,C_{l'}) = \\frac{1}{|C_l||C_{l'}|}\\sum_{x_i \\in C_l ;x_k \\in C_{l'}} d(x_i,x_j).\n\\]\n\nMétodo do centróide (Centróide linkages): Considera a distância entre os centróides de cada grupo como medida de dissimilaridade.\n\n\\[\nd(C_l,C_{l'}) = d^2(c_l,c_{l'}) .\n\\]\n\nMétodo de Ward: Minimiza a variância dentro dos grupos ao fundir os clusters que levam à menor variação possível.\n\n\\[\nd(C_l,C_{l'}) = \\frac{n_ln_{l'}}{n_l + n_{l'}} d^2(c_l,c_{l'}) .\n\\]\nNo contexto dos métodos hierárquicos de agrupamento, a abordagem aglomerativa é amplamente utilizada e estudada. Isso se deve ao fato de que a abordagem divisiva apresenta um custo computacional mais elevado, uma vez que em cada iteração é necessário identificar a melhor divisão do grupo para maximizar a dissimilaridade. Portanto, o algoritmo para o agrupamento hierárquico aglomerativo consiste em:\n\nCada observação é inicialmente atribuída a um cluster separado.\nCom base no método de dissimilaridade escolhido, calcula-se a dissimilaridade entre todos os pares de grupos.\nOs dois grupos com a menor dissimilaridade são fundidos em um único grupo.\nRepetem-se os passos 2 e 3 até que todas as observações estejam em um único grupo.\n\nJá na abordagem divisiva, tomando o algoritmo DIANA (Divisive Analysis), inicia-se com um grupo único que contém todas as observações e, em cada etapa, divide-se o grupo em dois com base na maior dissimilaridade entre as observações. O algoritmo DIANA segue os seguintes passos:\n\nTodas as observações são agrupadas em um único grupo.\nA observação com a maior dissimilaridade média em relação aos pontos do mesmo grupo é separada em um novo grupo.\nCada observação do grupo inicial é atribuída ao novo grupo se a dissimilaridade média em relação aos objetos desse grupo for menor do que a dissimilaridade média em relação aos demais pontos do grupo inicial.\n\n4.Calcula-se o diâmetro de todos os grupos (a maior dissimilaridade entre duas observações) e seleciona-se o grupo com o maior diâmetro.\n\nRepetem-se os passos 2 a 4 até que cada observação esteja em um grupo separado.\n\nNo agrupamento hierárquico, a visualização dos clusters é feita por meio de um dendrograma, um gráfico ramificado que mostra as junções e divisões dos clusters. A altura do ramo no primeiro nó do dendrograma representa a dissimilaridade entre os grupos divididos. Para determinar o número de grupos a partir do dendrograma, busca-se uma grande diferença de altura (dissimilaridade) ao adicionar um cluster aos dados. Uma característica dos métodos hierárquicos é que as decisões de agrupamento ou divisão não são desfeitas, ou seja, não há troca de observações entre os clusters. Decisões de união ou divisão mal feitas podem resultar em grupos de baixa qualidade. Além disso, esses métodos não são bem dimensionados, pois cada decisão de mesclagem ou divisão requer a avaliação de muitos objetos ou clusters. Pelo exemplo abaixo, uma possível resposta de número adequado de clusters seria de dois ou três grupos.\n\n\n\n\n\nOs agrupamentos hierárquicos podem ser obtidos de maneira rapida com o apoio computacional, onde inicialmente, com uso das funções hclust e cluster::diana, é obtido um objeto da classe “hclust” e da clase “diana” respectivamente, esses objetos contém informações sobre o agrupamento hierárquico realizado, incluindo a estrutura do dendrograma, as distâncias entre os objetos e outras propriedades relacionadas. Seguido pela seleção, com base no dendrograma, do número K ideal de clusters (Não necessariamente só um K), e o “corte” da árvore aglomerativa no valor ideal identificado. É apresentado abaixo para todos os métodos citados a aplicação para o R, supondo a distância utilizada como a euclidiana calculada no início do capítulo.\n\nlibrary(ggdendro)\n#AGLOMERATIVOS ############\n#METODO WARD -----\n##CRIAR O OBJETO HCLUST\nagl_ward &lt;- hclust(dist_euclidian , method = \"ward.D2\")\n\n# PLOT DO DENDROGRAMA \ndendograma_ward &lt;-  plot(cut(as.dendrogram(agl_ward), h = 20)$upper ,\n main = \"Ward - cortado em H = 20\")\n\n# \"corte\" NOS RESPECTIVOS VALORES IDEAIS DE NUMERO DE CLUSTERS\nagl_ward_res &lt;- cutree(agl_ward , k = 3:8)\n\n# segue o mesmo para todos os outros metodos\n\n#METODO SINGLE LINKAGE -----\nagl_single &lt;- hclust(dist_euclidian , method = \"single\")\n\ndendograma_single &lt;- plot(cut(as.dendrogram(agl_single), h = 4)$upper ,\n                        main = \"Vizinho mais Proximo - cortado em H = 4\",\n                          xlab = \"\")\n\nagl_single_res &lt;- cutree(agl_single , k = 3:8)\n\n#METODO COMPLETE LINKAGE -----\nagl_complete &lt;-  hclust(dist_euclidian , method = \"complete\")\n\ndendograma_complete &lt;- plot(cut(as.dendrogram(agl_complete), h = 10)$upper ,\n                             main = \"Vizinho mais Distante - cortado em H = 10\")\n\nagl_complete_res &lt;- cutree(agl_complete , k = 3:8)\n\n#METODO AVARAGE LINKAGE -----\nagl_ave &lt;- hclust(dist_euclidian , method = \"average\")\n\ndendograma_ward &lt;- plot(cut(as.dendrogram(agl_ave), h = 15)$upper ,\n                                main = \" Media das Distancias - cortado em H = 15\")\n\nagl_ave_res &lt;- cutree(agl_ave, k = 3:8)\n\n#METODO CENTROIDE LINKAGE -----\nagl_cent &lt;- hclust(dist_euclidian , method = \"centroid\")\n\ndendograma_ward &lt;- plot(cut(as.dendrogram(agl_cent), h = 15)$upper ,\n                            main = \" Centroide - cortado em H = 15\")\n\nagl_cent_res &lt;- cutree(agl_cent , k = 3:8)\n\n####### DIVISIVO (DIANA) #########\ndiana &lt;- cluster::diana(dist_euclidian ,\n                            diss = TRUE ,\n                            metric = \"euclidean\",\n                            keep.diss = FALSE ,\n                            keep.data = FALSE\n                            )\n\ndendrograma_diana &lt;-  plot(cut(as.dendrogram(diana), h = 7)$upper ,\n                                   main = \"Diana - cortado em H = 7\")\n\ndiana_res &lt;- cutree(diana , k = 3:8)\n\n\n\n9.1.3 DBSCAN\nO método DBSCAN (Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise) é um algoritmo de agrupamento que foi proposto para encontrar clusters com formas arbitrárias, ou seja, clusters que não necessariamente possuem uma forma esférica ou convexa. Ele busca identificar as regiões mais densas do espaço vetorial separadas por regiões com menos objetos, como é possível ver na figura abaixo sua eficiência em relação a outros métodos.\n\n\n\n\n\nA ideia geral do algoritmo DBSCAN é identificar os clusters de forma que a densidade de pontos ao redor de cada ponto de um grupo seja maior que um limite estabelecido. Ele utiliza dois parâmetros principais: \\(\\epsilon\\) e MinPts, para entendimento do agrupamento DBSCAN observe a definição dos seguintes termos:\n\n\\(\\epsilon\\)-vizinhos: Os \\(\\epsilon\\)-vizinhos de um ponto \\(x_j\\) são os objetos cuja distância para \\(x_i\\) seja menor ou igual a \\(\\epsilon\\), ou seja, a vizinhança de \\(x_i\\) é composta pelos objetos que estão dentro de um raio \\(\\epsilon\\) ao redor de \\(x_i\\).\nPonto de Núcleo: Um ponto \\(x_i\\) é considerado um ponto de núcleo se o número de seus \\(\\epsilon\\)-vizinhos (ou seja, os pontos dentro da vizinhança de \\(x_i\\)) for maior ou igual a um valor mínimo estabelecido chamado MinPts.\nPonto de Borda: Um ponto \\(x_i\\) é considerado um ponto de borda se o número de seus \\(\\epsilon\\) -vizinhos for menor do que MinPts, mas ele está dentro da vizinhança de algum ponto de núcleo.\nDiretamente alcançável por densidade: Um ponto \\(x_j\\) é diretamente alcançável por densidade por um ponto \\(x_i\\) se \\(x_j\\) é um \\(\\epsilon\\)-vizinho de \\(x_i\\) e se \\(x_i\\) é um ponto de núcleo.\nAlcançável por densidade: Um ponto \\(x_i\\) é alcançável por densidade por um ponto \\(x_j\\) se existe uma cadeia de pontos \\(x_{i'}\\) , onde $i’ N \\mathbb{N} $, em que \\(x_1 = x_j, x_N = x_i\\) e \\(x_{i' + 1}\\) é diretamente alcançável por densidade por \\(x_{i'}\\).\nConectado por densidade: Um ponto \\(x_i\\) é conectado por densidade a um ponto \\(x_j\\) se existe um terceiro ponto \\(x_{i'}\\) em que ambos são alcançáveis por densidade por \\(x_{i'}\\).\n\nCom base nesses critérios, o DBSCAN define os grupos da seguinte forma:\n\nSe um ponto \\(x_i\\) é alcançável por densidade por um ponto \\(x_j\\), então ambos pertencem ao mesmo cluster \\(C_l\\).\nTodos os pontos de um cluster são conectados por densidade entre si.\n\nUma das vantagens do DBSCAN é sua capacidade de identificar outliers no conjunto de dados, uma vez que ele não atribui todos os objetos a grupos. Os outliers são definidos como os pontos que não são atribuídos a nenhum cluster. O algoritmo DBSCAN funciona da seguinte maneira:\n\nInicialmente, todas as observações da base de dados são classificadas como “não visitadas”.\nEm seguida, os seguintes passos são executados repetidamente:\n(a). Selecionar aleatoriamente uma observação “não visitada” \\(x_i\\).\n(b). Verificar o número de \\(epsilon\\)-vizinhos da observação \\(x_i\\) selecionada:\n\nSe o número de \\(\\epsilon\\)-vizinhos \\(|NEps(x_i)|\\) for maior ou igual a MinPts, um novo cluster é criado para \\(x_i\\), e todos os objetos na \\(\\epsilon\\)-vizinhança de \\(x_i\\) são adicionados a um conjunto candidato, \\(M\\). O algoritmo adiciona iterativamente a \\(C_l\\) todos os objetos em 𝑀 que não pertencem a nenhum cluster.\nSe o número de \\(\\epsilon\\)-vizinhos \\(|NEps(x_i)|\\) for menor do que MinPts, \\(x_i\\) é marcado como um ponto de ruído (outlier).\n\nRepetir os passos 1 e 2 até que não haja mais observações “não visitadas”.\n\nOs parâmetros \\(\\epsilon\\) e MinPts afetam diretamente o resultado do agrupamento, determinando o tamanho mínimo de cada grupo e a distância entre os clusters. Uma das limitações do DBSCAN é o fato de que esses parâmetros são globais, ou seja, definidos para todos os grupos formados, o que pode não ser ideal quando diferentes clusters possuem densidades de pontos distintas. Para a seleção do valor de MinPts é comum que seja baseado no problema em si ou conhecimento prévio. Porém, uma proposta para seleção é o MinPts = 2×\\(p\\) pode ser um bom valor para o parâmetro. Já o \\(\\epsilon\\) costuma ser baseado no número mínimo de pontos definido, em que é construído o gráfico das distâncias de cada ponto para os MinPts−1 vizinhos mais próximos e escolhido o valor “cotovelo”, ou seja, onde começa a ocorrer um crescimento mais acentuado nas distâncias ordenadas. Abaixo vemos como esse método se dá de forma aplicada para o software de programação tanto da seleção do melhor \\(\\epsilon\\) quanto da aplicação do modelo.\n\n## selecao do melhor eps\n dbscan::kNNdist(dados_diss ,\n k = 3, all = FALSE)\n## ajuste com o eps selecionado\n dbscan &lt;- dbscan::dbscan(dados_norm , eps = 2, minPts = 4)\n\nEssa função retorna os seguintes elementos:\n\ncluster: É um vetor que atribui um número de cluster a cada ponto de dados no conjunto de entrada. Os pontos que não pertencem a nenhum cluster são rotulados como “0” ou como “outlier”.\neps: É o valor do raio (epsilon) usado no algoritmo.\nminPts: É o número mínimo de pontos necessários para formar um cluster.\nborder: É um vetor lógico que indica se cada ponto é um ponto de borda.\nreachability: É um vetor que armazena os valores de reachability distance de cada ponto.\ncore_dist: É um vetor que contém as distâncias de densidade mínima( core distance ) para cada ponto.\n\nUma técnica relacionada ao DBSCAN que lida com a limitação dos parâmetros globais é o algoritmo OPTICS (Ordering Points To Identify the Clustering Structure), proposto por (Ankerst et al. 1999). O OPTICS ordena os dados de forma que as observações em grupos mais densos estarão mais próximas na ordenação. Esse algoritmo pode ser uma opção para explorar diferentes densidades de pontos em diferentes clusters.\n\n\n9.1.4 Agrupamento Espectral\nAgrupar conjuntos de dados com alta dimensionalidade pode ser desafiador para alguns métodos de agrupamento. A grande quantidade de variáveis em alta dimensão pode aumentar significativamente o custo computacional e dificultar a separação adequada dos grupos. Nesse contexto, os métodos de agrupamento espectral surgem como uma abordagem promissora, pois permitem reduzir a dimensionalidade dos dados sem perder a informação contida nas variáveis, além de melhorar a separação entre grupos que podem não estar claramente distintos devido à alta dimensionalidade.\nOs algoritmos de agrupamento espectral usam uma medida de dissimilaridade para representar o conjunto de dados como um grafo. Nessa representação, os vértices do grafo correspondem às observações (\\(V = v_1, ..., v_N\\)), e as arestas (\\(A\\)) são definidas por uma matriz de similaridade, onde \\(a(x_i, x_{i'})\\) representa o peso da aresta que conecta os vértices \\(x_i\\) e \\(x_{i'}\\). O agrupamento em \\(K\\) clusters é então formulado como um problema de corte de arestas, que pode ser computacionalmente complexo. Para contornar essa complexidade, é aplicada a teoria espectral.\nO algoritmo de Ng, Jordan e Weiss (NJW) é um exemplo de algoritmo de agrupamento espectral. Ele requer a definição prévia de um parâmetro, assim como o algoritmo K-médias. Esse parâmetro é o número de grupos \\(K\\) a serem formados. O algoritmo NJW segue os seguintes passos:\n\nCalcula-se a matriz de similaridade \\(A\\), usando um parâmetro escalar \\(\\sigma\\). A similaridade entre cada par de pontos \\(x_i\\) e \\(x_{i'}\\) é medida usando uma função de similaridade, como a função Gaussiana. A matriz \\(A\\) é preenchida com os valores calculados.\nCalcula-se a matriz de graus \\(D\\), onde cada elemento \\(d_{ij}\\) na diagonal principal representa a soma das similaridades da linha \\(i\\) da matriz \\(A\\). A matriz \\(D\\) captura a estrutura de conectividade do conjunto de dados.\nConstrói-se a matriz Laplaciana \\(L\\), que é uma forma de normalização de \\(A\\). No algoritmo NJW, a matriz Laplaciana é definida como \\(L = D^{(-1/2)} 𝐴 𝐷^{(-1/2)}\\). Essa normalização realça as diferenças entre os grupos de dados.\nIdentificam-se os \\(K\\) maiores autovalores de \\(L\\) e seus respectivos autovetores associados, que são armazenados em uma matriz \\(Z\\) de tamanho \\(N \\times K\\).\nDefine-se uma nova matriz \\(Y\\), normalizada a partir de \\(Z\\). Cada elemento \\(y_{ii'}\\) de \\(Y\\) é calculado dividindo-se o elemento \\(z_{ii'}\\) de \\(Z\\) pelo produto da raiz quadrada do elemento diagonal correspondente a \\(z_{ii}\\) e a raiz quadrada do elemento diagonal correspondente a \\(z_{i'}\\). Essa normalização ajusta as magnitudes dos dados.\nCom a redução da dimensionalidade dos dados na matriz \\(Y\\) (de tamanho \\(N \\times K\\)), pode-se aplicar um algoritmo de agrupamento, como o K-médias, para realizar o agrupamento dos dados.\n\n\nspectral_clustering &lt;- function(data , # dados\n                                k) # numero de grupos\n                                {\n    # matriz de dissimilaridade\n    A &lt;- as.matrix(KRLS::gausskernel (data , 2)) # sigma^2 = 1\n    diag(A) &lt;- 0\n    \n    # matriz Laplaciana\n    L = diag(1 / sqrt(rowSums(A))) %*% A %*% diag(1 / sqrt(rowSums(A)))\n    \n    # matriz de autovetores associados aos k maiores autovalores\n    auto &lt;- eigen(L, symmetric = TRUE)\n    X &lt;- auto$vectors[, 1:k]\n    \n    # matriz normalizada\n    Y &lt;- X / sqrt(rowSums(X ^ 2))\n    \n    # agrupamente k medias na matriz redimensionalizada\n    set.seed (1122)\n    k_means &lt;- kmeans(Y, centers = k)\n    \n    return(list(\n    clusters = k_means$cluster , #retornar grupos\n    auto = auto , #retornar autovalores e autovetores\n    autovetores = X, #retornar autovetores dos K maiores autovalores\n    normalizada = Y #retornar matriz normalizada\n    ))\n}\n\nA escolha dos parâmetros \\(K\\) e \\(\\sigma\\) pode ser feita de forma arbitrária, dependendo do objetivo do estudo. No entanto, existem abordagens e técnicas disponíveis para auxiliar na seleção desses parâmetros. No exemplo acima , o parâmetro \\(\\sigma\\) foi fixado em 1, e o número de grupos \\(K\\) foi escolhido com base na análise dos primeiros autovalores da matriz Laplaciana \\(L\\). O valor ótimo de \\(K\\) é aquele em que ocorre uma queda significativa dos autovalores, uma vez que os maiores autovalores da matriz Laplaciana tendem a ser próximos de 1.\n\n\n9.1.5 Validação do Modelo\nNo problema do agrupamento, não é possível verificar o grau de acerto do resultado obtido, uma vez que os verdadeiros grupos não são conhecidos a priori. Portanto, é necessário aplicar algum tipo de validação à partição final.\nQuatro índices de avaliação interna da qualidade do agrupamento são os principais a serem utilizados atualmente: Davies-Bouldin (DB), Dunn (D), Silhueta (S) e Calinski-Harabasz (CH).\n\n9.1.5.1 Davies-Bouldin (DB):\nO índice DB mede a similaridade média entre cada grupo e seu grupo mais similar dentre os demais clusters. A distância média \\(\\delta_l\\) de um grupo \\(l\\) às suas observações é calculada em relação a um valor referencial \\(m_l\\). A fórmula para \\(\\delta_l\\) é:\n\\[\n\\delta_{l} = \\left(\\frac{1}{n_{l}} \\sum_{i=1}^{n_{l}} \\left \\| x_{i} - m_{l} \\right \\|^q\\right)^{\\frac{1}{q}}.\n\\]\nonde \\(n_l\\) é o número de observações no grupo \\(l\\), \\(x_i\\) é uma observação, \\(m_l\\) é o valor referencial (centróide ou medóide) e \\(q\\) é um valor pré-definido, onde os valores mais utilizados são \\(q = 1\\) e \\(q= 2\\). Para o índice, é utilizada também distância entre os grupos \\(\\Delta_{ll'}\\), que é obtida como a distância entre os valores referenciais de cada grupo. A fórmula para \\(\\Delta_{ll'}\\) é:\n\\[\n\\Delta_{ll'} = \\left( \\sum_{j=1}^{p} |m_{jl} - m_{jl'}|^{t} \\right)^{\\frac{1}{t}}.\n\\]\nonde \\(t \\in \\mathbb{N}\\) é pré-definido e geralmente adotado como \\(t = 1\\) (distâncias absolutas) ou \\(t=2\\) (distância euclidiana). Assim, o índice de Davies-Bouldin (DB) fica definido por:\n\\[\nDB = \\frac{1}{K} \\sum_{l=1}^{K} \\max_{l \\neq l'} \\left( \\frac{\\delta_{l} + \\delta_{l'}}{\\Delta_{ll'}} \\right).\n\\] Nesse caso, buscamos agrupar observações de forma a minimizar a variância intragrupo e maximizar a diferença entre eles. Portanto, valores menores do índice de Davies-Bouldin são considerados melhores. Observe a métrica aplicada ao conjunto de dados de agrupamento obtido pelo k-médias (As medidas seguintes também serão aplicadas ao mesmo conjunto).\n\n#Metrica DB usando Centroide\nclusterSim::index.DB(dados_norm ,\n                     k_medias$cluster)$DB\n#Metrica DB usando Medoide\nclusterSim::index.DB(dados_norm ,\n                      k_medias$cluster ,\n                      d = dist_euclidian ,\n                      centrotypes = \"medoids\"\n                      )$DB \n\n\n\n9.1.5.2 Dunn (D):\nO índice D mede a razão entre a separação dos grupos e a variância dentro deles. A separação entre dois grupos \\(l\\) e \\(l'\\) é calculada pela distância do vizinho mais próximo, dessa forma buscamos valores grandes para essa medida de avaliação. A variância intragrupo é representada pelo diâmetro \\(diam_l\\) do cluster. A fórmula para o índice D é:\n\\[\nD = \\frac{{\\min_{l,l' \\in \\{1,...,K\\}; l \\neq l'} d(C_{l}, C_{l'})}}{{\\max_{l \\in \\{1,...,K\\}} diam_{l}}}.\n\\]\n\n#Metrica D\n clValid::dunn(distance = dist_euclidian , k_medias$cluster)\n\n\n\n9.1.5.3 Silhueta (S):\nO índice de Silhueta(S) mede a qualidade do agrupamento considerando as distâncias de cada ponto em relação às observações do mesmo grupo e aos demais clusters formados. Para cada observação \\(i\\) pertencente ao grupo \\(C_l\\), definimos as medidas \\(a_i\\) e \\(b_i\\) da seguinte maneira:\n$$\n\\[\\begin{split}\na_i = \\frac{1}{n_{l}-1} \\sum_{i' \\neq i, i' \\in C_{l}}^{n_l} d(x_{i}, x_{i'}),\\\\\n\nb_i = \\min_{l \\neq l'} \\left( \\frac{1}{n_{l'}} \\sum_{i' \\in C_{l'}}^{n_{l'}} d(x_{i}, x_{i'}) \\right).\n\\end{split}\\]\n$$\nonde \\(d(x_i,x_{i'})\\) representa a distância entre as observações \\(x_i\\) e \\(x_{i'}\\). A partir dessas medidas, calculamos a silhueta \\(s_i\\) da observação \\(i\\), com \\(i = 1, ..., N\\), usando a fórmula:\n\\[\ns_i = \\frac{b_i - a_i}{\\max(a_i, b_i)}.\n\\]\nO coeficiente de Silhueta S global é obtido por:\n\\[\nS = \\frac{1}{K} \\sum_{l=1}^{K} \\frac{1}{n_{l}} \\sum_{i=1}^{n_{l}} s_i.\n\\] Dessa forma, valores maiores de S indicam agrupamentos mais densos e separados, o que é considerado um cenário adequado para um agrupamento bem-sucedido.\n\n#Metrica S\nclusterSim::index.S(dist_euclidian , k_medias$cluster)\n\n\n\n9.1.5.4 Calinski-Harabasz (CH):\nO índice de Calinski-Harabasz (CH) considera a variância intra-grupo, chamada de \\(WGGS_l\\), de cada cluster \\(C_l\\) gerado, levando em conta a distância quadrática de cada observação em relação ao seu valor de referência \\(m_l\\), que pode ser um centróide ou medóide. A variância intra-grupo total,\\(WGGS\\), é calculada como a soma das variâncias intra-grupo de cada cluster:\n\\[\nWGGS = \\sum_{l=1}^{K} \\sum_{i=1}^{n_{l}} d^2(x_{i}, m_l).\n\\]\nAlém disso, o cálculo do índice CH utiliza uma medida de dispersão \\(BGSS\\) entre os grupos, que é obtida através da soma ponderada das distâncias quadráticas do valor de referência de cada cluster em relação a um valor central global \\(m\\). Essa medida é calculada da seguinte forma:\n\\[\nBGSS = \\sum_{l=1}^{K} n_{l} d^2(m_l, m).\n\\]\nDessa forma, o índice CH de Calinski-Harabasz é dado por:\n\\[\nCH = \\frac{(N - K) }{K - 1}\\times \\frac{BGSS}{WGSS}.\n\\]\nOnde, valores maiores do índice CH indicam grupos com menor variância e bem separados, o que é considerado uma boa característica de um agrupamento.\n\n#Metrica CH usando Medoide\nclusterSim::index.G1(dados_norm , k_medias$cluster , \n                     d = dist_euclidian , centrotypes = \"medoids\")\n\n#Metrica CH usando centroide\nclusterSim::index.G1(dados_norm , k_medias$cluster)\n\n\n\n\n\nAnkerst, Mihael, Markus M Breunig, Hans-Peter Kriegel, e Jörg Sander. 1999. «OPTICS: Ordering points to identify the clustering structure». ACM Sigmod record 28 (2): 49–60.\n\n\nHartigan, John A, e Manchek A Wong. 1979. «Algorithm AS 136: A k-means clustering algorithm». Journal of the royal statistical society. series c (applied statistics) 28 (1): 100–108.\n\n\nKaufman, Leonard, e Peter J Rousseeuw. 2009. Finding groups in data: an introduction to cluster analysis. John Wiley & Sons.\n\n\nLloyd, Stuart. 1982. «Least squares quantization in PCM». IEEE transactions on information theory 28 (2): 129–37."
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-    "title": "11  Análise de Componentes Principais (PCA).",
-    "section": "11.1 Introdução.",
-    "text": "11.1 Introdução.\nA Análise de Componentes Principais (PCA) é uma técnica que busca resumir a variação presente em um conjunto de dados multivariados através de combinações lineares de suas variáveis originais, que são correlacionadas. O objetivo principal é reduzir a dimensionalidade dos dados, representando um grande número de variáveis originais em um número menor de componentes principais. Essas novas variáveis são ordenadas em ordem decrescente de importância, de modo que a primeira componente principal capture a maior quantidade possível da variabilidade total dos dados, e as subsequentes capturem cada vez menos.\nA primeira componente principal é calculada de forma a maximizar a variância explicada pelos dados, ou seja, ela é a direção ao longo da qual os dados apresentam a maior variação possível. As demais componentes são ortogonais à primeira e são combinações lineares das variáveis originais, indicando a importância relativa de cada variável naquele componente. Note então, que por essa definição já podemos perceber a relação com os autovetores e autovetores associados.\nO PCA tem diversas aplicações em áreas como estatística, engenharia e ciência de dados, sendo usado para resumir grandes conjuntos de dados, detectar padrões e estruturas latentes, identificar outliers e reduzir o ruído presente nos dados. Além disso, ele é comumente utilizado como uma técnica de pré-processamento de dados para outras técnicas de análise, como regressão e clustering.\nUma aplicação comum do PCA é na identificação de variáveis latentes em um conjunto de dados, que não são diretamente observáveis, mas podem ser inferidas a partir de outras variáveis observáveis correlacionadas entre si.Um exemplo de variável latente na obstetrícia pode ser a “saúde fetal” ou até mesmo a “saúde materna”. Não pode ser diretamente medida ou observada, mas pode ser inferida a partir de múltiplas variáveis observáveis, como a frequência cardíaca fetal, a pressão arterial materna entre outras."
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+    "text": "10.1 Introdução.\nA Análise de Componentes Principais (PCA) é uma técnica que busca resumir a variação presente em um conjunto de dados multivariados através de combinações lineares de suas variáveis originais, que são correlacionadas. O objetivo principal é reduzir a dimensionalidade dos dados, representando um grande número de variáveis originais em um número menor de componentes principais. Essas novas variáveis são ordenadas em ordem decrescente de importância, de modo que a primeira componente principal capture a maior quantidade possível da variabilidade total dos dados, e as subsequentes capturem cada vez menos.\nA primeira componente principal é calculada de forma a maximizar a variância explicada pelos dados, ou seja, ela é a direção ao longo da qual os dados apresentam a maior variação possível. As demais componentes são ortogonais à primeira e são combinações lineares das variáveis originais, indicando a importância relativa de cada variável naquele componente. Note então, que por essa definição já podemos perceber a relação com os autovetores e autovetores associados.\nO PCA tem diversas aplicações em áreas como estatística, engenharia e ciência de dados, sendo usado para resumir grandes conjuntos de dados, detectar padrões e estruturas latentes, identificar outliers e reduzir o ruído presente nos dados. Além disso, ele é comumente utilizado como uma técnica de pré-processamento de dados para outras técnicas de análise, como regressão e clustering.\nUma aplicação comum do PCA é na identificação de variáveis latentes em um conjunto de dados, que não são diretamente observáveis, mas podem ser inferidas a partir de outras variáveis observáveis correlacionadas entre si.Um exemplo de variável latente na obstetrícia pode ser a “saúde fetal” ou até mesmo a “saúde materna”. Não pode ser diretamente medida ou observada, mas pode ser inferida a partir de múltiplas variáveis observáveis, como a frequência cardíaca fetal, a pressão arterial materna entre outras."
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-    "title": "11  Análise de Componentes Principais (PCA).",
-    "section": "11.2 Como realizar a análise de componentes principais.",
-    "text": "11.2 Como realizar a análise de componentes principais.\nO primeiro passo é entender a definição matemática real das componentes principais. Seja \\(\\boldsymbol{X}\\) um vetor aleatório com \\(\\boldsymbol{\\mu} = E(\\boldsymbol{X})\\) e \\(\\boldsymbol \\Sigma = Var(\\boldsymbol{X})\\) e \\((\\lambda_i,e_i), i = 1,\\dots,p\\) os pares de autovalores e autovetores normalizados associados de \\(\\Sigma\\). Então,\n\\[\n\\begin{split}\n\\boldsymbol{Y} = \\boldsymbol{ O'}\\boldsymbol{X},\\quad \\textrm{com}\\quad \\boldsymbol{O} = [\\boldsymbol{e}_1,\\boldsymbol{e}_2,\\dots,\\boldsymbol{e}_p],\\textrm{ os componentes principais de }\\boldsymbol X\\\\\n\\textrm{ou seja}\\\\\n\\boldsymbol Y =\n\\begin{bmatrix}\nY_1\\\\\n\\vdots\\\\\nY_p\n\\end{bmatrix} \\textrm{ com  } \\quad Y_1 = \\boldsymbol e_1'\\boldsymbol X = e_{11}X_1 + e_{12}X_2 +  \\dots + e_{1p}X_p,\n\\end{split}\n\\]\na primeira componente principal.\nOs elementos na matriz \\(\\boldsymbol{O}\\), denominados loadings, representam as relações entre as variáveis originais e as componentes principais. Cada coluna da matriz \\(\\boldsymbol{O}\\) corresponde a uma componente principal, e as linhas correspondem às variáveis originais. Os elementos \\(e_{ij}\\) são os coeficientes de ponderação que indicam a contribuição de cada variável para cada componente principal. Em outras palavras, eles representam a importância relativa das variáveis na construção das componentes principais.\nComo citado, as componentes então seguem sendo combinações lineares das variáveis originais e os autovetores correspondentes. Os componentes principais de \\(\\boldsymbol{X}\\), \\(\\boldsymbol{Y}\\), são tais que,\n\\[\n\\begin{split}\n\\boldsymbol\\mu_y = E(\\boldsymbol Y) = E(\\boldsymbol O'\\boldsymbol X) = \\boldsymbol O'E(\\boldsymbol X) = \\boldsymbol O'\\boldsymbol\\mu_x\\\\\n\\boldsymbol\\Sigma_y = Var(\\boldsymbol Y) = Var(\\boldsymbol O'\\boldsymbol X) = \\boldsymbol O'Var(\\boldsymbol X)\\boldsymbol O = \\boldsymbol{O'\\Sigma_xO= \\Lambda}.\n\\end{split}\n\\]\nOu seja, as componentes principais são construídas de forma que elas sejam não correlacionadas entre si (\\(cov(Y_i,Y_j) = 0\\), para todo \\(i \\neq j\\)) e tenham variâncias iguais aos autovalores correspondentes (\\(Var(Y_i) = \\lambda_i\\)). A prova desse resultado pode ser vista em (Johnson, Wichern, et al. 2002, 5:432).\nÉ de conhecimento geral, como um dos objetivos da análise de dados, a compreensão da distribuição bem como variabilidade dos dados. Podemos então descrever a variância total da população como sendo o somatório de todos os autovalores \\(\\lambda_i\\). A partir disso, podemos escrever a proporção da variância total explicada pela \\(j\\)-ésima componente, como sendo:\n\\[\n\\frac{\\lambda_j}{\\sum_{i=1}^p \\lambda_i}; \\qquad \\forall j =1,\\dots,p.\n\\] Essa definição é muito útil para reduzir a dimensionalidade dos dados, pois nos permite capturar uma proporção significativa da variabilidade total com um número menor de componentes. Dessa forma, para algum \\(p\\) significativamente grande, podemos utilizar \\(d &lt; p\\) componentes ao invés das \\(p\\) variáveis originais, considerando que, podemos descrever uma proporção relativamente alta da variância com essas \\(d\\) componentes.\nSe \\(Y_i = \\boldsymbol{e'_iX}, i =1\\dots,p\\) são as componentes principais obtidas da matriz de covariância, então\n\\[\n\\rho_{Y_i,X_j} = \\frac{e_{ij}\\sqrt{\\lambda_i}}{\\sigma_{jj}}, \\quad \\forall i,j=1,\\dots p,\n\\]\nSão os coeficientes de correlação entre a componente \\(Y_i\\) e a variável \\(X_j\\). Esse valor auxiliará na compreensão entre a relação indivídual de \\(X_j\\) a uma componente principal \\(Y_i\\), porém não explica a relação desta variável em presença das outras. Por isso, alguns altores recomendam o uso único do valor de \\(e_{ij}\\) para compreender a relação variável-componente. Ambos os resultados serão importântes para compreensão da componente. Observe abaixo a aplicação de todos os conceitos discutidos no software utilizado ( R ), com os devidos comentários.\n\n#Importacao dos dados\ndados &lt;- readRDS('dados/dados_indicadores.rds')\n\n#Matriz de Covariancia\nmatriz_cov &lt;- cov(dados |&gt; dplyr::select_if(is.numeric))\n\n#Calcular os autovalores e autovetores\nresultado &lt;- eigen(matriz_cov)\nautovalores &lt;- resultado$values\nautovetores &lt;- resultado$vectors\n\n#Calcular as componentes principais\ncomponentes_principais &lt;- as.matrix(dados |&gt; dplyr::select_if(is.numeric)) %*% autovetores\n\n#Calcular as proporceos da variancia total explicadas por cada componente\nprop_variancia &lt;- autovalores / sum(autovalores)\n\n#Calcular os coeficientes de correlacao entre as variaveis originais e as componentes\ncoef_correlacao &lt;- autovetores * sqrt(autovalores) / matriz_cov\n\n##### OU DE FORMA ANALOGA TAMBEM PODEMOS FAZER ###########\npca_dados &lt;- princomp((dados |&gt; dplyr::select_if(is.numeric)))\n\nOnde a função princomp é uma função em R que realiza a análise de componentes principais. Essa função retorna um objeto do tipo “princomp”, que contém várias informações sobre a análise realizada. Alguns dos principais elementos retornados por essa função são:\n\nsdev: Vetor contendo os desvios padrão estimados das componentes principais.\nloadings: Matriz de carga, que contém os coeficientes de ponderação das variáveis originais em cada componente principal. Cada coluna representa um componente principal, e as linhas correspondem às variáveis originais.\ncenter: Vetor contendo as médias das variáveis originais usadas na análise.\nscale: Vetor contendo os desvios padrão das variáveis originais usadas na análise.\nn.obs: Número de observações usadas na análise.\nscores: Matriz de escores, que contém os valores das observações nas componentes principais. Cada coluna representa um componente principal, e as linhas correspondem às observações.\ncall: A chamada da função princomp.\n\nAs componentes principais podem ser obtidas a partir de variáveis padronizadas. A padronização das variáveis é comumente realizada na análise de componentes principais para garantir que as variáveis tenham a mesma escala e evitar que uma variável com maior variabilidade domine a análise em detrimento das outras. Bem como estudado em variáveis aleatórias, a padronização das variáveis é feita subtraindo-se a média de cada variável e dividindo-se pelo desvio padrão. Dessa forma, todas as variáveis terão média zero e desvio padrão igual a um.\nNo código anterior, a padronização das variáveis não foi realizada, porem é recomendado padronizar as variáveis antes de realizar qualquer análise de componentes principais, isso pode ser feito de maneira simples utilizando o comando scale. Ao realizar essa transformação, trabalhar com a matriz de covariâncias das variáveis transformadas equivale a trabalhar com a matriz de correlação."
+    "title": "10  Análise de Componentes Principais (PCA).",
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+    "text": "10.2 Como realizar a análise de componentes principais.\nO primeiro passo é entender a definição matemática real das componentes principais. Seja \\(\\boldsymbol{X}\\) um vetor aleatório com \\(\\boldsymbol{\\mu} = E(\\boldsymbol{X})\\) e \\(\\boldsymbol \\Sigma = Var(\\boldsymbol{X})\\) e \\((\\lambda_i,e_i), i = 1,\\dots,p\\) os pares de autovalores e autovetores normalizados associados de \\(\\Sigma\\). Então,\n\\[\n\\begin{split}\n\\boldsymbol{Y} = \\boldsymbol{ O'}\\boldsymbol{X},\\quad \\textrm{com}\\quad \\boldsymbol{O} = [\\boldsymbol{e}_1,\\boldsymbol{e}_2,\\dots,\\boldsymbol{e}_p],\\textrm{ os componentes principais de }\\boldsymbol X\\\\\n\\textrm{ou seja}\\\\\n\\boldsymbol Y =\n\\begin{bmatrix}\nY_1\\\\\n\\vdots\\\\\nY_p\n\\end{bmatrix} \\textrm{ com  } \\quad Y_1 = \\boldsymbol e_1'\\boldsymbol X = e_{11}X_1 + e_{12}X_2 +  \\dots + e_{1p}X_p,\n\\end{split}\n\\]\na primeira componente principal.\nOs elementos na matriz \\(\\boldsymbol{O}\\), denominados loadings, representam as relações entre as variáveis originais e as componentes principais. Cada coluna da matriz \\(\\boldsymbol{O}\\) corresponde a uma componente principal, e as linhas correspondem às variáveis originais. Os elementos \\(e_{ij}\\) são os coeficientes de ponderação que indicam a contribuição de cada variável para cada componente principal. Em outras palavras, eles representam a importância relativa das variáveis na construção das componentes principais.\nComo citado, as componentes então seguem sendo combinações lineares das variáveis originais e os autovetores correspondentes. Os componentes principais de \\(\\boldsymbol{X}\\), \\(\\boldsymbol{Y}\\), são tais que,\n\\[\n\\begin{split}\n\\boldsymbol\\mu_y = E(\\boldsymbol Y) = E(\\boldsymbol O'\\boldsymbol X) = \\boldsymbol O'E(\\boldsymbol X) = \\boldsymbol O'\\boldsymbol\\mu_x\\\\\n\\boldsymbol\\Sigma_y = Var(\\boldsymbol Y) = Var(\\boldsymbol O'\\boldsymbol X) = \\boldsymbol O'Var(\\boldsymbol X)\\boldsymbol O = \\boldsymbol{O'\\Sigma_xO= \\Lambda}.\n\\end{split}\n\\]\nOu seja, as componentes principais são construídas de forma que elas sejam não correlacionadas entre si (\\(cov(Y_i,Y_j) = 0\\), para todo \\(i \\neq j\\)) e tenham variâncias iguais aos autovalores correspondentes (\\(Var(Y_i) = \\lambda_i\\)). A prova desse resultado pode ser vista em (Johnson, Wichern, et al. 2002, 5:432).\nÉ de conhecimento geral, como um dos objetivos da análise de dados, a compreensão da distribuição bem como variabilidade dos dados. Podemos então descrever a variância total da população como sendo o somatório de todos os autovalores \\(\\lambda_i\\). A partir disso, podemos escrever a proporção da variância total explicada pela \\(j\\)-ésima componente, como sendo:\n\\[\n\\frac{\\lambda_j}{\\sum_{i=1}^p \\lambda_i}; \\qquad \\forall j =1,\\dots,p.\n\\] Essa definição é muito útil para reduzir a dimensionalidade dos dados, pois nos permite capturar uma proporção significativa da variabilidade total com um número menor de componentes. Dessa forma, para algum \\(p\\) significativamente grande, podemos utilizar \\(d &lt; p\\) componentes ao invés das \\(p\\) variáveis originais, considerando que, podemos descrever uma proporção relativamente alta da variância com essas \\(d\\) componentes.\nSe \\(Y_i = \\boldsymbol{e'_iX}, i =1\\dots,p\\) são as componentes principais obtidas da matriz de covariância, então\n\\[\n\\rho_{Y_i,X_j} = \\frac{e_{ij}\\sqrt{\\lambda_i}}{\\sigma_{jj}}, \\quad \\forall i,j=1,\\dots p,\n\\]\nSão os coeficientes de correlação entre a componente \\(Y_i\\) e a variável \\(X_j\\). Esse valor auxiliará na compreensão entre a relação indivídual de \\(X_j\\) a uma componente principal \\(Y_i\\), porém não explica a relação desta variável em presença das outras. Por isso, alguns altores recomendam o uso único do valor de \\(e_{ij}\\) para compreender a relação variável-componente. Ambos os resultados serão importântes para compreensão da componente. Observe abaixo a aplicação de todos os conceitos discutidos no software utilizado ( R ), com os devidos comentários.\n\n#Importacao dos dados\ndados &lt;- readRDS('dados/dados_indicadores.rds')\n\n#Matriz de Covariancia\nmatriz_cov &lt;- cov(dados |&gt; dplyr::select_if(is.numeric))\n\n#Calcular os autovalores e autovetores\nresultado &lt;- eigen(matriz_cov)\nautovalores &lt;- resultado$values\nautovetores &lt;- resultado$vectors\n\n#Calcular as componentes principais\ncomponentes_principais &lt;- as.matrix(dados |&gt; dplyr::select_if(is.numeric)) %*% autovetores\n\n#Calcular as proporceos da variancia total explicadas por cada componente\nprop_variancia &lt;- autovalores / sum(autovalores)\n\n#Calcular os coeficientes de correlacao entre as variaveis originais e as componentes\ncoef_correlacao &lt;- autovetores * sqrt(autovalores) / matriz_cov\n\n##### OU DE FORMA ANALOGA TAMBEM PODEMOS FAZER ###########\npca_dados &lt;- princomp((dados |&gt; dplyr::select_if(is.numeric)))\n\nOnde a função princomp é uma função em R que realiza a análise de componentes principais. Essa função retorna um objeto do tipo “princomp”, que contém várias informações sobre a análise realizada. Alguns dos principais elementos retornados por essa função são:\n\nsdev: Vetor contendo os desvios padrão estimados das componentes principais.\nloadings: Matriz de carga, que contém os coeficientes de ponderação das variáveis originais em cada componente principal. Cada coluna representa um componente principal, e as linhas correspondem às variáveis originais.\ncenter: Vetor contendo as médias das variáveis originais usadas na análise.\nscale: Vetor contendo os desvios padrão das variáveis originais usadas na análise.\nn.obs: Número de observações usadas na análise.\nscores: Matriz de escores, que contém os valores das observações nas componentes principais. Cada coluna representa um componente principal, e as linhas correspondem às observações.\ncall: A chamada da função princomp.\n\nAs componentes principais podem ser obtidas a partir de variáveis padronizadas. A padronização das variáveis é comumente realizada na análise de componentes principais para garantir que as variáveis tenham a mesma escala e evitar que uma variável com maior variabilidade domine a análise em detrimento das outras. Bem como estudado em variáveis aleatórias, a padronização das variáveis é feita subtraindo-se a média de cada variável e dividindo-se pelo desvio padrão. Dessa forma, todas as variáveis terão média zero e desvio padrão igual a um.\nNo código anterior, a padronização das variáveis não foi realizada, porem é recomendado padronizar as variáveis antes de realizar qualquer análise de componentes principais, isso pode ser feito de maneira simples utilizando o comando scale. Ao realizar essa transformação, trabalhar com a matriz de covariâncias das variáveis transformadas equivale a trabalhar com a matriz de correlação."
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   {
     "objectID": "PCA.html#número-de-componentes-principais-e-redução-da-dimensionalidade.",
     "href": "PCA.html#número-de-componentes-principais-e-redução-da-dimensionalidade.",
-    "title": "11  Análise de Componentes Principais (PCA).",
-    "section": "11.3 Número de componentes principais e ReduçãO da dimensionalidade.",
-    "text": "11.3 Número de componentes principais e ReduçãO da dimensionalidade.\nA escolha do número ideal de componentes principais é uma etapa crucial ao aplicar a Análise de Componentes Principais (PCA) em um conjunto de dados. A seleção adequada de componentes pode garantir a retenção da maior parte da variância dos dados, ao mesmo tempo em que reduz a dimensionalidade do problema. Abaixo são apresentados alguns dos métodos atualmente utilizados para número \\(d\\) de componentes retidas.\n\nVariância explicada\n\nPlotar a porcentagem de variância explicada de cada componente individual e a porcentagem de variância total capturada por todos os componentes principais. Este é o método mais avançado e eficaz que pode ser usado para selecionar o melhor número de componentes principais para o conjunto de dados. Neste método, criamos o seguinte tipo de gráfico:\n\n#Padronizacao dos dados e criacao do modelo PCA\npca_dados &lt;- princomp(scale(dados |&gt; dplyr::select_if(is.numeric)))\n\n#Scree plot para numero de variaveis\nfactoextra::fviz_eig(pca_dados,\n                     addlabels = TRUE, \n                     linecolor = \"Red\", ylim = c(0, 50)) +\n ggplot2::labs(x = \"Dimensões\", y = \"Porcentagem de Variância Explicada\")\n\n\n\n\n\n\nO número de barras é igual ao número de variáveis no conjunto de dados original. Neste gráfico, cada barra mostra a porcentagem de variância explicada de cada componente individual. Ao observar esse gráfico, podemos decidir quantas componentes devem ser mantidas com base em algum critério como porcentagem mínima que deseja-se manter, exemplo 80% ou 90%, mantendo por exemplo 8 ou 7 componentes. Ou ainda podemos nos basear na linha vermelha usando o método do cotovelo aplicado em aprendizado não supervisionado.\n\nSeguir a regra de Kaiser\n\nDe acordo com a regra de Kaiser, é recomendado manter todos os componentes com autovalores maiores que 1.\nVocê pode obter os autovalores da seguinte forma:\n\npca_dados$sdev ^2\n\nEm seguida, você pode selecionar os componentes com autovalores maiores que 1. Ao seguir essa regra, é melhor combinar isso com o gráfico de porcentagem de variância explicada discutido no Método anterior. Às vezes, um autovalor ligeiramente menor que 1 (por exemplo, 0.95) pode capturar uma quantidade significativa de variância nos dados. Portanto, é melhor mantê-lo também se ele mostrar uma barra relativamente alta no gráfico de porcentagem de variância explicada.\n\nMétrica de avaliação de desempenho\n\nEste método só pode ser usado se você planeja realizar tarefas de regressão ou classificação com o conjunto de dados reduzido (transformado) após aplicar o PCA.\nUsando o gráfico discutido no Método de variância explicada, você pode selecionar o número inicial de componentes principais e obter o conjunto de dados reduzido (transformado). Em seguida, você constrói um modelo de regressão ou classificação e mede seu desempenho por meio do RMSE ou da pontuação de precisão. Em seguida, você altera ligeiramente o número de componentes principais, constrói o modelo novamente e mede a pontuação de desempenho. Após repetir essas etapas várias vezes, você pode selecionar o melhor número de componentes principais que realmente oferece a melhor pontuação de desempenho.\nObserve que a pontuação de desempenho do modelo depende de outros fatores também. Por exemplo, depende do estado aleatório da divisão dos conjuntos de treinamento e teste, quantidade de dados, desequilíbrio de classes, número de árvores no modelo (se o modelo for uma floresta aleatória ou uma variante similar), número de iterações definidas durante a otimização, valores discrepantes e valores ausentes nos dados, etc. Portanto, tenha cuidado ao usar este método!"
+    "title": "10  Análise de Componentes Principais (PCA).",
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+    "text": "10.3 Número de componentes principais e ReduçãO da dimensionalidade.\nA escolha do número ideal de componentes principais é uma etapa crucial ao aplicar a Análise de Componentes Principais (PCA) em um conjunto de dados. A seleção adequada de componentes pode garantir a retenção da maior parte da variância dos dados, ao mesmo tempo em que reduz a dimensionalidade do problema. Abaixo são apresentados alguns dos métodos atualmente utilizados para número \\(d\\) de componentes retidas.\n\nVariância explicada\n\nPlotar a porcentagem de variância explicada de cada componente individual e a porcentagem de variância total capturada por todos os componentes principais. Este é o método mais avançado e eficaz que pode ser usado para selecionar o melhor número de componentes principais para o conjunto de dados. Neste método, criamos o seguinte tipo de gráfico:\n\n#Padronizacao dos dados e criacao do modelo PCA\npca_dados &lt;- princomp(scale(dados |&gt; dplyr::select_if(is.numeric)))\n\n#Scree plot para numero de variaveis\nfactoextra::fviz_eig(pca_dados,\n                     addlabels = TRUE, \n                     linecolor = \"Red\", ylim = c(0, 50)) +\n ggplot2::labs(x = \"Dimensões\", y = \"Porcentagem de Variância Explicada\")\n\n\n\n\n\n\nO número de barras é igual ao número de variáveis no conjunto de dados original. Neste gráfico, cada barra mostra a porcentagem de variância explicada de cada componente individual. Ao observar esse gráfico, podemos decidir quantas componentes devem ser mantidas com base em algum critério como porcentagem mínima que deseja-se manter, exemplo 80% ou 90%, mantendo por exemplo 8 ou 7 componentes. Ou ainda podemos nos basear na linha vermelha usando o método do cotovelo aplicado em aprendizado não supervisionado.\n\nSeguir a regra de Kaiser\n\nDe acordo com a regra de Kaiser, é recomendado manter todos os componentes com autovalores maiores que 1.\nVocê pode obter os autovalores da seguinte forma:\n\npca_dados$sdev ^2\n\nEm seguida, você pode selecionar os componentes com autovalores maiores que 1. Ao seguir essa regra, é melhor combinar isso com o gráfico de porcentagem de variância explicada discutido no Método anterior. Às vezes, um autovalor ligeiramente menor que 1 (por exemplo, 0.95) pode capturar uma quantidade significativa de variância nos dados. Portanto, é melhor mantê-lo também se ele mostrar uma barra relativamente alta no gráfico de porcentagem de variância explicada.\n\nMétrica de avaliação de desempenho\n\nEste método só pode ser usado se você planeja realizar tarefas de regressão ou classificação com o conjunto de dados reduzido (transformado) após aplicar o PCA.\nUsando o gráfico discutido no Método de variância explicada, você pode selecionar o número inicial de componentes principais e obter o conjunto de dados reduzido (transformado). Em seguida, você constrói um modelo de regressão ou classificação e mede seu desempenho por meio do RMSE ou da pontuação de precisão. Em seguida, você altera ligeiramente o número de componentes principais, constrói o modelo novamente e mede a pontuação de desempenho. Após repetir essas etapas várias vezes, você pode selecionar o melhor número de componentes principais que realmente oferece a melhor pontuação de desempenho.\nObserve que a pontuação de desempenho do modelo depende de outros fatores também. Por exemplo, depende do estado aleatório da divisão dos conjuntos de treinamento e teste, quantidade de dados, desequilíbrio de classes, número de árvores no modelo (se o modelo for uma floresta aleatória ou uma variante similar), número de iterações definidas durante a otimização, valores discrepantes e valores ausentes nos dados, etc. Portanto, tenha cuidado ao usar este método!"
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-    "title": "11  Análise de Componentes Principais (PCA).",
-    "section": "11.4 Interpretação do componentes principais de uma amostra.",
-    "text": "11.4 Interpretação do componentes principais de uma amostra.\nApós realizar a Análise de Componentes Principais (PCA) em um conjunto de dados, é importante interpretar os componentes principais resultantes para entender a estrutura e os padrões presentes nos dados. A interpretação dos componentes principais envolve analisar os coeficientes de ponderação das variáveis originais em cada componente, ou loadings, como apresentado nas sessões anteriores.\nUma forma comum de interpretar os loadings é observar os valores absolutos e as diferenças entre eles. Valores absolutos altos indicam uma forte contribuição da variável para a respectiva componente principal, enquanto valores baixos indicam uma contribuição fraca. Além disso, diferenças significativas entre os valores absolutos dos loadings de uma variável em diferentes componentes podem indicar a presença de padrões específicos relacionados a essa variável.\nPor exemplo, suponha que estamos analisando um conjunto de dados com indicadores de saúde que inclui variáveis como taxa de mortalidade infantil, taxa de natalidade, gastos com saúde per capita, entre outras. Após realizar a PCA, obtemos as componentes principais. Podemos então examinar os loadings para interpretar os padrões presentes nos dados.\nSuponha que a primeira componente principal tenha altos loadings positivos para as variáveis de taxa de natalidade e gastos com saúde per capita, enquanto tem um loading negativo para a taxa de mortalidade infantil. Isso indica que a primeira componente principal está capturando um padrão em que países com maiores taxas de natalidade e maiores gastos com saúde per capita tendem a ter menores taxas de mortalidade infantil.\nDa mesma forma, a segunda componente principal pode ter altos loadings positivos para as variáveis de incidência de doenças e taxa de vacinação, indicando que ela está capturando um padrão em que países com maiores taxas de incidência de doenças e maiores taxas de vacinação tendem a ter menores valores nessa componente principal.\nA interpretação dos componentes principais também pode ser facilitada ao observar os valores dos coeficientes de correlação entre as variáveis originais e as componentes principais. Esses coeficientes de correlação indicam a força e a direção da relação entre cada variável e cada componente. Valores absolutos altos indicam uma correlação forte, enquanto valores próximos a zero indicam uma correlação fraca.\n\n\n\n\nJohnson, Richard Arnold, Dean W Wichern, et al. 2002. Applied multivariate statistical analysis. Vol. 5. 8. Prentice hall Upper Saddle River, NJ."
+    "title": "10  Análise de Componentes Principais (PCA).",
+    "section": "10.4 Interpretação do componentes principais de uma amostra.",
+    "text": "10.4 Interpretação do componentes principais de uma amostra.\nApós realizar a Análise de Componentes Principais (PCA) em um conjunto de dados, é importante interpretar os componentes principais resultantes para entender a estrutura e os padrões presentes nos dados. A interpretação dos componentes principais envolve analisar os coeficientes de ponderação das variáveis originais em cada componente, ou loadings, como apresentado nas sessões anteriores.\nUma forma comum de interpretar os loadings é observar os valores absolutos e as diferenças entre eles. Valores absolutos altos indicam uma forte contribuição da variável para a respectiva componente principal, enquanto valores baixos indicam uma contribuição fraca. Além disso, diferenças significativas entre os valores absolutos dos loadings de uma variável em diferentes componentes podem indicar a presença de padrões específicos relacionados a essa variável.\nPor exemplo, suponha que estamos analisando um conjunto de dados com indicadores de saúde que inclui variáveis como taxa de mortalidade infantil, taxa de natalidade, gastos com saúde per capita, entre outras. Após realizar a PCA, obtemos as componentes principais. Podemos então examinar os loadings para interpretar os padrões presentes nos dados.\nSuponha que a primeira componente principal tenha altos loadings positivos para as variáveis de taxa de natalidade e gastos com saúde per capita, enquanto tem um loading negativo para a taxa de mortalidade infantil. Isso indica que a primeira componente principal está capturando um padrão em que países com maiores taxas de natalidade e maiores gastos com saúde per capita tendem a ter menores taxas de mortalidade infantil.\nDa mesma forma, a segunda componente principal pode ter altos loadings positivos para as variáveis de incidência de doenças e taxa de vacinação, indicando que ela está capturando um padrão em que países com maiores taxas de incidência de doenças e maiores taxas de vacinação tendem a ter menores valores nessa componente principal.\nA interpretação dos componentes principais também pode ser facilitada ao observar os valores dos coeficientes de correlação entre as variáveis originais e as componentes principais. Esses coeficientes de correlação indicam a força e a direção da relação entre cada variável e cada componente. Valores absolutos altos indicam uma correlação forte, enquanto valores próximos a zero indicam uma correlação fraca.\n\n\n\n\nJohnson, Richard Arnold, Dean W Wichern, et al. 2002. Applied multivariate statistical analysis. Vol. 5. 8. Prentice hall Upper Saddle River, NJ."
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     "title": "3  Tabulação de dados",
     "section": "3.3 Alguns problemas no meio do caminho",
     "text": "3.3 Alguns problemas no meio do caminho\nÉ valido ressaltar que é possível se deparar com alguns problemas que talvez possam vir a ser solucionados da maneira errada.\nA forma como tabulamos nossos dados pode vir a ser um facilitar ou empecilho em nossas análises, um belo exemplo é a forma citada anteriormente de classificação dos dados ou transformação para que sejam salvos em alguma outra categoria, como faixa etária ou idade.\nOutro problema é quando trabalhamos com dados que possas vir a ter mais de uma resposta. Por exemplo: Quais sintomas estava sentindo? O melhor a se fazer nesse caso é criar uma coluna para cada um dos possíveis sintomas.\n\n\n\n\n\nMais de uma opção de escolha na variável\n\n\n\n\nUma outra forma seria:\n\n\n\n\n\nMais de uma opção de escolha na variável, outra forma\n\n\n\n\nDevemos lembrar sempre de anexar um ID ou forma de identificação única para cada uma das observações. É possível criar uma ou trabalhar com alguma já existente, um exemplo de uma já existente é o próprio CPF ou RG quando trabalhamos com pessoas.\nVale ressaltar outras boas práticas ao realizar a tabulação:\n\nSe trabalhando com Excel ou Softwares parecidos, deixe a planilha apenas com a tabela de dados, evite armazenar na mesma planilha várias informações avulssas que não façam parte da sua tabela;\nNo R conseguimos especificar qual planilha de um arquivo .xlsx queremos transferir, porém pode vir a ser um pouco confuso as vezes, então é sugerido deixar todas as suas informações em uma única tabela em uma única planilha;\nPadronização é extremamente importante, salve todos os dados para cada coluna em apenas um determinado formato (Ex.: Coluna Idade - Integer, Coluna Raça - Character), lembrando sempre de manter um padrão de medida (cm, L), variáveis do tipo categórico tambem precisam de padronização (Evite coisas como: Não, nao, n, N, não);\nCuidado ao classificar dados faltantes, uma prática errada é preencher esses dados com 0, isso pode vir a atrapalhar toda sua análise\nFoi citado CPF como forma de identificação, mas pode haver casos em que teremos mais de uma linha contendo um mesmo indivíduo dependendo do nosso tipo de dados. Ou seja, esteja atento para que não haja duplicidade de variável identificadora ou ID."
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+    "title": "2  Manipulação de dados",
+    "section": "",
+    "text": "Neste capítulo falaremos alguns princípios básicos sobre manipulação de dados. Iremos trabalhar em um cenário mais próximo da realidade possível, ou seja, iremos trabalhar em cima de uma base de dados real. O objetivo é manipular a base e torná-la pronta para ser usada nos capítulos seguintes. Será mostrado desde como importar a base até como criar novas variáveis que poderão ser utilizadas em análises. Não será possível cobrir todo o ramo de manipulação em um só capítulo, mas iremos trabalhar com o máximo de ferramentas possíveis. Pacotes ou funções que não forem utilizadas aqui, mas que são interessantes serão mencionados ao longo do capítulo junto a links que contenham explicações de como utilizá-las. Vale ressaltar que estamos em um cenário mais básico e introdutório. Vamos começar.\n\n2.0.1 Importação de dados\nUm dos caminhos mais simples para importar dados no R é utilizando a função read.table(). Está função é simples pois ja vem instalada com o R, faz parte do pacote base utils, e importa arquivos nos formatos cvs e txt.\nA utilização do pacote é bem simples, não preciso carregá-lo na memória usando library().\n\ndados1 &lt;- read.table(file = \"dados.csv\", sep = \";\")\ndados2 &lt;- read.table(file = \"caminho-para-o-arquivo/dados.csv\", sep = \";\")\n\nObserve que na função temos os argumentos file e sep. O file indica o nome do arquivo que será importado e sep indica qual o símbolo separador de colunas, que neste caso é a virgula. Note também que usamos dois exemplos, o primeiro considera que o seu arquivo está no diretório de trabalho (quando criamos o projeto e colocamos os arquivos de dados na pasta criada pelo projeto), não sendo necessário especificar o caminho até do arquivo. O outro exemplo mostra como especificar o local do seu arquivo. A função possui mais argumentos que você pode explorar usando o help, mas no geral, esses dois são os mais utilizados.\n\n2.0.1.1 Extensão .txt ou .csv\nCaso esteja trabalhando com arquivos do tipo cvs ou txt o pacote readr irá servir muito bem. As funções deste pacote são bem rapidas e algumas delas são focadas em tranformar arquivos simples em data.frame. Aglumas funções do pacote são\n\nread_cvs(): para arquivos delimitados por vírgulas.\nread_cvs2(): para arquivos delimitados por ponto e vírgula.\nread_tsv(): para arquivos delimitados por tabulações.\nread_delim(): para aquivos com qualquer delimitador.\nread_fwf(): para arquivos compactos que devem ter a largura de cada coluna especificada.\nread_table(): para arquivos de texto tabulas com colunas separas por espaço.\n\nCaso esta seja a primeira vez que você ira utilizar este pacote, será necessário instalá-lo em seu computar. Você pode fazer isso utilizando a função install.packages(\"readr\") e é claro, antes de usar qualquer pacote que não faça parte do R base, você deve carregá-lo. Como exemplo, consideramos um arquivo chamado dados1 que queremos importar para o R.\n\nlibrary(readr)\ndados_csv &lt;- read_csv(file = \"caminho-para-o-arquivo/dados1.csv\")\ndados_txt &lt;- read_delim(file = \"caminho-para-o-arquivo/dados1.txt\", delim = \" \")\n\nApesar dos argumentos deste pacote serem semelhantes aos da função read.table(), devemos nos atentar a algumas diferenças. Aqui é o argumento delim que indica qual o separador das colunas no arquivo texto.\nVale ressaltar que para cada função read_, existe umas respectiva função write_ para exportar o arquivo no formato de interesse. Como exemplo, queremos salvar a base de dados mtcars na pasta do meu computador com o nome cars:\n\nwrite_csv(x = mtcars, path = \"cars.csv\")\nwrite_delim(x = mtcars, delim = \" \", path = \"cars.txt\")\n\n\n\n2.0.1.2 Arquivos em Excel\nArquivos em formato xlsx são muito utilizados, porém o R não possui uma função nativa para importar este tipo de arquivo. Existem diversos pacotes para importar dados neste e formato e os principais são redxl, xlsx, XLConnect e tydixl. Apesar destes pacotes terem objetivos semelhantes, cada um tem suas peculiaridades, então aconselhamos estudar cada um desses pacotes e assim decidir qual melhor atende às suas necessidades. Aqui vamos mostrar apenas o pacote readxl, pois é um dos mais facéis e diretos de se utilizar. Este pacote serve para importar e ler planilhas do Excel nos formatos xlsx ou xls. A seguir estão listadas algumas funções para importação e leitura de dados:\n\nread_excel(): esta função detecta automaticamente a extensão do arquivo, e importa arquivos do tipo xsl e xlsx.\nread_xsl(): importa arquivos no formato xsl.\nread_xlsx(): importa arquivos no formato xlsx.\n\nNovamente, é necessário à instalação e carregamento do pacote caso não o tenha em seu computador. Para exemplicar consideramos um arquivo chamado dados2 que queremos importar para o R.\n\nlibrary(readxl)\ndados_excel1 &lt;- read_excel(path = \"dados2.xls\")\ndados_excelx1 &lt;- read_excel(path = \"dados2.xlsx\")\n\nPor meio da função read_excel conseguimos importar tanto um arquivo no formato xls quanto no formato xlsx.\nPodemos também exportar um arquivo em excel (.xls e .xlsx) ao considerar a função write_xlsx do pacote writexl. Suponha que temos o interesse em salvar a base de dados dados em excel na pasta do computador (exportar) com o nome de dados_correto:\n\nlibrary(writexl)\nwrite_xlsx(dados, \"dados_correto.xlsx\")\n\n\n\n\n2.0.2 Análise de consistência e tratamento de dados\nO tratamento dos dados toma muitas vezes a maior parte do tempo de uma análise estatística.\nA análise de consistência consiste em realizar uma primeira análise dos dados com o intuito de encontrar inconsistências. São exemplos de inconsistências:\n\nboas práticas para nome das variáveis.\ncomo erros de digitação;\nindivíduos imputados mais de uma vez na planilha de dados de maneira errada;\nidentificar casos missings e avaliar se a observação está ausente de maneira correta ou não;\nidentificar as categorias de variáveis qualitativas.\n\nA partir daqui iremos trabalhar com a nossa base de dados de COVID-19 em gestantes e puérperas.\nImportando os dados\nComo já aprendemos a importar os dados, vamos direto ao ponto. Nos dados estão no forma rds que não foi mencionado anteriormente, mas o pacote readr tem uma função para importar este tipo de arquivo.\n\ndados &lt;- readr::read_rds(\"dados/dados_covid[SUJO].rds\")\nknitr::kable(head(dados))\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nDT_NOTIFIC\nDT_SIN_PRI\nDT_NASC\nDT_INTERNA\nSEM_PRI\nSG_UF\nID_MN_RESI\nCO_MUN_RES\nCS_ZONA\nCS_RACA\nCS_ESCOL_N\nidade\nCS_GESTANT\nPUERPERA\nFEBRE\nTOSSE\nGARGANTA\nDISPNEIA\nDESC_RESP\nSATURACAO\nDIARREIA\nVOMITO\nFADIGA\nPERD_OLFT\nPERD_PALA\nDOR_ABD\nCARDIOPATI\nHEMATOLOGI\nHEPATICA\nASMA\nDIABETES\nNEUROLOGIC\nPNEUMOPATI\nIMUNODEPRE\nRENAL\nOBESIDADE\nVACINA_COV\nDOSE_1_COV\nDOSE_2_COV\nFAB_COV_1\nFAB_COV_2\nDT_ENTUTI\nDT_SAIDUTI\nUTI\nSUPORT_VEN\nEVOLUCAO\n\n\n\n\n15/05/2020\n06/05/2020\n03/06/2003\n15/05/2020\n19\nCE\nMORRINHOS\n230890\nNA\n4\nNA\n16\n2\nNA\n1\n1\nNA\nNA\nNA\nNA\nNA\nNA\nNA\nNA\nNA\nNA\nNA\nNA\nNA\nNA\nNA\nNA\nNA\nNA\nNA\nNA\nNA\nNA\nNA\nNA\nNA\n\n\n2\n2\n1\n\n\n18/05/2020\n10/05/2020\n07/07/1996\n15/05/2020\n20\nPR\nCURITIBA\n410690\n1\n1\n2\n23\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n2\n2\n1\n2\nNA\nNA\nNA\nNA\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nNA\nNA\nNA\nNA\nNA\n\n\n2\n3\n1\n\n\n30/04/2020\n20/04/2020\n26/03/1996\n24/04/2020\n17\nSP\nSAO CAETANO DO SUL\n354880\n1\n9\n9\n24\n9\n1\n1\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nNA\nNA\nNA\nNA\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nNA\nNA\nNA\nNA\nNA\n\n\n2\n3\n1\n\n\n11/05/2020\n04/05/2020\n02/06/1986\n09/05/2020\n19\nPA\nMARABA\n150420\n1\n4\n4\n33\n5\n1\n1\n1\n2\n2\n1\n2\n2\n2\nNA\nNA\nNA\nNA\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nNA\nNA\nNA\nNA\nNA\n\n\n2\n2\n1\n\n\n01/07/2020\n12/06/2020\n11/12/1996\n30/06/2020\n24\nDF\nSANTA MARIA\n530150\n1\n9\nNA\n23\n5\n1\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n2\nNA\n1\nNA\nNA\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nNA\nNA\nNA\nNA\nNA\n\n\n2\n3\n1\n\n\n09/06/2020\n09/06/2020\n09/12/1984\n09/06/2020\n24\nRO\nPORTO VELHO\n110020\n1\n4\n2\n35\n3\n2\n1\n1\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nNA\nNA\nNA\nNA\nNA\n\n\n2\n3\n1\n\n\n\n\n\n\n2.0.2.1 Tratamento da base de dados\nInicialmente, vamos verificar os nomes das variáveis na base de dados por meio da função names. Note que os nomes estão, de certa forma, padronizados. Todos maíusculos (com exceção de “idade”), separados por “_”. Este ainda não é o cenário ideal para trabalharmos, mas poderia ser pior, contendo maiúsculas, espaços e acentos. Utilizar os dados com essas características não impossibilita as futuras análises, mas pode atrapalhar quando precisamos selecionar algumas dessas variáveis.\n\nnames(dados)\n\n [1] \"DT_NOTIFIC\" \"DT_SIN_PRI\" \"DT_NASC\"    \"DT_INTERNA\" \"SEM_PRI\"   \n [6] \"SG_UF\"      \"ID_MN_RESI\" \"CO_MUN_RES\" \"CS_ZONA\"    \"CS_RACA\"   \n[11] \"CS_ESCOL_N\" \"idade\"      \"CS_GESTANT\" \"PUERPERA\"   \"FEBRE\"     \n[16] \"TOSSE\"      \"GARGANTA\"   \"DISPNEIA\"   \"DESC_RESP\"  \"SATURACAO\" \n[21] \"DIARREIA\"   \"VOMITO\"     \"FADIGA\"     \"PERD_OLFT\"  \"PERD_PALA\" \n[26] \"DOR_ABD\"    \"CARDIOPATI\" \"HEMATOLOGI\" \"HEPATICA\"   \"ASMA\"      \n[31] \"DIABETES\"   \"NEUROLOGIC\" \"PNEUMOPATI\" \"IMUNODEPRE\" \"RENAL\"     \n[36] \"OBESIDADE\"  \"VACINA_COV\" \"DOSE_1_COV\" \"DOSE_2_COV\" \"FAB_COV_1\" \n[41] \"FAB_COV_2\"  \"DT_ENTUTI\"  \"DT_SAIDUTI\" \"UTI\"        \"SUPORT_VEN\"\n[46] \"EVOLUCAO\"  \n\n\numa boa prática consiste em padronizar os nomes das variáveis, até para facilitar a lembrança deles. Para isso, utilizaremos o pacote janitor para a arrumação da base de dados. Usamos a função clean_names() para primeiro ajuste dos nomes das variáveis.\n\ndados &lt;- janitor::clean_names(dados) \nnames(dados)\n\n [1] \"dt_notific\" \"dt_sin_pri\" \"dt_nasc\"    \"dt_interna\" \"sem_pri\"   \n [6] \"sg_uf\"      \"id_mn_resi\" \"co_mun_res\" \"cs_zona\"    \"cs_raca\"   \n[11] \"cs_escol_n\" \"idade\"      \"cs_gestant\" \"puerpera\"   \"febre\"     \n[16] \"tosse\"      \"garganta\"   \"dispneia\"   \"desc_resp\"  \"saturacao\" \n[21] \"diarreia\"   \"vomito\"     \"fadiga\"     \"perd_olft\"  \"perd_pala\" \n[26] \"dor_abd\"    \"cardiopati\" \"hematologi\" \"hepatica\"   \"asma\"      \n[31] \"diabetes\"   \"neurologic\" \"pneumopati\" \"imunodepre\" \"renal\"     \n[36] \"obesidade\"  \"vacina_cov\" \"dose_1_cov\" \"dose_2_cov\" \"fab_cov_1\" \n[41] \"fab_cov_2\"  \"dt_entuti\"  \"dt_saiduti\" \"uti\"        \"suport_ven\"\n[46] \"evolucao\"  \n\n\nVeja que ele deixou todos os nomes minúsculos. Neste caso não foi feito, mas a função substitui o espaço por “_” e tira acentos. Isso ajuda a evitar problemas futuros em algumas análises que não lidam muito bem com acentos e espaços nos nomes das variáveis.\nOutro problema comum é a presença de linhas e colunas vazias. Na base de dados em questão, não há linhas nem colunas em branco, como pode ser visto na saída abaixo.\n\njanitor::remove_empty(dados,\"rows\")\njanitor::remove_empty(dados,\"cols\")\n\n\n\n2.0.2.2 \nIdentificando casos duplicados\nOutra boa prática é identificar casos duplicados, isto é, identificar se há casos erroneamente repetidos. O ideal é utilizar variável chave do seu banco de dados, ou seja, aquela em que cada observação é única. Por exemplo, em uma base de dados de funcionários de uma empresa, uma variável chave poderia ser o CPF. Uma variável chave também pode ser a combinação de variáveis, gerando assim observações únicas. Para identificar casos duplicados, usamos a função get_dupes do pacote janitor. Em nosso banco de dados não tempos uma varíavel chave, então não vamos especificá-la na função, assim a função irá procurar observações repetidas considerando todas as variáveis, ou seja, linhas repetidas.\n\njanitor::get_dupes(dados)\n\nNo variable names specified - using all columns.\n\n\nNo duplicate combinations found of: dt_notific, dt_sin_pri, dt_nasc, dt_interna, sem_pri, sg_uf, id_mn_resi, co_mun_res, cs_zona, ... and 37 other variables\n\n\n [1] dt_notific dt_sin_pri dt_nasc    dt_interna sem_pri    sg_uf     \n [7] id_mn_resi co_mun_res cs_zona    cs_raca    cs_escol_n idade     \n[13] cs_gestant puerpera   febre      tosse      garganta   dispneia  \n[19] desc_resp  saturacao  diarreia   vomito     fadiga     perd_olft \n[25] perd_pala  dor_abd    cardiopati hematologi hepatica   asma      \n[31] diabetes   neurologic pneumopati imunodepre renal      obesidade \n[37] vacina_cov dose_1_cov dose_2_cov fab_cov_1  fab_cov_2  dt_entuti \n[43] dt_saiduti uti        suport_ven evolucao   dupe_count\n&lt;0 linhas&gt; (ou row.names de comprimento 0)\n\n\nEm nosso caso, não temos casos duplicados. Caso tivesse, seria necessário remover as linhas duplicadas. Isto pode ser feito com o uso da função distinct do pacote dplyr.\n\n\n\n2.0.3 Identificar problemas nas variáveis da base de dados\nOutra etapa importante na análise de consistência é identificar o tipo de variável e ver se o R está interpretando corretamente o tipo de cada variável.\nTemos na nossa base de dados variáveis de data, além de variáveis qualitativas e quantitativas (veja o dicionário das variáveis na em: refenciar parte). Assim, precisamos entender se o R realmente entendeu todas as variáveis da maneira correta. Uma maneira de identificar isso e também de ver algumas descritivas das variáveis que nos auxiliam a ver possíveis inconsistências na base de dados é a a função glimpse do pacote dplyr. A função skim do pacote skimr também pode ajudar nisso.\n\nlibrary(dplyr)\n\n\nAttaching package: 'dplyr'\n\n\nThe following objects are masked from 'package:stats':\n\n    filter, lag\n\n\nThe following objects are masked from 'package:base':\n\n    intersect, setdiff, setequal, union\n\nglimpse(dados)\n\nRows: 11,523\nColumns: 46\n$ dt_notific &lt;chr&gt; \"15/05/2020\", \"18/05/2020\", \"30/04/2020\", \"11/05/2020\", \"01…\n$ dt_sin_pri &lt;chr&gt; \"06/05/2020\", \"10/05/2020\", \"20/04/2020\", \"04/05/2020\", \"12…\n$ dt_nasc    &lt;chr&gt; \"03/06/2003\", \"07/07/1996\", \"26/03/1996\", \"02/06/1986\", \"11…\n$ dt_interna &lt;chr&gt; \"15/05/2020\", \"15/05/2020\", \"24/04/2020\", \"09/05/2020\", \"30…\n$ sem_pri    &lt;int&gt; 19, 20, 17, 19, 24, 24, 26, 27, 28, 24, 14, 29, 28, 10, 36,…\n$ sg_uf      &lt;chr&gt; \"CE\", \"PR\", \"SP\", \"PA\", \"DF\", \"RO\", \"PI\", \"RS\", \"PE\", \"MA\",…\n$ id_mn_resi &lt;chr&gt; \"MORRINHOS\", \"CURITIBA\", \"SAO CAETANO DO SUL\", \"MARABA\", \"S…\n$ co_mun_res &lt;int&gt; 230890, 410690, 354880, 150420, 530150, 110020, 221100, 431…\n$ cs_zona    &lt;int&gt; NA, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, NA, 1, 1, 1, NA, 1, 1, NA, 2…\n$ cs_raca    &lt;int&gt; 4, 1, 9, 4, 9, 4, 9, 1, 4, 9, 4, 4, 4, 4, 4, 9, 4, 9, 4, 4,…\n$ cs_escol_n &lt;int&gt; NA, 2, 9, 4, NA, 2, 4, 2, NA, NA, NA, 9, 9, 3, 3, NA, 3, NA…\n$ idade      &lt;dbl&gt; 16, 23, 24, 33, 23, 35, 31, 17, 22, 29, 28, 22, 27, 25, 26,…\n$ cs_gestant &lt;int&gt; 2, 2, 9, 5, 5, 3, 1, 5, 3, 3, 4, 3, 5, 3, 3, 3, 3, 9, 3, 3,…\n$ puerpera   &lt;int&gt; NA, 2, 1, 1, 1, 2, NA, 1, NA, 1, NA, NA, 1, 2, 1, NA, NA, 1…\n$ febre      &lt;int&gt; 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, NA, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1…\n$ tosse      &lt;int&gt; 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, NA, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1…\n$ garganta   &lt;int&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 1, NA, 2, NA, 2, 1, 1, 2, 2, NA, …\n$ dispneia   &lt;int&gt; NA, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, NA, NA, 1, NA, 2, 1, 2, 1, 1, NA, …\n$ desc_resp  &lt;int&gt; NA, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, NA, 1, 1, NA, 2, 1, 2, 2, 1, NA, 1…\n$ saturacao  &lt;int&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, NA, NA, 2, NA, 2, 2, 2, 1, 1, NA, …\n$ diarreia   &lt;int&gt; NA, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, NA, NA, 2, NA, 2, 1, 2, 2, 2, NA, …\n$ vomito     &lt;int&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, NA, NA, 2, NA, 2, 1, 2, 2, 2, NA, …\n$ fadiga     &lt;int&gt; NA, NA, NA, NA, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, NA, NA, 2, 2, 2, …\n$ perd_olft  &lt;int&gt; NA, NA, NA, NA, 1, 2, NA, NA, NA, NA, 2, NA, NA, 1, 2, 1, 2…\n$ perd_pala  &lt;int&gt; NA, NA, NA, NA, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, NA, NA, 1, 2, 2, …\n$ dor_abd    &lt;int&gt; NA, NA, NA, NA, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, NA, NA, 2, 2, 2, …\n$ cardiopati &lt;int&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 1, NA, NA, …\n$ hematologi &lt;int&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 2, NA, NA, …\n$ hepatica   &lt;int&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 2, NA, NA, …\n$ asma       &lt;int&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 2, NA, NA, …\n$ diabetes   &lt;int&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 2, NA, NA, …\n$ neurologic &lt;int&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 1, NA, NA, …\n$ pneumopati &lt;int&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 2, NA, NA, …\n$ imunodepre &lt;int&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 2, NA, NA, …\n$ renal      &lt;int&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 2, NA, NA, …\n$ obesidade  &lt;int&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 2, NA, NA, …\n$ vacina_cov &lt;int&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ dose_1_cov &lt;chr&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ dose_2_cov &lt;chr&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ fab_cov_1  &lt;chr&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ fab_cov_2  &lt;chr&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ dt_entuti  &lt;chr&gt; \"\", \"\", \"\", \"\", \"\", \"\", \"\", \"30/06/2020\", \"\", \"12/07/2020\",…\n$ dt_saiduti &lt;chr&gt; \"\", \"\", \"\", \"\", \"\", \"\", \"\", \"29/07/2020\", \"\", \"\", \"\", \"\", \"…\n$ uti        &lt;int&gt; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, NA, 2…\n$ suport_ven &lt;int&gt; 2, 3, 3, 2, 3, 3, 9, 1, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2,…\n$ evolucao   &lt;int&gt; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, NA, 1, 1, 1, 1, 1, 1…\n\n\nNo R, as variáveis qualititativas são nomeadas “factor”, as variáveis quantitativas são nomeadas “numeric” e as variáveis de data são “date”. Note que na importação dos dados o R não entendeu corretamente os tipos de variáveis. Mas vamos corrigir isso no que segue.\nComeçando pela data, vamos rodar o seguinte código:\n\ndados$dt_notific  &lt;- as.Date(dados$dt_notific, format = \"%d/%m/%Y\")\ndados$dt_sin_pri  &lt;- as.Date(dados$dt_sin_pri, format = \"%d/%m/%Y\")\ndados$dt_nasc  &lt;- as.Date(dados$dt_nasc, format = \"%d/%m/%Y\")\ndados$dt_interna  &lt;- as.Date(dados$dt_interna, format = \"%d/%m/%Y\")\ndados$dt_entuti  &lt;- as.Date(dados$dt_entuti, format = \"%d/%m/%Y\")\ndados$dt_saiduti  &lt;- as.Date(dados$dt_saiduti, format = \"%d/%m/%Y\")\n\nA função as.Date informa para o R que a variável indicada é de data. O argumento format indica o formato que está a data, nesse caso, “dia/mês/ano”. Aqui é possível verificar todos os formatos de datas da função. Vamos ver como ficou:\n\nglimpse(dados)\n\nRows: 11,523\nColumns: 46\n$ dt_notific &lt;date&gt; 2020-05-15, 2020-05-18, 2020-04-30, 2020-05-11, 2020-07-01…\n$ dt_sin_pri &lt;date&gt; 2020-05-06, 2020-05-10, 2020-04-20, 2020-05-04, 2020-06-12…\n$ dt_nasc    &lt;date&gt; 2003-06-03, 1996-07-07, 1996-03-26, 1986-06-02, 1996-12-11…\n$ dt_interna &lt;date&gt; 2020-05-15, 2020-05-15, 2020-04-24, 2020-05-09, 2020-06-30…\n$ sem_pri    &lt;int&gt; 19, 20, 17, 19, 24, 24, 26, 27, 28, 24, 14, 29, 28, 10, 36,…\n$ sg_uf      &lt;chr&gt; \"CE\", \"PR\", \"SP\", \"PA\", \"DF\", \"RO\", \"PI\", \"RS\", \"PE\", \"MA\",…\n$ id_mn_resi &lt;chr&gt; \"MORRINHOS\", \"CURITIBA\", \"SAO CAETANO DO SUL\", \"MARABA\", \"S…\n$ co_mun_res &lt;int&gt; 230890, 410690, 354880, 150420, 530150, 110020, 221100, 431…\n$ cs_zona    &lt;int&gt; NA, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, NA, 1, 1, 1, NA, 1, 1, NA, 2…\n$ cs_raca    &lt;int&gt; 4, 1, 9, 4, 9, 4, 9, 1, 4, 9, 4, 4, 4, 4, 4, 9, 4, 9, 4, 4,…\n$ cs_escol_n &lt;int&gt; NA, 2, 9, 4, NA, 2, 4, 2, NA, NA, NA, 9, 9, 3, 3, NA, 3, NA…\n$ idade      &lt;dbl&gt; 16, 23, 24, 33, 23, 35, 31, 17, 22, 29, 28, 22, 27, 25, 26,…\n$ cs_gestant &lt;int&gt; 2, 2, 9, 5, 5, 3, 1, 5, 3, 3, 4, 3, 5, 3, 3, 3, 3, 9, 3, 3,…\n$ puerpera   &lt;int&gt; NA, 2, 1, 1, 1, 2, NA, 1, NA, 1, NA, NA, 1, 2, 1, NA, NA, 1…\n$ febre      &lt;int&gt; 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, NA, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1…\n$ tosse      &lt;int&gt; 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, NA, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1…\n$ garganta   &lt;int&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 1, NA, 2, NA, 2, 1, 1, 2, 2, NA, …\n$ dispneia   &lt;int&gt; NA, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, NA, NA, 1, NA, 2, 1, 2, 1, 1, NA, …\n$ desc_resp  &lt;int&gt; NA, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, NA, 1, 1, NA, 2, 1, 2, 2, 1, NA, 1…\n$ saturacao  &lt;int&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, NA, NA, 2, NA, 2, 2, 2, 1, 1, NA, …\n$ diarreia   &lt;int&gt; NA, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, NA, NA, 2, NA, 2, 1, 2, 2, 2, NA, …\n$ vomito     &lt;int&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, NA, NA, 2, NA, 2, 1, 2, 2, 2, NA, …\n$ fadiga     &lt;int&gt; NA, NA, NA, NA, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, NA, NA, 2, 2, 2, …\n$ perd_olft  &lt;int&gt; NA, NA, NA, NA, 1, 2, NA, NA, NA, NA, 2, NA, NA, 1, 2, 1, 2…\n$ perd_pala  &lt;int&gt; NA, NA, NA, NA, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, NA, NA, 1, 2, 2, …\n$ dor_abd    &lt;int&gt; NA, NA, NA, NA, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, NA, NA, 2, 2, 2, …\n$ cardiopati &lt;int&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 1, NA, NA, …\n$ hematologi &lt;int&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 2, NA, NA, …\n$ hepatica   &lt;int&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 2, NA, NA, …\n$ asma       &lt;int&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 2, NA, NA, …\n$ diabetes   &lt;int&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 2, NA, NA, …\n$ neurologic &lt;int&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 1, NA, NA, …\n$ pneumopati &lt;int&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 2, NA, NA, …\n$ imunodepre &lt;int&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 2, NA, NA, …\n$ renal      &lt;int&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 2, NA, NA, …\n$ obesidade  &lt;int&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 2, NA, NA, …\n$ vacina_cov &lt;int&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ dose_1_cov &lt;chr&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ dose_2_cov &lt;chr&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ fab_cov_1  &lt;chr&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ fab_cov_2  &lt;chr&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ dt_entuti  &lt;date&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 2020-06-30, NA, 2020-07-12, NA…\n$ dt_saiduti &lt;date&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 2020-07-29, NA, NA, NA, NA, NA…\n$ uti        &lt;int&gt; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, NA, 2…\n$ suport_ven &lt;int&gt; 2, 3, 3, 2, 3, 3, 9, 1, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2,…\n$ evolucao   &lt;int&gt; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, NA, 1, 1, 1, 1, 1, 1…\n\n\nAgora vamos lidar com as variáveis qualitativas. Veja que “cs_zona” foi identificada como int. Isso acontece porque ela foi tabulada como número, como posteriormente variáveis deste tipo serão recodificadas de acordo com o dicionário, precisamos tratá-la como fator. Já as demais variáveis qualitativas estão identificadas como numeric, dbl ou chacacter pois na tabulação suas categorias estão codificadas com números ou textos. Para então dizer ao R o verdadeiro tipo dessas variáveis, vamos utilizar os seguintes comandos:\n\ndados$cs_raca &lt;- as.factor(dados$cs_raca)\ndados$cs_escol_n &lt;- as.factor(dados$cs_escol_n)\ndados$cs_gestant &lt;- as.factor(dados$cs_gestant)\ndados$puerpera &lt;- as.factor(dados$puerpera)\ndados$cs_zona &lt;- as.factor(dados$cs_zona)\ndados$febre &lt;- as.factor(dados$febre)\ndados$tosse &lt;- as.factor(dados$tosse)\ndados$suport_ven &lt;- as.factor(dados$suport_ven)\ndados$uti &lt;- as.factor(dados$uti)\ndados$evolucao &lt;- as.factor(dados$evolucao)\n\nUma forma um pouco mais eficiente de fazer isso é selecionar as variáveis por meio de um vetor, por exemplo, quero que as variáveis da coluna 10 até a coluna 20 sejam fatores. Podemos fazer isso com a ajuda a função lapply. Essa função, em resumo, nos possibilita aplicar uma função em uma lista de elementos e retorna uma lista de mesmo tamanho em que o resultado é a aplicação desta função a cada elemento da lista. Neste caso, aplicamos a função as.factor nas colunas selecionadas (lista de elementos). Veja como é feito.\n\n\ndados[,c(17:37)] &lt;- lapply(dados[,c(17:37)], as.factor)\nglimpse(dados)\n\nRows: 11,523\nColumns: 46\n$ dt_notific &lt;date&gt; 2020-05-15, 2020-05-18, 2020-04-30, 2020-05-11, 2020-07-01…\n$ dt_sin_pri &lt;date&gt; 2020-05-06, 2020-05-10, 2020-04-20, 2020-05-04, 2020-06-12…\n$ dt_nasc    &lt;date&gt; 2003-06-03, 1996-07-07, 1996-03-26, 1986-06-02, 1996-12-11…\n$ dt_interna &lt;date&gt; 2020-05-15, 2020-05-15, 2020-04-24, 2020-05-09, 2020-06-30…\n$ sem_pri    &lt;int&gt; 19, 20, 17, 19, 24, 24, 26, 27, 28, 24, 14, 29, 28, 10, 36,…\n$ sg_uf      &lt;chr&gt; \"CE\", \"PR\", \"SP\", \"PA\", \"DF\", \"RO\", \"PI\", \"RS\", \"PE\", \"MA\",…\n$ id_mn_resi &lt;chr&gt; \"MORRINHOS\", \"CURITIBA\", \"SAO CAETANO DO SUL\", \"MARABA\", \"S…\n$ co_mun_res &lt;int&gt; 230890, 410690, 354880, 150420, 530150, 110020, 221100, 431…\n$ cs_zona    &lt;fct&gt; NA, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, NA, 1, 1, 1, NA, 1, 1, NA, 2…\n$ cs_raca    &lt;fct&gt; 4, 1, 9, 4, 9, 4, 9, 1, 4, 9, 4, 4, 4, 4, 4, 9, 4, 9, 4, 4,…\n$ cs_escol_n &lt;fct&gt; NA, 2, 9, 4, NA, 2, 4, 2, NA, NA, NA, 9, 9, 3, 3, NA, 3, NA…\n$ idade      &lt;dbl&gt; 16, 23, 24, 33, 23, 35, 31, 17, 22, 29, 28, 22, 27, 25, 26,…\n$ cs_gestant &lt;fct&gt; 2, 2, 9, 5, 5, 3, 1, 5, 3, 3, 4, 3, 5, 3, 3, 3, 3, 9, 3, 3,…\n$ puerpera   &lt;fct&gt; NA, 2, 1, 1, 1, 2, NA, 1, NA, 1, NA, NA, 1, 2, 1, NA, NA, 1…\n$ febre      &lt;fct&gt; 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, NA, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1…\n$ tosse      &lt;fct&gt; 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, NA, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1…\n$ garganta   &lt;fct&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 1, NA, 2, NA, 2, 1, 1, 2, 2, NA, …\n$ dispneia   &lt;fct&gt; NA, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, NA, NA, 1, NA, 2, 1, 2, 1, 1, NA, …\n$ desc_resp  &lt;fct&gt; NA, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, NA, 1, 1, NA, 2, 1, 2, 2, 1, NA, 1…\n$ saturacao  &lt;fct&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, NA, NA, 2, NA, 2, 2, 2, 1, 1, NA, …\n$ diarreia   &lt;fct&gt; NA, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, NA, NA, 2, NA, 2, 1, 2, 2, 2, NA, …\n$ vomito     &lt;fct&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, NA, NA, 2, NA, 2, 1, 2, 2, 2, NA, …\n$ fadiga     &lt;fct&gt; NA, NA, NA, NA, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, NA, NA, 2, 2, 2, …\n$ perd_olft  &lt;fct&gt; NA, NA, NA, NA, 1, 2, NA, NA, NA, NA, 2, NA, NA, 1, 2, 1, 2…\n$ perd_pala  &lt;fct&gt; NA, NA, NA, NA, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, NA, NA, 1, 2, 2, …\n$ dor_abd    &lt;fct&gt; NA, NA, NA, NA, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, NA, NA, 2, 2, 2, …\n$ cardiopati &lt;fct&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 1, NA, NA, …\n$ hematologi &lt;fct&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 2, NA, NA, …\n$ hepatica   &lt;fct&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 2, NA, NA, …\n$ asma       &lt;fct&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 2, NA, NA, …\n$ diabetes   &lt;fct&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 2, NA, NA, …\n$ neurologic &lt;fct&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 1, NA, NA, …\n$ pneumopati &lt;fct&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 2, NA, NA, …\n$ imunodepre &lt;fct&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 2, NA, NA, …\n$ renal      &lt;fct&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 2, NA, NA, …\n$ obesidade  &lt;fct&gt; NA, 2, 2, 2, 2, 2, NA, 2, NA, NA, NA, NA, 2, 2, 2, NA, NA, …\n$ vacina_cov &lt;fct&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ dose_1_cov &lt;chr&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ dose_2_cov &lt;chr&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ fab_cov_1  &lt;chr&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ fab_cov_2  &lt;chr&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ dt_entuti  &lt;date&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 2020-06-30, NA, 2020-07-12, NA…\n$ dt_saiduti &lt;date&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 2020-07-29, NA, NA, NA, NA, NA…\n$ uti        &lt;fct&gt; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, NA, 2…\n$ suport_ven &lt;fct&gt; 2, 3, 3, 2, 3, 3, 9, 1, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2,…\n$ evolucao   &lt;fct&gt; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, NA, 1, 1, 1, 1, 1, 1…\n\n\nÓtimo! Corrigimos as inconsistências das variáveis qualitativas. Mas outra questão surge: como faço para usar um rótulo nos números codificados nas categorias das variáveis qualitativas? Para o grupo, por exemplo, ao invés de aparecer 1 quero que apareça “sim”. Para isso, vamos utilizar o pacote forcats que lida com variáveis qualitativas (categóricas). Para renomear as categorias das variáveis, vamos usar a função fct_recode desse pacote:\n\ndados$cs_raca &lt;- forcats::fct_recode(dados$cs_raca,\n                                   branca = \"1\",\n                                   preta = \"2\",\n                                   amarela = \"3\",\n                                   parda = \"4\",\n                                   indigena = \"5\",\n                                   ignorado = \"9\")\n\ndados$cs_escol_n &lt;- forcats::fct_recode(dados$cs_escol_n,\n                                     \"sem escola\"  = \"0\",\n                                     fund1 = \"1\",\n                                     fund2 = \"2\",\n                                     medio = \"3\",\n                                     superior = \"4\",\n                                     ignorado = \"9\")\n\ndados$cs_gestant &lt;- forcats::fct_recode(dados$cs_gestant,\n                                     \"1tri\" = \"1\",\n                                     \"2tri\" = \"2\",\n                                     \"3tri\" = \"3\",\n                                     IG_ig = \"4\",\n                                     nao = \"5\",\n                                     ignorado = \"9\")\n\ndados$puerpera &lt;- forcats::fct_recode(dados$puerpera,\n                                      sim = \"1\",\n                                      nao = \"2\",\n                                      ignorado = \"9\")\n\ndados$cs_zona &lt;- forcats::fct_recode(dados$cs_zona,\n                                  urbana = \"1\",\n                                  rural = \"2\",\n                                  periurbana = \"3\",\n                                  ignorado = \"9\")\n\ndados$febre &lt;- forcats::fct_recode(dados$febre,\n                                   sim = \"1\",\n                                   nao = \"2\",\n                                   ignorado = \"9\")\n\ndados$suport_ven &lt;-forcats::fct_recode(dados$suport_ven,\n                                       \"sim, invasivo\" = \"1\",\n                                       \"sim, nao invasivo\" = \"2\",\n                                       nao = \"3\",\n                                       ignorado = \"9\")\n\ndados$uti &lt;-forcats::fct_recode(dados$uti,\n                                       sim = \"1\",\n                                       nao = \"2\",\n                                       ignorado = \"9\")\n\ndados$evolucao &lt;-forcats::fct_recode(dados$evolucao,\n                                       cura = \"1\",\n                                       obito = \"2\",\n                                       \"obito por outras causas\" = \"3\",\n                                       ignorado = \"9\")\n\nEste tramanto foi feito para todas as variáveis qualitativas da base, mas por conta do tamanho do código, omitimos algumas da saída.\nFinalmente chegamos nas variáveis quantitativas. Uma forma de identificar problemas em variáveis quantitativas é avaliar os valores mínimo e máximo de cada variável e ver se tem algum valor impossível para a mesma. Em nosso caso podemos verificar a variável idade. Seria meio estranho encontrar alguém com valores extremamente altos ou negativos, concorda?! A função summary pode ser uma opção boa aqui, ela nos formece algumas medidas descritivas como, media, mínimo, máximo, entre outros.\n\nsummary(dados$idade)\n\n   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max.    NA's \n  10.00   25.00   30.00   30.25   35.00   55.00       9 \n\n\nAparentemente nossa variável esta dentro do esperado, sem valores inesperados.\n\n2.0.3.1 Transformação de dados\nÉ possível modificar ou criar novas variáveis na base de dados por meio da função mutate do pacote dplyr, você pode veificar melhor essa função clicando aqui. Também podemos criar categorias com base em alguma condição por meio da função case_when também do pacote dplyr, veja melhor aqui. Para ficar mais claro, vamos a um exemplo combinando as duas funções. Vamos criar a variável “faixa_et”, onde as observações serão as faixas etárias. São essas: “&lt;20”, “20-34” e “&gt;=”. Veja como faz:\n\ndados &lt;- dados |&gt; \n  mutate(faixa_et = case_when(\n    idade &lt; 20 ~ \"&lt;20\",\n    idade &gt;= 20 & idade &lt; 34 ~ \"20-34\",\n    idade &gt;= 34 ~ \"&gt;=34\"\n  ))\n\ntable(dados$faixa_et)#table nos mostra as observações da quela variável e a sua frequência. \n\n\n  &lt;20  &gt;=34 20-34 \n  714  3862  6938 \n\n\nAqui fizemos a utilização da função “pipe” |&gt; que agora está no pacote base do R, mas que antes era necessário carregá-la por meio de pacotes. Essa função é de extrema importância, facilita a programção no R de uma forma inimaginável. É válido dedicar um pouco de seu tempo para entender melhor essa função. Separamos alguns links que pode te ajudar a entender melhor e você pode acessá-los clickando aqui, aqui ou aqui. Como foi mencionado acima, a função foi adicionada ao R base há pouco tempo, então esses links se referem ao pipe “antigo”, mas fique tranquilo, a função é a mesma. Para resumir, o pipe pega a saída de uma função e a passa para outra função como um argumento. Isso nos permite vincular uma sequência de etapas de análise.\n\n\n2.0.3.2 Manipulação de datas\nAlgo interessante também é trabalhar com a varíavel de datas. Podemos calulcar a diferença entre duas datas no R de forma bem simples por meio da função difftime do pacote base do R. Para exemplificar vamos criar a variável “dias_uti” que vai ser ser quantos dias a pessoa ficou internada na uti. Vamos fazer isso calculando a diferença entre a data de saída e a data de entrada na uti e queremos o resultado em dias.\n\ndados$dias_uti &lt;- difftime(dados$dt_saiduti, dados$dt_entuti, units = \"days\")\nglimpse(dados)\n\nRows: 11,523\nColumns: 48\n$ dt_notific &lt;date&gt; 2020-05-15, 2020-05-18, 2020-04-30, 2020-05-11, 2020-07-01…\n$ dt_sin_pri &lt;date&gt; 2020-05-06, 2020-05-10, 2020-04-20, 2020-05-04, 2020-06-12…\n$ dt_nasc    &lt;date&gt; 2003-06-03, 1996-07-07, 1996-03-26, 1986-06-02, 1996-12-11…\n$ dt_interna &lt;date&gt; 2020-05-15, 2020-05-15, 2020-04-24, 2020-05-09, 2020-06-30…\n$ sem_pri    &lt;int&gt; 19, 20, 17, 19, 24, 24, 26, 27, 28, 24, 14, 29, 28, 10, 36,…\n$ sg_uf      &lt;chr&gt; \"CE\", \"PR\", \"SP\", \"PA\", \"DF\", \"RO\", \"PI\", \"RS\", \"PE\", \"MA\",…\n$ id_mn_resi &lt;chr&gt; \"MORRINHOS\", \"CURITIBA\", \"SAO CAETANO DO SUL\", \"MARABA\", \"S…\n$ co_mun_res &lt;int&gt; 230890, 410690, 354880, 150420, 530150, 110020, 221100, 431…\n$ cs_zona    &lt;fct&gt; NA, urbana, urbana, urbana, urbana, urbana, urbana, urbana,…\n$ cs_raca    &lt;fct&gt; parda, branca, ignorado, parda, ignorado, parda, ignorado, …\n$ cs_escol_n &lt;fct&gt; NA, fund2, ignorado, superior, NA, fund2, superior, fund2, …\n$ idade      &lt;dbl&gt; 16, 23, 24, 33, 23, 35, 31, 17, 22, 29, 28, 22, 27, 25, 26,…\n$ cs_gestant &lt;fct&gt; 2tri, 2tri, ignorado, nao, nao, 3tri, 1tri, nao, 3tri, 3tri…\n$ puerpera   &lt;fct&gt; NA, nao, sim, sim, sim, nao, NA, sim, NA, sim, NA, NA, sim,…\n$ febre      &lt;fct&gt; sim, nao, sim, sim, nao, sim, sim, sim, sim, sim, sim, NA, …\n$ tosse      &lt;fct&gt; sim, nao, nao, sim, nao, sim, sim, sim, NA, sim, sim, sim, …\n$ garganta   &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, nao, NA, sim, NA, nao, NA, nao…\n$ dispneia   &lt;fct&gt; NA, sim, nao, nao, nao, nao, nao, sim, NA, NA, sim, NA, nao…\n$ desc_resp  &lt;fct&gt; NA, nao, nao, sim, nao, nao, sim, sim, NA, sim, sim, NA, na…\n$ saturacao  &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, nao, sim, NA, NA, nao, NA, nao…\n$ diarreia   &lt;fct&gt; NA, sim, nao, nao, sim, nao, nao, sim, NA, NA, nao, NA, nao…\n$ vomito     &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, nao, nao, NA, NA, nao, NA, nao…\n$ fadiga     &lt;fct&gt; NA, NA, NA, NA, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, NA, NA, nao, …\n$ perd_olft  &lt;fct&gt; NA, NA, NA, NA, sim, nao, NA, NA, NA, NA, nao, NA, NA, sim,…\n$ perd_pala  &lt;fct&gt; NA, NA, NA, NA, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, NA, NA, sim, …\n$ dor_abd    &lt;fct&gt; NA, NA, NA, NA, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, NA, NA, nao, …\n$ cardiopati &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ hematologi &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ hepatica   &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ asma       &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ diabetes   &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ neurologic &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ pneumopati &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ imunodepre &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ renal      &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ obesidade  &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ vacina_cov &lt;fct&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ dose_1_cov &lt;chr&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ dose_2_cov &lt;chr&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ fab_cov_1  &lt;chr&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ fab_cov_2  &lt;chr&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ dt_entuti  &lt;date&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 2020-06-30, NA, 2020-07-12, NA…\n$ dt_saiduti &lt;date&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 2020-07-29, NA, NA, NA, NA, NA…\n$ uti        &lt;fct&gt; nao, nao, nao, nao, nao, nao, nao, sim, nao, sim, nao, nao,…\n$ suport_ven &lt;fct&gt; \"sim, nao invasivo\", \"nao\", \"nao\", \"sim, nao invasivo\", \"na…\n$ evolucao   &lt;fct&gt; cura, cura, cura, cura, cura, cura, cura, obito, cura, cura…\n$ faixa_et   &lt;chr&gt; \"&lt;20\", \"20-34\", \"20-34\", \"20-34\", \"20-34\", \"&gt;=34\", \"20-34\",…\n$ dias_uti   &lt;drtn&gt; NA days, NA days, NA days, NA days, NA days, NA days, NA d…\n\n\nNote que não utilizamos a função mutate para criar está nova variável, utilizamos apenas o $ para representar a variável e atribuímos a função. Assim, o R já entende como uma variável.\n\n\n2.0.3.3 Manipulação de dados\nJá temos a nossa base de dados devidamente tratada para prosseguir com a análise descritiva, mas quando falamos de manipulação de dados, um leque de possibilidades aparece. Em diversos cenários precisamos filtrar observações, reordená-las, selecionar variáveis específicas, entre outras coisas. Não poderíamos deixar de mencionar o poderoso tidyverse. O tidyverse é um pacote que contém um coleção de outros pacotes que são utilizados para manipulação, exploração e visualização de dados e que compartilham uma filosofia de design bem parecida, por isso de forma combinada permitem que você consiga fazer inúmeros trabalhos. Os pacotes que fazem parte desse universo são: dplyr, tidyr, ggplot2, forcats, purrr, stringr, tibble e readr. Anteriormente já trabalhamos com alguns destes pacotes, mas agora é válido aprofundarmos um pouco mais em alguns deles. Aqui você irá acessar o site do tidyverse onde podera navegar por cada pacote e aprender mais sobre suas utilidades e aqui você irá acessar um post escrito pelo Laboratório de Data Scinence - UFES (daslab) que contem diversos exemplos práticos de uso de todos os pacotes do universo tidyverse. Neste capítulo iremos trabalhar com algumas funções específicas.\n\n2.0.3.3.1 Pacote dplyr\nO dplyr é extremamente útil e nos ajuda a resolver os desafios mais comuns de manipulação de dados.\nSuas principais funções são:\n\nfilter() - filtra linhas;\ngroup_by() - agrupa pela(s) variável(is) no argumento. Função muito útil quando usada a funçaõ summurise.\nsummarise() - reduz vários valores a um único resumo.\nselect() - seleciona colunas;\narrange() - ordena a base;\nmutate() - cria/modifica colunas.\n\nJá utilizamos algumas funções do pacote, vamos falar sobre outras. Como já avançamos um pouco sobre a utilização de funções, vamos combinar algumas funções, o que geralmente é feito no dia a dia.\n\n#criando um novo banco de dados selecionando 3 variáveis\ndados_tratamento &lt;- dados |&gt; \n  select(sg_uf, cs_zona, idade)\n\nglimpse(dados_tratamento)\n\nRows: 11,523\nColumns: 3\n$ sg_uf   &lt;chr&gt; \"CE\", \"PR\", \"SP\", \"PA\", \"DF\", \"RO\", \"PI\", \"RS\", \"PE\", \"MA\", \"M…\n$ cs_zona &lt;fct&gt; NA, urbana, urbana, urbana, urbana, urbana, urbana, urbana, ur…\n$ idade   &lt;dbl&gt; 16, 23, 24, 33, 23, 35, 31, 17, 22, 29, 28, 22, 27, 25, 26, 20…\n\n\nAqui criamos a base “dados_tratamento” onde apenas selecionamos algumas colunas da base de dados inicial com a função select.\n\ndados_tratamento2 &lt;- dados_tratamento |&gt; \n  filter(cs_zona == \"urbana\") |&gt; \n  group_by(sg_uf) |&gt; \n  summarise(media = mean(idade, na.rm = TRUE)) |&gt; \n  arrange(desc(media))\n\nknitr::kable(head(dados_tratamento2))\n\n\n\n\nsg_uf\nmedia\n\n\n\n\nAP\n36.66667\n\n\nBA\n31.04152\n\n\nRR\n31.00000\n\n\nSP\n30.94237\n\n\nRJ\n30.93570\n\n\nMG\n30.93257\n\n\n\n\n\nVamos entender o código acima. Primeiro acessamos a base “dados_tratamento” e com função filter selecionamos apenas as observações “urbana”. Após isso utilizamos a função group_by para agrupar nossas observações pela variável “sg_uf” e por últimos, combinamos com a função summarise para criar a variável “media” que será a media da variável idade. Note que nesta função utilizamos o argumento na.rm - TRUE. Este argumento serve para indicar para a função se ela deve ou não remover valores NA's do cálculo, o default é FALSE. Como não é possível calcular a média de valores ausentes e temos variáveis ausentes, foi necessário utilizar este argumento. Caso contrário, Estados com valores faltantes ficariam com NA. Por último, utilizamos a função arrange para ordernar os dados em em ordem descrente pela variavel media. Uma dica para tentar entender melhor o funcionamento das funções é tentar refazer o código utilizando uma função de cada vez e ir vendo como fica. Então, em poucas linhas de códigos conseguimos criar uma base com a idade média dos Estados considerando apenas zonas urbanas, legal né?\n\n\n2.0.3.3.2 Pacote stringr\nUm desafio muito grande na manipulação de dados é extrair informações de caracteres. Em resumo caracteres são letras, símbolos, sinais, números que representem algo escrito, etc.. Essa sequência de caracteres formam o que chamamos de string. Diversas vezes encontramos variáveis com categorias não padronizadas, como, por exemplo, uma variável contendo “São Paulo”, “sao paulo” e “sp”. Apesar de representarem o mesmo estado, elas são diferentes. Nesse sentido, uma parte muito importante no tratamento de dados é “lapidar” esse conjunto de caracteres para que seja possível usá-los nas análises. Essa é a introdução do post do daslab onde é passado de uma maneira muito prática como trabalhar com strings utilizando o pacote stringr, la você vai aprender também sobre expressões regulares, que com certeza serão úteis em vários momentos da sua carreira. Link do post. Como as variáveis de texto do nosso banco de dados já estão bem padronizadas não será necessário realizar nenhum tratamento, mas por ser um pacote de extrema importância e que não havia sido mencionado ainda, deixamos ele aqui para que você possa se aprofundar mais. Como em nossa base dados as variáveis de texto estão padrozinados, não será necessário realizar nenhum tratamento.\n\n\n\n2.0.3.4 Manipulando o formato da base de dados\nEm certos casos é necessário mudar o formato das bases de dados, fazer com que colunas se tornem linhas vice-versa. Vamos utilizar a base “dados_tratamento”. Veja que ela está no formato long, em que as avaliações do mesmo indivíduo (variável de identificação de indivíduo é “registro”) estão nas linhas. Queremos que as zonas fiquem nas colunas, com as três colunas (vamos tirar valores ignorados): urbana, rural e periurbana, ou seja, queremos o formato wide. Um pacote do R que pode nos auxiliar a transformar formato long em wide e vice-versa é o tidyr. A função que usaremos é spread, como segue:\n\nlibrary(tidyr)\n\ndados_formato &lt;- dados_tratamento |&gt; \n  filter(!is.na(cs_zona) & cs_zona != \"ignorado\") |&gt; \n  mutate(id = row_number())\n\nknitr::kable(head(dados_formato))\n\n\n\n\nsg_uf\ncs_zona\nidade\nid\n\n\n\n\nPR\nurbana\n23\n1\n\n\nSP\nurbana\n24\n2\n\n\nPA\nurbana\n33\n3\n\n\nDF\nurbana\n23\n4\n\n\nRO\nurbana\n35\n5\n\n\nPI\nurbana\n31\n6\n\n\n\n\n\nFizemos pequenas alterações na base de dados. Primeiro realizamos um filtro para retirarmos valores faltantes da variável “cs_zona”, pois essa passará a\n\ndados_formato2 &lt;- dados_formato |&gt; \n  pivot_wider(names_from = cs_zona, values_from = idade)  \n\nknitr::kable(head(dados_formato2))\n\n\n\n\nsg_uf\nid\nurbana\nrural\nperiurbana\n\n\n\n\nPR\n1\n23\nNA\nNA\n\n\nSP\n2\n24\nNA\nNA\n\n\nPA\n3\n33\nNA\nNA\n\n\nDF\n4\n23\nNA\nNA\n\n\nRO\n5\n35\nNA\nNA\n\n\nPI\n6\n31\nNA\nNA\n\n\n\n\n\n\ndados_formato3 &lt;- dados_formato2 |&gt; \n  pivot_longer(cols = c(\"urbana\",   \"rural\",    \"periurbana\"), names_to = \"cs_zona\", values_to = \"idade\")\n\nknitr::kable(head(dados_formato3))\n\n\n\n\nsg_uf\nid\ncs_zona\nidade\n\n\n\n\nPR\n1\nurbana\n23\n\n\nPR\n1\nrural\nNA\n\n\nPR\n1\nperiurbana\nNA\n\n\nSP\n2\nurbana\n24\n\n\nSP\n2\nrural\nNA\n\n\nSP\n2\nperiurbana\nNA\n\n\n\n\n\n\n\n2.0.3.5 Combinando bases de dados\nQuando estamos trabalhando com dados, nem sempre uma única base irá conter todas as informações que precisamos, na verdade, isso é mais comum do que se possa imaginar. Assim, saber juntar duas bases de dados é indispensável. Vamos começar então falando sobre chave primária. Em resumo, chave primária se refere a um ou mais campos, onde combinados (no caso de mais de uma chave primária), não se repete na mesma tabela. Em outras palavras, uma chave primária no meu banco dados seria uma variável onde as observações não se repetem ou a combinação de variáveis que tornam as observações únicas. Para exemplicar vamos pegar nossa base de dados e separar em duas, para que posteriormente possamos juntalas. Como em nossa base de dados não temos naturalmente nenhuma chave primária, vamos utilizar a função mutate(id = row_number()) para criarmos um identificar único para este exemplo. Após isso, vamos dividir a nossa base de dados em duas, mantendo em comum entre elas apenas a nossa chave primária, neste caso, a variável “id”\n\ndados &lt;- dados |&gt; \n  mutate(id = row_number()) |&gt; \n  select(id, everything())#selecionar variavel id e todas as outras \n\ndados1 &lt;- dados[, c(1:24)]\n\nglimpse(dados1)\n\nRows: 11,523\nColumns: 24\n$ id         &lt;int&gt; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, …\n$ dt_notific &lt;date&gt; 2020-05-15, 2020-05-18, 2020-04-30, 2020-05-11, 2020-07-01…\n$ dt_sin_pri &lt;date&gt; 2020-05-06, 2020-05-10, 2020-04-20, 2020-05-04, 2020-06-12…\n$ dt_nasc    &lt;date&gt; 2003-06-03, 1996-07-07, 1996-03-26, 1986-06-02, 1996-12-11…\n$ dt_interna &lt;date&gt; 2020-05-15, 2020-05-15, 2020-04-24, 2020-05-09, 2020-06-30…\n$ sem_pri    &lt;int&gt; 19, 20, 17, 19, 24, 24, 26, 27, 28, 24, 14, 29, 28, 10, 36,…\n$ sg_uf      &lt;chr&gt; \"CE\", \"PR\", \"SP\", \"PA\", \"DF\", \"RO\", \"PI\", \"RS\", \"PE\", \"MA\",…\n$ id_mn_resi &lt;chr&gt; \"MORRINHOS\", \"CURITIBA\", \"SAO CAETANO DO SUL\", \"MARABA\", \"S…\n$ co_mun_res &lt;int&gt; 230890, 410690, 354880, 150420, 530150, 110020, 221100, 431…\n$ cs_zona    &lt;fct&gt; NA, urbana, urbana, urbana, urbana, urbana, urbana, urbana,…\n$ cs_raca    &lt;fct&gt; parda, branca, ignorado, parda, ignorado, parda, ignorado, …\n$ cs_escol_n &lt;fct&gt; NA, fund2, ignorado, superior, NA, fund2, superior, fund2, …\n$ idade      &lt;dbl&gt; 16, 23, 24, 33, 23, 35, 31, 17, 22, 29, 28, 22, 27, 25, 26,…\n$ cs_gestant &lt;fct&gt; 2tri, 2tri, ignorado, nao, nao, 3tri, 1tri, nao, 3tri, 3tri…\n$ puerpera   &lt;fct&gt; NA, nao, sim, sim, sim, nao, NA, sim, NA, sim, NA, NA, sim,…\n$ febre      &lt;fct&gt; sim, nao, sim, sim, nao, sim, sim, sim, sim, sim, sim, NA, …\n$ tosse      &lt;fct&gt; sim, nao, nao, sim, nao, sim, sim, sim, NA, sim, sim, sim, …\n$ garganta   &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, nao, NA, sim, NA, nao, NA, nao…\n$ dispneia   &lt;fct&gt; NA, sim, nao, nao, nao, nao, nao, sim, NA, NA, sim, NA, nao…\n$ desc_resp  &lt;fct&gt; NA, nao, nao, sim, nao, nao, sim, sim, NA, sim, sim, NA, na…\n$ saturacao  &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, nao, sim, NA, NA, nao, NA, nao…\n$ diarreia   &lt;fct&gt; NA, sim, nao, nao, sim, nao, nao, sim, NA, NA, nao, NA, nao…\n$ vomito     &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, nao, nao, NA, NA, nao, NA, nao…\n$ fadiga     &lt;fct&gt; NA, NA, NA, NA, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, NA, NA, nao, …\n\ndados2 &lt;- dados[, c(1, 25:49)]\n\nglimpse(dados2)\n\nRows: 11,523\nColumns: 26\n$ id         &lt;int&gt; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, …\n$ perd_olft  &lt;fct&gt; NA, NA, NA, NA, sim, nao, NA, NA, NA, NA, nao, NA, NA, sim,…\n$ perd_pala  &lt;fct&gt; NA, NA, NA, NA, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, NA, NA, sim, …\n$ dor_abd    &lt;fct&gt; NA, NA, NA, NA, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, NA, NA, nao, …\n$ cardiopati &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ hematologi &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ hepatica   &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ asma       &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ diabetes   &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ neurologic &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ pneumopati &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ imunodepre &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ renal      &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ obesidade  &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ vacina_cov &lt;fct&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ dose_1_cov &lt;chr&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ dose_2_cov &lt;chr&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ fab_cov_1  &lt;chr&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ fab_cov_2  &lt;chr&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ dt_entuti  &lt;date&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 2020-06-30, NA, 2020-07-12, NA…\n$ dt_saiduti &lt;date&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 2020-07-29, NA, NA, NA, NA, NA…\n$ uti        &lt;fct&gt; nao, nao, nao, nao, nao, nao, nao, sim, nao, sim, nao, nao,…\n$ suport_ven &lt;fct&gt; \"sim, nao invasivo\", \"nao\", \"nao\", \"sim, nao invasivo\", \"na…\n$ evolucao   &lt;fct&gt; cura, cura, cura, cura, cura, cura, cura, obito, cura, cura…\n$ faixa_et   &lt;chr&gt; \"&lt;20\", \"20-34\", \"20-34\", \"20-34\", \"20-34\", \"&gt;=34\", \"20-34\",…\n$ dias_uti   &lt;drtn&gt; NA days, NA days, NA days, NA days, NA days, NA days, NA d…\n\n\nEm “dados1” selecionamos as colunas de 1 até a 24, onde a coluna 1 é a variável “id”. Em dados 2 selecionamos a coluna depois e as colunas de 25 até a 49. Agora temos dois banco de dados e precisamos juntá-los.\nHá algumas funções de combinação de duas bases de dados no pacote dplyr. Elas recebem três argumentos: a primeira base a ser declarada (x=), a segunda base a ser declarada (y=) e a variável de identificação informada no argumento by=. Aqui estão as funções mais úteis:\n\nleft_join() - retorna todas as linhas da base de dados no argumento x e todas as colunas das duas bases de dados. Linhas da base de dados de x sem correspondentes em y receberão NA na base de dados combinada.\nright_join() - retorna todas as linhas da base de dados no argumento y e todas as colunas das duas bases de dados. Linhas da base de dados de y sem correspondentes em x receberão NA na base de dados combinada.\nfull_join() - retorna todas as linhas e todas as colunas de x e de y. As linhas sem correspondência entre as bases receberão NA na base de dados combinada.\ninner_join() - filtra a base de dados no argumento x apenas onde tem valores correspondentes na base de dados no argumento y e todas as colunas das duas bases de dados.\nsemi_join() - filtra a base de dados no argumento x apenas onde tem valores correspondentes na base de dados no argumento y, mantendo apenas as colunas da base de dados de x.\nanti_join() - filtra a base de dados no argumento x para incluir apenas valores que não possuem correspondências na base de dados no argumento y.\n\nAssim sendo, no nosso exemplo, tanto as funções left_join(), right_join(), full_join() e inner_join() retornarão a mesma combinação, pois “dados1” e “dados2” possuem exatamente os mesmos indivíduos, ou seja, não há nenhuma linha que esteja em uma das bases de dados e que não está na outra. Este cenário foi um pouco mais simples, mas pense que no dia a dia você irá encontrar bases onde você precisará encontrar chaves primarias entre elas. Além disso, varios problemas podem vir acompanhados, por exemplo, imagine que para juntar duas bases você utilizará uma chave formada pela combinação de duas variáveis: UF e Município. Em uma base a sua UF está no formato de sigla e na outra está sendo representada pelo código da UF atribuido pelo IBGE. Já na variável de Município, Em uma base os dados estão todos padronizados, maiúsculos e sem acentuação, já na outra base está no formato “padrão” com a primeira letra maiúscula e acentuação. Veja que será necessário um bom tratamento de dados para pode juntar essas bases. Voltando para o nosso exemplo, vamos a prática.\n\ndados_todos &lt;- full_join(dados1, dados2, by=c(\"id\")) \n\nglimpse(dados_todos)\n\nRows: 11,523\nColumns: 49\n$ id         &lt;int&gt; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, …\n$ dt_notific &lt;date&gt; 2020-05-15, 2020-05-18, 2020-04-30, 2020-05-11, 2020-07-01…\n$ dt_sin_pri &lt;date&gt; 2020-05-06, 2020-05-10, 2020-04-20, 2020-05-04, 2020-06-12…\n$ dt_nasc    &lt;date&gt; 2003-06-03, 1996-07-07, 1996-03-26, 1986-06-02, 1996-12-11…\n$ dt_interna &lt;date&gt; 2020-05-15, 2020-05-15, 2020-04-24, 2020-05-09, 2020-06-30…\n$ sem_pri    &lt;int&gt; 19, 20, 17, 19, 24, 24, 26, 27, 28, 24, 14, 29, 28, 10, 36,…\n$ sg_uf      &lt;chr&gt; \"CE\", \"PR\", \"SP\", \"PA\", \"DF\", \"RO\", \"PI\", \"RS\", \"PE\", \"MA\",…\n$ id_mn_resi &lt;chr&gt; \"MORRINHOS\", \"CURITIBA\", \"SAO CAETANO DO SUL\", \"MARABA\", \"S…\n$ co_mun_res &lt;int&gt; 230890, 410690, 354880, 150420, 530150, 110020, 221100, 431…\n$ cs_zona    &lt;fct&gt; NA, urbana, urbana, urbana, urbana, urbana, urbana, urbana,…\n$ cs_raca    &lt;fct&gt; parda, branca, ignorado, parda, ignorado, parda, ignorado, …\n$ cs_escol_n &lt;fct&gt; NA, fund2, ignorado, superior, NA, fund2, superior, fund2, …\n$ idade      &lt;dbl&gt; 16, 23, 24, 33, 23, 35, 31, 17, 22, 29, 28, 22, 27, 25, 26,…\n$ cs_gestant &lt;fct&gt; 2tri, 2tri, ignorado, nao, nao, 3tri, 1tri, nao, 3tri, 3tri…\n$ puerpera   &lt;fct&gt; NA, nao, sim, sim, sim, nao, NA, sim, NA, sim, NA, NA, sim,…\n$ febre      &lt;fct&gt; sim, nao, sim, sim, nao, sim, sim, sim, sim, sim, sim, NA, …\n$ tosse      &lt;fct&gt; sim, nao, nao, sim, nao, sim, sim, sim, NA, sim, sim, sim, …\n$ garganta   &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, nao, NA, sim, NA, nao, NA, nao…\n$ dispneia   &lt;fct&gt; NA, sim, nao, nao, nao, nao, nao, sim, NA, NA, sim, NA, nao…\n$ desc_resp  &lt;fct&gt; NA, nao, nao, sim, nao, nao, sim, sim, NA, sim, sim, NA, na…\n$ saturacao  &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, nao, sim, NA, NA, nao, NA, nao…\n$ diarreia   &lt;fct&gt; NA, sim, nao, nao, sim, nao, nao, sim, NA, NA, nao, NA, nao…\n$ vomito     &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, nao, nao, NA, NA, nao, NA, nao…\n$ fadiga     &lt;fct&gt; NA, NA, NA, NA, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, NA, NA, nao, …\n$ perd_olft  &lt;fct&gt; NA, NA, NA, NA, sim, nao, NA, NA, NA, NA, nao, NA, NA, sim,…\n$ perd_pala  &lt;fct&gt; NA, NA, NA, NA, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, NA, NA, sim, …\n$ dor_abd    &lt;fct&gt; NA, NA, NA, NA, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, NA, NA, nao, …\n$ cardiopati &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ hematologi &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ hepatica   &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ asma       &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ diabetes   &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ neurologic &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ pneumopati &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ imunodepre &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ renal      &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ obesidade  &lt;fct&gt; NA, nao, nao, nao, nao, nao, NA, nao, NA, NA, NA, NA, nao, …\n$ vacina_cov &lt;fct&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ dose_1_cov &lt;chr&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ dose_2_cov &lt;chr&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ fab_cov_1  &lt;chr&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ fab_cov_2  &lt;chr&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA,…\n$ dt_entuti  &lt;date&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 2020-06-30, NA, 2020-07-12, NA…\n$ dt_saiduti &lt;date&gt; NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 2020-07-29, NA, NA, NA, NA, NA…\n$ uti        &lt;fct&gt; nao, nao, nao, nao, nao, nao, nao, sim, nao, sim, nao, nao,…\n$ suport_ven &lt;fct&gt; \"sim, nao invasivo\", \"nao\", \"nao\", \"sim, nao invasivo\", \"na…\n$ evolucao   &lt;fct&gt; cura, cura, cura, cura, cura, cura, cura, obito, cura, cura…\n$ faixa_et   &lt;chr&gt; \"&lt;20\", \"20-34\", \"20-34\", \"20-34\", \"20-34\", \"&gt;=34\", \"20-34\",…\n$ dias_uti   &lt;drtn&gt; NA days, NA days, NA days, NA days, NA days, NA days, NA d…\n\n\nPronto, temos nossa base completa e aprendemos um pouco sobre manipular dados. O pacote tidyverse será um grande aliado seu no R de forma geral. Como mencionado anteriormente, não cobrimos tudo o que é necessário saber para trabalhar com manipulação de dados, é necessário entender a demanda e pesquisar soluções. Saber traduzir o seu problema para que consiga pesquisar com mais facilidade é uma habilidade muito importante. Recomendamos que treine, trabalhe com diferentes tipos de dados, pesquise pacotes, funções, etc. Com o tempo fará com tranquilidade coisas que hoje considera difícil. Lembre-se, a pratica leva a perfeição."
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+    "title": "6  Estimação",
+    "section": "6.1 Conceitos básicos de probabilidade",
+    "text": "6.1 Conceitos básicos de probabilidade\n\n6.1.1 Experimentos e Espaço amostral\nVamos observar a ocorrência de saturação baixa de oxigênio no sangue dentre as gestantes e puérperas diagnosticadas com COVID-19 no período de março de 2020 a dezembro de 2021. A variável que representa esse sintoma é saturacao e vamos considerar que o caso será selecionado por meio de um sorteio dentre os válidos.\n\ndados &lt;- readr::read_rds(\"dados/dados_covid[LIMPO].rds\")\ndados &lt;- dplyr::filter(dados, !is.na(saturacao))\nx &lt;- sample(dados$saturacao, 1)\nx\n\n[1] \"não\"\n\n\nUsando a função sample(), retiramos um indivíduo aleatoriamente dessa população e obtemos a ocorrência ou não de baixa saturação, que no caso acima foi não. Agora, vamos repetir esse procedimento algumas vezes e observar seus resultados.\n\nfor (i in 1:10) print(sample(dados$saturacao, 1))\n\n[1] \"não\"\n[1] \"não\"\n[1] \"sim\"\n[1] \"não\"\n[1] \"não\"\n[1] \"não\"\n[1] \"não\"\n[1] \"sim\"\n[1] \"sim\"\n[1] \"não\"\n\n\nPodemos perceber que, mesmo sendo executado sob as mesmas condições, o sorteio de cada caso pode nos fornecer resultados distintos. Esse exemplo ilustra um experimento aletório \\(\\epsilon\\), definido formalmente como experimentos que, ao serem repetidos sob as mesmas circunstâncias, podem fornecer resultados diferentes.\nÉ evidente que não conseguimos prever o resultado de um experimento aleatório, mas uma ferramenta útil para obter seu comportamento é conhecer quais os “desfechos” possíveis desse experimento. Voltando ao exemplo anterior, é possível obter essa informação usando a função unique(), a qual retorna os elementos únicos de um vetor. No caso abaixo, o vetor analisado armazena as ocorrências ou não de baixa saturação de oxigênio.\n\nunique(dados$saturacao)\n\n[1] \"não\" \"sim\"\n\n\nAnalisando a saída acima, observamos que as possibilidades de respostas são \"não\" e \"sim\", o que denominamos de espaço amostral, denotado por \\(\\Omega\\) e caracterizado como o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento \\(\\epsilon\\). Assim, nesse caso \\[\n\\Omega=\\{sim, não\\}\n\\]\nA partir desse conceito, podemos também observar subconjuntos desse espaço amostral, definidos como eventos. Por exemplo, podemos definir o evento \\(A\\) como a ocorrência de baixa saturação de oxigênio. \\[A: \\{sim\\}\\]. A cada evento podemos atribuir um número que avalia quão verossível será a ocorrência de \\(A\\) quando o experimento \\(\\epsilon\\) for realizado, essa medida é chamada de probabilidade, sendo denotada por \\(P(A)\\). Segundo a interpretação frequentista, podemos compreender a medida de probabilidade como o limite da razão entre o número de vezes que o evento ocorre e o número total \\(n\\) de experimentos realizados quando \\(n \\rightarrow \\infty\\). Essa medida satisfaz as seguintes propriedades:\n\\[\n\\begin{align}\n\\text{I) }  0 \\leq P(A) \\leq 1 \\\\\n\\text{II) } P(\\Omega)=1\n\\end{align}\n\\]\n\n\n6.1.2 Variáveis Aleatórias\nEm muitos casos, o espaço amostral de um experimento não será numérico. Por exemplo, retirando três indivíduos da população e observando a sua saturação de oxigênio, obtemos \\(\\Omega=\\{(x_1 x_2 x_3)|x_i=\\text{sim ou não }, i=1,2,3\\}\\). Porém, muitas vezes é útil que os resultados dessa variável sejam registrados como números, possibilitando a realização de algumas mensurações. Aqui, por exemplo, ao invés de registrar a categoria da saturação de cada um dos três indivíduos, podemos tomar o número de indivíduos cuja respota é “sim”, atribuindo o valor 1 a aqueles que apresentam saturação de oxigênio baixa e o valor zero aos que não apresentam. Isso se enquadra como uma variável aleatória, ou seja, uma função \\(X\\) que associa a cada elemento \\(\\omega \\in \\Omega\\) um número real \\(X(\\omega)\\).\n\n\n\n\n\nFigura 1\n\n\n\n\nAssim, os valores de \\(X(\\omega)\\) formam um novo espaço amostral, o qual vamos denotar por \\(R_x\\), sendo que, para um evento \\(A \\in \\Omega\\) e o evento \\(B \\in R_x\\) correspondente, \\(P(A)=P(B)\\). Dessa forma, focaremos em usar o novo espaço amostral \\(R_x\\). Para ilustrar essa propriedade, vamos considerar novamente o caso em que retiramos três indivíduos da população e definir o evento \\(A\\) como a ocorrência de saturação baixa nos três, ou seja, \\(A=\\{\\text{sim sim sim\\}}\\). Considerando agora o evento correspondente \\(B \\in R_x\\), teremos que \\(B=\\{\\text{1  1 1}\\}\\), sendo \\(P(A)=P(B)\\).\nPara continuar a abordagem dos conceitos relacionados às variáveis aleatórias, é importante classificá-las em dois tipos: variáveis aleatórias discretas e variáveis aletórias contínuas.\n\n6.1.2.1 Variáveis aleatórias discretas\nUma variável é considerada discreta se \\(R_x\\) for um conjunto finito ou infinito enumerável. O número de indivíduos com saturação baixa em uma amostra de tamanho 3, por exemplo, é uma variável aleatória discreta, já que podemos listar todos os seus possíveis valores.\nAgora vamos pensar em como podemos analisar a distribuição de uma variável aleatória discreta \\(X\\). Já que conhecemos os seus possíveis valores, podemos associar a cada um deles uma probabilidade de ocorrência, formando assim uma função massa de probabilidade de \\(X\\), definida como\n\\[\np(x_i)=P[X=x_i]\n\\]\nEssa função satisfaz as seguintes propriedades:\n\\[\n\\begin{align}\n\\text{I) }  p(x_i)\\geq 0, \\hspace{0.3cm} \\forall i \\\\\n\\text{II) } \\sum_{i=1}^{\\infty}p(x_i)=1\n\\end{align}\n\\]\nPara exemplificar, vamos analisar a variável variante, que indica a variante de COVID-19 adquirida, podendo ser original, gama ou delta. Retirando aleatoriamente dois indivíduos dessa população com reposição, consideremos a variável aletória \\(Y\\) como o número de indivíduos com variante gama sorteados. Sabemos que as possibilidades são obter 0, 1 ou 2 indivíduos com a variante mencionada. Assim, temos \\(R_x = {0, 1, 2}\\). Vamos agora calcular as probabilidades para cada um desses elementos. Para isso, é útil considerar o evento \\(C\\) como a retirada da variante gama.\nPrimeiramente, vamos obter a proporção da variante gama na população:\n\np_gama &lt;- length(which(dados$variante==\"gama\"))/length(dados$variante)\np_gama\n\n[1] 0.5148282\n\n\nLogo, sabemos que a probabilidade de um caso de variante gama ser retirado é de 0.5148282 e de não ser a variante gama é seu complementar \\(1-0.5148282=0.4851718\\), ou seja, \\(P(C)=0.5148282\\) e \\(P(\\bar{C})=0.4851718\\). Sendo o resultado da primeira retirada e da segunda independentes, calculamos:\n\\[\n\\begin{align}\np(0)= P(Y=0) = P(\\bar{C})P(\\bar{C}) = 0.2353917 \\\\\np(1)= P(Y=1) = P(C)P(\\bar{C}) + P(\\bar{C})P(C) = 0.4995602 \\\\\np(2) = P(Y=2) = P(C)P(C) = 0.2650481\n\\end{align}\n\\]\nVamos interpretar essas informações visualmente, usando um gráfico em que o eixo x apresenta os valores possíveis da variável \\(Y\\) e o eixo y as respectivas probabilidades de ocorrência.\n\ny &lt;- c(0, 1, 2)\npy &lt;- c(0.2353917, 0.4995602, 0.2650481)\ndf &lt;- data.frame(y, py)\ndf\n\n  y        py\n1 0 0.2353917\n2 1 0.4995602\n3 2 0.2650481\n\n\n\n\n\n\n\nAlém disso, outra informação útil é a sua função de distribuição acumulada, que descreve a probabilidade da variável aleatória \\(X\\) ser menor ou igual a \\(x\\), ou seja, \\(F(x_i)=P(X \\leq x_i), \\hspace{0.3 cm} \\forall i\\). Pensando no exemplo anterior, podemos obter a sua função de distribuição acumulada: \\[\nF(y) =\n    \\begin{cases}\n    0 & se \\ y &lt; 0; \\\\\n    0.2353917 & se \\ 0 \\leq y &lt; 1; \\\\\n    0.7349519 & se \\ 1 \\leq y &lt; 2; \\\\\n    1 & se \\ y \\geq 2.\n    \\end{cases}\n\\]\n\nlibrary(dplyr)\n\n\nAttaching package: 'dplyr'\n\n\nThe following objects are masked from 'package:stats':\n\n    filter, lag\n\n\nThe following objects are masked from 'package:base':\n\n    intersect, setdiff, setequal, union\n\ndf &lt;- df %&gt;%\n  dplyr::mutate(df, Fy = cumsum(py))\ndf\n\n  y        py        Fy\n1 0 0.2353917 0.2353917\n2 1 0.4995602 0.7349519\n3 2 0.2650481 1.0000000\n\n\n\n\n\n\n\nOutra medida relevante quando o assunto é variáveis aleatórias é a chamada esperança, definida como o valor esperado da variável aleatória, ou seja, o resultado esperado dessa variável aleatória em média a longo prazo. \\[\nE(X)=\\sum_{x_i \\in R_x} x_i p(x_i)\n\\] Também podemos interpretar a esperança como uma média ponderada dos elementos do espaço amostral da varíável aleatória \\(X\\), em que os “pesos” são as suas respectivas probabilidades.\nAssim, para o exemplo anterior, calculamos a sua esperança como: \\[\n\\begin{align}\nE(Y)=0P(Y=0)+1P(Y=1)+2P(Y=2) \\\\\nE(Y)= 0.4995602 + 0.5300962 = 1.029656\n\\end{align}\n\\] Interpretando esse resultado, repetindo esse experimento infinitas vezes, a média dos resultados seria igual a 0.7646083. Ou seja, em média, esperamos que 1.029656 indivíduos apresentem a variante gama ao selecionarmos dois deles aleatoriamente nessa população.\nA esperança também pode ser calculada usando o RStudio, usando a função weighted.mean, em que o primeiro argumento é um vetor que armazena os valores, e o segundo um vetor que armazena suas respectivas probabilidaes.\n\nweighted.mean(x=df$y, w=df$py)\n\n[1] 1.029656\n\n\nPara a esperança, vamos destacar algumas algumas propriedades. Sendo \\(X\\) e \\(Y\\) variáveis aleatórias e \\(c\\) uma constante,\n\\[\\begin{align}\n\\text{I)} \\ E(c)=c \\\\\n\\text{II)} \\ E(cX)=cE(X) \\\\\n\\text{III)} \\ E(X+Y)=E(X)+E(Y) \\\\\n\\text{IV)} \\ E(X-Y)=E(X)-E(Y) \\\\\n\\text{V)} \\ E(X+c)=E(X)+c\n\\end{align}\\]\nÉ importante também avaliar a variabilidade desses resultados, para isso vamos usar a variância \\[\nVar(X)=E(X^2)-[E(X)]^2, \\ \\text{sendo} \\ E(X^2)=\\sum_{x_i\\in R_x}x^2p(x_i)\n\\] Dessa forma, para a variável aleatória \\(Y\\), teremos:\n\nvariancia = weighted.mean(x=(df$y)^2, w=df$py) - weighted.mean(x=df$y, w=df$py)^2\nvariancia\n\n[1] 0.4995603\n\n\nLogo, \\(Var(Y)=0.4995603\\).\nAssim como a esperança, a variância também satisfaz algumas propriedades:\n\\[\\begin{align}\n\\text{I)} \\ Var(c)=0 \\\\\n\\text{II) } \\ Var(cX)=c^2Var(X) \\\\\n\\text{(III)} \\ Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) \\\\\n\\text{IV)} \\ Var(X-y)=Var(X) + Var(Y) \\\\\n\\text{V)} \\ Var(X+c)=Var(X)\n\\end{align}\\]\n\n6.1.2.1.1 Modelos de probabilidade discretos\nAlgumas variáveis aleatórias se adaptam a modelos de probabilidade já definidos, que serão descritos a seguir.\n\n6.1.2.1.1.1 Modelo Bernoulli\nO modelo Bernoulli é utilizado quando queremos descrever a ocorrêcia ou não de um evento, que consideramos como sendo o “sucesso”. Assim, seu espaço amostral apresenta apenas dois elementos: o valor 1 representando a ocorrência do “sucesso” e o valor 0 indicando o “fracasso”, ou seja, a não ocorrência do sucesso. Para cada experimento alestório, definimos qual será o evento denominado de “sucesso”. Por exemplo, pensando na ocorrência ou não de cardiopatia em uma gestante ou puérpera diagnosticada com COVID-19 de março de 2020 a dezembro de 2021, podemos definir a presença de cardiopatia como o evento que chamamos de “sucesso” e a não presença como o “fracasso”, usando o modelo Bernoulli para compreeder o comportamento dessa variável.\nDesse modo, tconsiderando uma probabilidade \\(p\\) de sucesso, a variável aleatória \\(X\\) apresenta a seguinte função massa de probabilidade\n\\[\\begin{align}\np(0)=1-p \\\\\np(1)=p\n\\end{align}\\]\nTambém podemos definir a esperança e variância como:\n\\[\nE(X)=p\n\\] \\[\nVar(X)=p-p^2=p(1-p)\n\\]\n\n\n6.1.2.1.1.2 Modelo Binomial\nVamos supor que agora queremos analisar a presença ou não de cardiopatia em vinte indivíduos selecionados aleatoriamente. Teremos uma repetição de vinte eventos Bernoulli, já que vamos analisar se houve ou não “sucesso”, nesse caso, a ocorrência de cardiopatia em cada um dos indivíduos. Assim, a nossa variável de interesse será o número de indivíduos que apresentam cardiopatia dentre esse grupo. Logo, no modelo Binomial, a variável aleatória \\(X\\) representa o número de “sucessos” em \\(n\\) ensaios, ou seja, em \\(n\\) repetições independentes de um evento Bernoulli com probabilidade de sucesso \\(p\\). A sua função massa de probabilidade é escrita como\n\\[\nP(X=x)= \\binom nx p^x(1-p)^{n-x}\n\\] Similarmente, também escrevemos a sua esperança e variância como\n\\[\nE(X)=np\n\\] \\[\nVar(X)=np(1-p)\n\\]\n\n\n6.1.2.1.1.3 Modelo Hipergeométrico\nAinda considerando o exemplo anterior, vamos pensar agora que esses indivíduos são selecionados sem reposição, ou seja, um mesmo indivíduo não pode ser selecionado mais de uma vez. Assim, é evidente que a probabilidade de se retirar um indivíduo com cardiopatia é alterada a cada sorteio, diferente do modelo binomial. Dessa forma, o modelo hipergeométrico descreve a variável aleatória que representa o número de sucessos em \\(n\\) repetições de ensaios Bernoulli dependentes. Em uma população de \\(N\\) elementos onde \\(k\\) apresentam a característica definida como sucesso, a função massa de probabilidade será \\[\nP(X=x)= \\frac{ \\binom Kx \\binom {N-k}{n-x}}{\\binom Nn }\n\\] Também definimos a sua esperança e variância como\n\\[\nE(X)=np\n\\] \\[\nVar(X)=np(1-p)\\frac{N-n}{N-1}\n\\]\n\n\n6.1.2.1.1.4 Modelo Poisson\nPense agora no número de óbitos de gestantes e puérperas mensalmente por COVID-19. Nesse caso estamos interessados em saber o número de ocorrências de um evento em um determinado período de tempo, variável que é descrita pelo modelo Poisson. Para sabermos a distribuição dessa variável aleatória \\(X\\), basta conhecermos a média de eventos \\(\\lambda\\) nesse dado intervalo de tempo, visto que sua função massa de probabilidade é dada por\n\\[\nP(X=x)= \\frac{e^{-\\lambda}\\lambda^x}{x!}, \\ \\lambda&gt;0\n\\] A esperança e variância de \\(X\\) podem ser escritas como \\[\nE(X)=\\lambda\n\\] \\[\nVar(X)=\\lambda\n\\]\n\n\n\n\n6.1.2.2 Variáveis aleatórias contínuas\nUma variável aleatória é classifcada como contínua quando pode assumir infinitos ou um número grande finito de valores dentro de um intervalo, ou seja, quando \\(R_x\\) forma um conjunto não-enumerável. Como exemplo, podemos citar a idade das gestantes e puérperas diagnosticadas com COVID-19 no período de março de 2020 a dezembro de 2021, representada pela variável idade_anos.\nComo não conseguimos listar todos os possíveis valores de uma variável aleatória contínua \\(X\\), também não podemos atribuir uma probabildade de ocorrência a cada valor. Desse modo, calculamos as probabilides de intervalos, que corresponde à área abaixo da função densidade de probabilidade \\(f(x)\\). Essa função satisfaz as seguintes propriedades:\n\\[\n\\begin{align}\n\\text{I)} \\ f(x)\\geq0 \\ \\forall x\\in R_x \\\\\n\\text{II)} \\ \\int_{-\\infty}^{\\infty}f(x)dx=1\n\\end{align}\n\\] A seguir apresentamos graficamente a função densidade de probabilidade das idades das gestantes e puérperas diagnosticadas com COVID-19 no de março de 2020 a dezembro de 2021.\n\nlibrary(\"ggplot2\")\nggplot(data=dados, aes(x=idade_anos)) +\n  geom_density(fill=\"lightblue\", color = \"black\") +\n  labs(x = \"Idade (anos)\", y = \"Densidade\") +\n  theme_minimal()\n\n\n\n\nSabemos que a área colorida corresponde a 1, pois estamos considerando todos as possíveis idades, mas vamos agora analisar o caso em que queremos saber a probabilidade de, sorteando uma dessas pessoas ao acaso, a sua idade estar entre 20 e 30 anos. Já que sabemos que a probabilidade corresponde à área abaixo do gráfico, podemos concluir que é equivalente a calcular a área colorida abaixo\n\n\n\n\n\nSendo \\(f(y)\\) a função densidade de probabilidade de \\(Y\\), calculamos essa área usando\n\\[\nP(20\\leq Y \\leq 30)=\\int_{20}^{30} f(y)dy\n\\] Logo, para obtermos a probabilidade de ocorrência de um intervalo \\((a,b)\\), calculamos a área abaixo de \\(f(x)\\) e acima do eixo x entre \\(a\\) e \\(b\\), como a seguir\n\\[\nP(a\\leq X \\leq b)=\\int_a^bf(x)dx\n\\] Pensando agora na função de distribuição acumulada, podemos obter \\(F(x)=P(X&lt;=x)\\) como a área abaixo de \\(f(x)\\) e em que x esteja no intervalo \\((-\\infty, x]\\), assim, calculamos por \\[\nF(x)=P(X\\leq x)=\\int_{-\\infty}^{x}f(x)dx\n\\] Se, no exemplo anterior queremos calcular a probabilidade da idade de um indivíduo sorteado ao acaso ser menor ou igual a 20, desejamos calcular a área\n\n\n\n\n\nEssa área é obtida calculando a integral \\[\nP(Y\\leq 20)=\\int_{10}^{20}f(y)dy\n\\] Assim como no caso das variáveis aleatórias discretas, também podemos calcular a esperança e variância para as contínuas, apresentando as mesmas propriedades.\n\\[\\begin{align}\nE(X)=\\int_{-\\infty}^{\\infty}xf(x)dx \\\\\nVar(X)=E(X^2)-[E(X)]^2, \\ \\text{onde} \\ E(X^2)=\\int^{\\infty}_{-\\infty}x^2f(x)dx\n\\end{align}\\]\n\n6.1.2.2.1 Modelos de probabilidade contínuos\n\n6.1.2.2.1.1 Modelo Uniforme\nQuando os elementos do espaço amostral de uma variável aleatória contínua \\(X\\) de \\(R_x =[a, b]\\) têm mesma probailidade de ocorrência, dizemos que essa variável apresenta distribuição uniforme no intervalo \\([a, b]\\). Assim, sua função densidade de probabilidade é dada por\n\\[\nf(x) =\n    \\begin{cases}\n    \\frac{1}{b-a}, & \\ a \\leq x \\leq b \\\\\n    0, & c.c.\n    \\end{cases}\n\\] Da mesma forma, sua esperança e variância são\n\\[\nE(X)=\\frac{a+b}{2}\n\\]\n\\[\nVar(X)=\\frac{(b-a)^2}{12}\n\\]\nPara facilitar a compreensão dessa distribuição, vamos visualizar a sua função densidade de probabilidade. A seguir vamos simular uma distribuição uniforme no intervalo \\([0, 5]\\).\n\nuniforme &lt;- runif(1000000, min=0, max=5)\n\ndf_unif &lt;- data.frame(uniforme)\n\nggplot(data=df_unif, aes(x=uniforme)) +\n  geom_density(fill=\"lightblue\", color = \"black\") +\n  labs(x = \"Valores da distribuição uniforme\", y = \"Densidade\") +\n  theme_minimal() + ylim(0, 0.4)\n\n\n\n\n\n\n6.1.2.2.1.2 Modelo exponencial\nEssa distribuição é amplamente utilizada para quando descrever o tempo entre as ocorrências de um evento, fazendo sentido que assuma apenas valores positivos. Dessa forma, percebemos que há uma relação entre o modelo exponencial e o de poisson, visto que a distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos de uma distribuição Poisson, sendo que o eventos ocorrem de forma independente e a taxa média \\(\\lambda\\) é constante. A sua função densidade de probabilidade é\n\\[\nf(x) =\n    \\begin{cases}\n    \\lambda e^{-\\lambda x}, & x \\geq 0 \\\\\n    0, & c.c.\n    \\end{cases}\n\\] Considerando \\(\\lambda=1\\), representamos \\(f(x)\\) graficamente como\n\nexponencial &lt;- rexp(100000, 1)\ndf_exp &lt;- data.frame(exponencial)\n\nggplot(data=df_exp, aes(x=exponencial)) +\n  geom_density(fill=\"lightblue\", color = \"black\") +\n  labs(x = \"Valores da distribuição exponencial\", y = \"Densidade\") +\n  theme_minimal() \n\n\n\n\nTambém podemos escrever a sua esperança e variância como \\[\nE(X)=\\frac{1}{\\lambda}\n\\] \\[\nVar(X)=\\frac{1}{\\lambda^2}\n\\]\n\n\n6.1.2.2.1.3 Modelo Normal ou Gaussiano\nA distribuição normal é de grande importantância, já que é empregada cmo aproximação para diversos fenômenos naturais, como, por exemplo o peso de recém-nascidos, a pressão arterial em uma população saudável ou o tempo de internação hospitalar. Essa distribuição de parâmetros \\(\\mu\\) e \\(\\sigma^2\\) apresenta a seguinte função de distribuição de probabilidade\n\\[\n  f(x)= \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi\\sigma^2}}e^{-\\frac{(x-\\mu)^2}{2\\sigma^2}}, \\ -\\infty \\leq x \\leq \\infty\n\\]\nQuando a distribuição normal apresenta parâmetros \\(\\mu=0\\) e \\(\\sigma^2=1\\), dizemos que é uma distribuição normal padrão, denotada como sendo a variável aleatória \\(Z\\), cuja função de densidade é apresentada abaixo\n\nset.seed(2402)\nnormal &lt;- rnorm(1000000)\ndf_normal &lt;- data.frame(normal)\n\nggplot(data=df_normal, aes(x=normal)) +\n  geom_density(fill=\"lightblue\", color = \"black\") +\n  labs(x = \"Valores da distribuição normal\", y = \"Densidade\") +\n  theme_minimal() \n\n\n\n\nAnalisando o gráfico acima, observamos que os dados se concentram em torno da média, os dados estarão mais dispersos conforme o aumento de \\(\\sigma^2\\) e que a distribuição é simétrica, ou seja, \\(f(\\mu-x)=f(\\mu+x)\\)."
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+    "section": "6.2 Estimadores e estimativas",
+    "text": "6.2 Estimadores e estimativas\nAgora que estamos a parte de algumas definições que serão importantes para o entendimento do capítulo, podemos iniciar com o seu conteúdo propriamente dito. Em primeiro lugar, chamamos de estimador qualquer estatística cujos valores são utilizados para se estimar um parâmetro ou uma função de um parâmetro. Dessa forma, temos, portanto, que todo estimador será, também, uma variável aleatória, uma vez que eles são funções das variáveis aleatórias que compõem nossa amostra. Quando coletamos a amostra, observamos os valores das variáveis aleatórias que a compõem e os substituímos na expressão do estimador, obtemos o que chamamos de estimativa. Estimativas não são valores aleatórios, mas sim realizações de variáveis aleatórias (dos estimadores).\nDiversos métodos foram desenvolvidos ao longo dos anos para se encontrar estatísticas que possam ser utilizadas como estimadores. Entre os mais conhecidos, podemos citar: o método dos momentos, que encontra estimadores relacionando os momentos amostrais e populacionais; o método dos mínimos quadrados, a partir do qual encontramos o estimador que minimiza a chamada soma de quadrado dos erros; e o método da máxima verossimilhança, provavelmente o mais conhecido e utilizado, por meio do qual encontramos o estimador que maximiza a probabilidade de a amostra coletada ter sido observada, através da maximização da função de verossimilhança. Não entraremos em maiores detalhes sobre nenhum desses métodos, uma vez que nosso objetivo aqui é introduzir o conceito de estimação de forma mais intuitiva. Entretanto, caso seja de seu interesse, já publicamos, no site do Observatório, um texto que pode te ajudar a entender o método da máxima verossimilhança e tudo aquilo que está por trás dele. O post está disponível  neste link .\nO problema da estimação não se resume somente a encontrar estimadores. De fato, existem infinitos estimadores para qualquer que seja o parâmetro que tenhamos interesse. A questão agora é, então, estabelecer critérios que nos permitam determinar o melhor estimador em um certo conjunto. Nesse contexto, podemos definir uma série de propriedades que os estimadores possuem ou podem possuir. São elas:\n\nVício: dizemos que um estimador é não viciado (ou não viesado) se o seu valor esperado coincide com o verdadeiro valor do parâmetro em questão. Em outras palavras, estimadores não viciados acertam, em média, o valor do parâmetro que estão estimando. Caso essa afirmação não seja verdadeira, dizemos que o estimador apresenta vício. O vício é a diferença entre o verdadeiro valor do parâmetro e o valor esperado de seu estimador.\nConsistência: dizemos que um estimador é consistente se, à medida que o tamanho da amostra aumenta, o seu valor esperado converge para o verdadeiro valor do parâmetro em questão e sua variância converge para zero. Dessa forma, estimadores consistentes não necessariamente são não viciados para tamanhos pequenos de amostra: eles só precisam ser não viciados quando esse tamanho é muito grande.\nErro quadrático médio: definimos o erro quadrático médio como sendo o valor esperado da diferença quadrática entre o estimador e o verdadeiro valor do parâmetro estimado. Tal como a variância de uma variável aleatória é uma medida da dispersão de seus valores em torno de sua média, o erro quadrático médio é uma medida da dispersão dos valores do estimador em torno do verdadeiro valor do parâmetro. Dessa forma, estimadores com erros quadráticos médios pequenos são preferíveis. Algo a se notar é que o erro quadrático médio pode ser reescrito como sendo a soma entre o quadrado do vício do estimador e sua variância. Com isso, para estimadores não viciados, o erro quadrático médio se reduz à variância do estimador.\n\nEm um mundo ideal, parece ser intuitivo que nossa busca pelo melhor estimador se dê através do erro quadrático médio, tentando encontrar aquele para o qual essa medida seja a menor possível. Essa tarefa é, entretanto, raramente possível. Em geral, o erro quadrático médio de um estimador é uma função do valor desconhecido do parâmetro a ser estimado, e é muito comum que, para dois estimadores de um parâmetro, seus erros quadráticos médios se entrelassem: para certos valores do parâmetro, o primeiro estimador pode ter o menor erro quadrático médio, enquanto para outros valores o segundo estimador é o que o tem. Com isso, em nossa busca pelo melhor estimador, é comum restringirmos o conjunto de todos os estimadores possíveis à classe dos estimadores não viciados, fazendo com que o erro quadrático médio seja apenas uma função da variância do estimador. Essa restrição é feita porque existem técnicas que nos permitem encontrar, entre os estimadores não viciados, aqueles que possuem a menor variância possível. Não trataremos dessas técnicas ao longo deste livro, mas essa é uma importante consideração para se entender o motivo de, em geral, trabalharmos com estimadores não viciados. De toda forma, passemos, então, para a próxima seção, na qual veremos alguns exemplos de estimadores pontuais utilizando os dados apresentados e tratados em capítulos anteriores."
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+    "text": "6.3 Estimação pontual\nPara iniciar esta seção, comecemos com uma definição. Chamamos de estimação pontual a técnica de estimação na qual utilizamos um único valor de uma estatística para representarmos, ou estimarmos, o valor desconhecido de um parâmetro de interesse. Chamamos essa estatística de estimador pontual, enquanto ao seu valor observado damos o nome de estimativa pontual. [completar]\n\n6.3.1 Estimação pontual da média de uma população\nVoltando aos exemplos apresentados na introdução do capítulo, suponha, primeiramente, que nosso parâmetro de interesse seja a idade média das gestantes e puérperas hospitalizadas por COVID-19 que vieram a óbito por conta dessa doença no período de março de 2020 a dezembro de 2021, a qual denotaremos por \\(\\mu\\). Como temos acesso a todos os registros dessa população, o valor desse parâmetro não é desconhecido, mas isso servirá de auxílio para exemplificar os métodos que aqui serão empregados. Criando um vetor contendo todos os elementos da população, temos:\n\ndados &lt;- readr::read_rds(\"dados/dados_covid[LIMPO].rds\")\npopulacao1 &lt;- dados$idade_anos[which(dados$evolucao == \"óbito\")]\nlength(populacao1)\n\n[1] 1266\n\n\nO processo envolvido na criação do vetor populacao1 é o seguinte: dentro do data frame dados, que contém todos os registros de nossa população, estamos selecionando o valor da variável idade_anos de todas as pacientes para as quais o valor da variável evolucao é “óbito”. O tamanho desse vetor, obtido por meio da função length(), do pacote básico {base}, é de 1266. Ou seja, a população de gestantes e puérperas hospitalizadas por COVID-19 que vieram a óbito por conta dessa doença no período considerado é composta por 1266 elementos. Para calcular o valor da idade média dessas mulheres, podemos utilizar a função mean(), também do pacote básico {base}, que calcula a média aritmética de um dado vetor.\n\nmean(populacao1)\n\n[1] 31.80806\n\n\nA saída do código nos revela o valor de \\(31.81\\) anos. Note que esse valor não representa uma estimativa; ele é, de fato, o verdadeiro valor do parâmetro \\(\\mu\\). O que aconteceria, entretanto, se tivéssemos acesso apenas a uma amostra da população em questão? Poderíamos garantir que os resultados obtidos seriam válidos para todas as gestantes e puérperas desse grupo? É o que começaremos a ver na subseção seguinte.\n\n6.3.1.1 Trabalhando com amostras da população\nPara exemplificar os conceitos de estimação definidos anteriormente, simularemos a retirada de amostras da população de gestantes e puérperas com a qual estamos trabalhando. Dentre as várias maneiras de se obter amostras de uma população, utilizaremos, aqui, a amostragem aleatória simples (AAS) com reposição, uma técnica de amostragem probabilística (ou seja, que atribui a cada elemento da população uma probabilidade, conhecida a priori, de pertencer à amostra), na qual todos os elementos da população possuem a mesma probabilidade de serem sorteados. Utilizaremos a AAS com reposição, que admite a possibilidade de um elemento ser selecionado mais de uma vez, por sua maior simplicidade teórica e por algumas implicações matemáticas e estatísticas que ela carrega, como a independência entre as unidades sorteadas.\nAntes da realização da amostragem, denotamos as variáveis a serem selecionadas por \\(X_1, X_2, ..., X_{n}\\), sendo \\(X_i\\) a variável aleatória que representa a idade da \\(i\\)-ésima gestante ou puérpera hospitalizada pela COVID-19 e que faleceu em decorrência dessa doença, com \\(i = 1, 2, ..., n\\). Dizemos que essa sequência de variáveis aleatórias forma uma amostra aleatória de tamanho \\(n\\). Sendo, novamente, \\(\\mu\\) o parâmetro que representa a idade média da população em questão, e denotando por \\(\\sigma^2\\) o parâmetro que representa a variância populacional das idades dessas gestantes e puérperas, temos, ainda, que \\(E(X_i) = \\mu\\) e que \\(Var(X_i) = \\sigma^2\\).\nDentro do R, podemos obter uma amostra aleatória de tamanho, digamos, \\(n = 30\\), a partir da função sample(), do pacote básico {base}. Utilizaremos três argumentos dessa função: o primeiro, x, recebe o vetor de elementos do qual a amostra será retirada; o segundo, size, recebe o número de itens a serem sorteados; por fim, o terceiro argumento, replace, receberá o valor TRUE, indicando que a amostragem deve ser realizada com reposição. O código utilizado para a realização desse processo, bem como a amostra obtida, podem ser vistos abaixo.\n\nset.seed(43)\namostra1 &lt;- sample(x = populacao1, size = 30, replace = TRUE)\namostra1\n\n [1] 32 27 37 38 39 32 30 24 29 30 34 40 33 17 34 35 32 38 23 24 33 38 18 25 26\n[26] 32 25 36 29 32\n\n\nÉ importante ressaltar que, enquanto \\(X_1, X_2, ..., X_{30}\\) são variáveis aleatórias, os valores guardados no vetor amostra1 representam realizações das mesmas. Dessa forma, temos, para a amostra sorteada, que \\(x_1 = 32\\), \\(x_2 = 27\\), \\(x_3 = 37\\) e assim por diante. Essas realizações seriam, muito provavalmente, diferentes caso desempenhássemos o procedimento de retirada da amostra novamente. No presente caso, o código acima sempre resultará nos mesmos elementos, uma vez que estamos fixando a semente inicial do gerador de números pseudo-aleatórios do R por meio da função set.seed(), do pacote básico {base}. Desfixando a semente inicial do sorteio, entretanto, o resultado obtido através da função sample() seria diferente a cada vez que rodássemos o bloco de código. Observe.\n\nsample(x = populacao1, size = 30, replace = TRUE)\n\n [1] 33 33 27 17 27 24 28 29 30 32 32 31 41 25 30 26 41 26 27 33 27 33 24 39 36\n[26] 30 40 32 28 23\n\n\n\nsample(x = populacao1, size = 30, replace = TRUE)\n\n [1] 33 42 32 29 32 30 30 39 35 48 32 26 27 42 23 29 31 37 27 32 25 41 43 22 21\n[26] 30 34 22 30 37\n\n\n\nsample(x = populacao1, size = 30, replace = TRUE)\n\n [1] 22 33 32 30 30 31 36 37 37 23 28 33 38 40 21 23 38 33 23 37 27 31 43 39 41\n[26] 36 35 39 39 45\n\n\nCom a distinção entre variáveis aleatórias e suas realizações em mente, precisamos, nesse próximo caso, definir qual estimador utilizaremos para estimarmos o parâmetro em questão. Como temos interesse na idade média da população, uma escolha muito intuitiva seria utilizar a média aritmética dos valores amostrados como uma estimativa do valor desse parâmetro. Assim, considerando que \\(X_1, X_2, ..., X_n\\) formam uma amostra aleatória de tamanho \\(n\\) dessa população, definimos o estimador da média amostral como sendo a estatística dada por\n\\[\n\\bar{X} = \\frac{X_1 + X_2 + ... + X_{n}}{n} = \\frac{\\sum_{i = 1}^{n} X_i}{n}.\n\\]\nAlém de muito intuitivo, esse estimador é, também, não viciado e consistente. Podemos facilmente demonstrar essas propriedades de forma matemática, utilizando para isso propriedades de valores esperados. Quanto a ser não viciado, temos:\n\\[\nE(\\bar{X}) = E\\left(\\frac{\\sum_{i = 1}^{n} X_i}{n}\\right).\n\\]\nComo \\(\\frac{1}{n}\\) é um valor constante que está multiplicando a variável aleatória \\(\\sum_{i = 1}^{n} X_i\\), podemos retirá-lo da esperança o multiplicando:\n\\[\nE(\\bar{X}) = E\\left(\\frac{\\sum_{i = 1}^{n} X_i}{n}\\right) = \\frac{1}{n}E\\left(\\sum_{i = 1}^{n} X_i\\right).\n\\]\nSendo a esperança da soma de variáveis aleatórias equivalente à soma das esperanças marginais de cada variável, temos:\n\\[\nE(\\bar{X}) = E\\left(\\frac{\\sum_{i = 1}^{n} X_i}{n}\\right) = \\frac{1}{n}E\\left(\\sum_{i = 1}^{n} X_i\\right) = \\frac{1}{n} \\sum_{i = 1}^{n}  E\\left(X_i\\right)\n\\]\nPor fim, como \\(E(X_i) = \\mu\\),\n\\[\nE(\\bar{X}) = E\\left(\\frac{\\sum_{i = 1}^{n} X_i}{n}\\right) = \\frac{1}{n}E\\left(\\sum_{i = 1}^{n} X_i\\right) = \\frac{1}{n} \\sum_{i = 1}^{n}  E\\left(X_i\\right) = \\frac{1}{n} \\sum_{i = 1}^{n} \\mu = \\frac{1}{n} (n\\mu) = \\mu.\n\\]\nLogo, como o valor esperado do estimador é igual ao parâmetro que ele estima, concluímos que \\(\\bar{X}\\) é um estimador não viciado. Para demonstrarmos que ele é, também, consistente, precisamos calcular sua variância. Assim,\n\\[\nVar(\\bar{X}) = Var\\left(\\frac{\\sum_{i = 1}^{n} X_i}{n}\\right).\n\\]\nComo \\(\\frac{1}{n}\\) é um valor constante que está multiplicando a variável aleatória \\(\\sum_{i = 1}^{n} X_i\\), podemos retirá-lo da variância elevando-o ao quadrado:\n\\[\nVar(\\bar{X}) = Var\\left(\\frac{\\sum_{i = 1}^{n} X_i}{n}\\right) = \\frac{1}{n^2} Var\\left(\\sum_{i = 1}^{n} X_i\\right).\n\\]\nComo utilizamos a AAS com reposição para a retirada da amostra, garantimos que as variáveis aleatórias que a compõem são independentes. Assim, sendo a variância da soma de variáveis aleatórias independentes dada pela soma das variâncias marginais de cada variável, e como \\(Var(X_i) = \\sigma^2\\), temos:\n\\[\n\\begin{align}\nVar(\\bar{X}) = Var\\left(\\frac{\\sum_{i = 1}^{n} X_i}{n}\\right) = \\frac{1}{n^2} Var\\left(\\sum_{i = 1}^{n} X_i\\right) & = \\frac{1}{n^2} \\sum_{i = 1}^{n} Var(X_i) \\\\ & = \\frac{1}{n^2} \\sum_{i = 1}^{n} \\sigma^2 \\\\ & = \\frac{1}{n^2} (n \\sigma^2) \\\\ & = \\frac{\\sigma^2}{n}.\n\\end{align}\n\\]\nObserve que, quanto maior o valor do tamanho de amostra \\(n\\), menor é o valor da variânica de \\(\\bar{X}\\). Essa informação, aliada ao fato de \\(\\bar{X}\\) ser não viciado, nos permite concluir que o estimador em questão é consistente. Voltando ao exemplo em que estávamos, como definimos que \\(n = 30\\), a expressão do estimador da média amostral se torna\n\\[\n\\bar{X} = \\frac{X_1 + X_2 + ... + X_{30}}{30} = \\frac{\\sum_{i = 1}^{30} X_i}{30}.\n\\]\nSubstituindo os valores da amostra coletada e calculando sua média aritmética, obtemos:\n\nmean(amostra1)\n\n[1] 30.73333\n\n\nCom isso, concluímos que uma estimativa pontual para a idade média das gestantes e puérperas que faleceram em decorrência da COVID-19 é de \\(30.73\\). Esse valor é relativamente próximo do verdadeiro valor do parâmetro, o qual sabemos ser 31.81. Lembre-se, entretanto, que a estimativa obtida depende diretamente da amostra que foi coletada, uma vez que nosso estimador é uma função da amostra e, portanto, é uma variável aleatória. A cada vez que realizássemos um novo sorteio, o valor de nossa estimativa seria, muito provavelmente, diferente do anterior. Como nosso objetivo é fazer uma afirmação sobre o parâmetro \\(\\mu\\) a partir da amostra coletada, é interessante considerar que a validade dessa afirmação seria melhor compreendida se soubéssemos o que acontece com nosso estimador quando retiramos todas as amostras de mesmo tamanho possíveis de nossa população. Retomaremos essa discussão posteriormente. Buscaremos, agora, estimar um outro tipo de parâmetro: a proporção populacional.\n\n\n\n6.3.2 Estimação pontual da proporção populacional\nPara o segundo exemplo, suponha que o parâmetro no qual temos interesse seja a proporção válida de gestantes e puérperas hospitalizadas por COVID-19 no período de março de 2020 a dezembro de 2021 que apresentaram diarreia como um de seus sintomas. Representaremos esse parâmetro por \\(p\\). Assim como no exemplo anterior, podemos calcular seu valor, uma vez que temos acesso a todos os registros dessa população. Note que, como estamos tratando da proporção válida, precisamos que nossa população seja composta apenas pelas mulheres para as quais o valor da variável diarreia foi preenchido de forma válida (ou seja, com sim ou não). Assim, temos:\n\npopulacao2 &lt;- dados$diarreia[which(!is.na(dados$diarreia) & dados$diarreia != \"ignorado\")]\nlength(populacao2)\n\n[1] 8472\n\nhead(populacao2, 20)\n\n [1] \"não\" \"não\" \"não\" \"não\" \"não\" \"não\" \"não\" \"não\" \"não\" \"não\" \"não\" \"não\"\n[13] \"não\" \"sim\" \"não\" \"não\" \"não\" \"não\" \"não\" \"não\"\n\n\nObservando as saídas acima, podemos notar que nossa população é formada por 8.472 elementos, que assumem valor sim, quando a gestante ou puérpera apresentou diarreia como um dos sintomas da COVID-19, e não, quando esse sintoma não foi apresentado. Para facilitar nosso trabalho a partir daqui, transformaremos os valores sim em 1 e os valores não em 0, utilizando para isso a função ifelse(), do pacote básico {base}. Essa função recebe três argumentos: o primeiro, test, recebe um vetor lógico; o segundo, yes, recebe o valor que a função deve retornar quando o dado elemento desse vetor lógico for verdadeiro; por fim, o terceiro argumento, no, recebe o valor que a função deve retornar quando o dado elemento do vetor lógico for falso. Observe o código e a saída abaixo.\n\npopulacao2_transformada &lt;- ifelse(populacao2 == \"sim\", yes = 1, no = 0)\nhead(populacao2_transformada, 20)\n\n [1] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0\n\n\nCalculando, por fim, a proporção desejada, que nada mais será do que a média aritmética do vetor populacao2_transformada, uma vez que ele é formado por zeros e uns, temos:\n\nmean(populacao2_transformada)\n\n[1] 0.128305\n\n\nLogo, o valor do parâmetro \\(p\\) - a proporção válida de gestantes e puérperas hospitalizadas por COVID-19 no período de março de 2020 a dezembro de 2021 que apresentaram diarreia como um de seus sintomas - é de 0,128, ou 12,8%. Vamos, agora, fingir que não tínhamos acesso a métodos de se calcular o valor desse parâmetro, tentando novamente estimá-lo por meio da coleta de amostras da população.\n\n6.3.2.1 Trabalhando com amostras de uma população com distribuição Bernoulli\nDiferentemente do que ocorria com o exemplo anterior, a amostra aleatória que agora coletaremos será composta por variáveis aleatórias para as quais sabemos a “forma” de sua distribuição de probabilidade. Podemos definir \\(Y_1, Y_2, ..., Y_{n}\\) como sendo uma amostra aleatória da distribuição Bernoulli com parâmetro \\(p\\), na qual \\(Y_i\\) recebe o valor 1, caso a \\(i\\)-ésima gestante ou puérpera sorteada tenha apresentado diarreia como um dos sintomas da COVID-19 (sucesso), e 0, caso contrário (fracasso), com \\(i = 1, 2, ..., n\\). O parâmetro \\(p\\) representa a probabilidade de sucesso (que sabemos ser de 0,128, apesar de estarmos fingindo que não temos essa informação). Como queremos estimar uma proporção, é intuitivo considerarmos como estimador a proporção das gestantes ou puérperas da amostra que apresentaram diarreia como sintoma. Assim, definimos o estimador da proporção amostral, denotado por \\(\\hat{p}\\), como sendo\n\\[\n\\hat{p} = \\frac{Y_1 + Y_2 + ... + Y_n}{n} = \\frac{\\sum_{i = 1}^{n} Y_i}{n}.\n\\]\nDe maneira similar ao que fizemos com o estimador da média amostral, \\(\\bar{X}\\), podemos demonstrar que o estimador da proporção amostral é, também, não viciado e consistente. Quanto à primeira propriedade, sabendo que \\(E(Y_i) = p\\), para \\(i = 1, 2, ..., n\\), temos:\n\\[\nE\\left(\\hat{p}\\right) = E \\left( \\frac{\\sum_{i = 1}^{n} Y_i}{n} \\right) = \\frac{1}{n} \\sum_{i = 1}^{n} E\\left(Y_i \\right) =  \\frac{1}{n}  \\sum_{i = 1}^{n} p = \\frac{1}{n} (np) = p.\n\\]\nAssim, como \\(E(\\hat{p}) = p\\), podemos concluir que o estimador da proporção amostral é não viesado. Em outras palavras, esse estimador “acerta”, em média, o verdadeiro valor do parâmetro \\(p\\). Para a segunda propriedade, precisamos, primeiramente, calcular a variância de \\(\\hat{p}\\). Como \\(Y_i\\) segue distribuição \\(Bernoulli(p)\\), sabemos que \\(Var(Y_i) = p(1 - p)\\). Dessa forma, temos que\n\\[\n\\begin{align}\nVar(\\hat{p}) = Var \\left( \\frac{\\sum_{i = 1}^{n} Y_i}{n} \\right) = \\frac{1}{n^2} \\sum_{i = 1}^{n} Var(Y_i) & = \\frac{1}{n^2} \\sum_{i = 1}^{n} p(1 - p) \\\\ &  = \\frac{1}{n^2} \\left[np(1 - p)\\right] \\\\ &  = \\frac{p(1 - p)}{n}.\n\\end{align}\n\\]\nObserve que, quanto maior o valor do tamanho de amostra \\(n\\), menor é o valor da variânica de \\(\\hat{p}\\). Essa informação, aliada ao fato de \\(\\hat{p}\\) ser não viciado, nos permite concluir que o estimador em questão é consistente. Investigadas as propriedades do estimador, podemos partir para a retirada da amostra, utilizando novamente a função sample() para simular uma amostra de tamanho \\(n = 30\\) obtida por meio da AAS com reposição. A amostra coletada pode ser vista abaixo.\n\nset.seed(43)\namostra2 &lt;- sample(x = populacao2_transformada, size = 30, replace = TRUE)\namostra2\n\n [1] 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0\n\n\nAplicando os valores obtidos no estimador da proporção amostral, que nada mais é do que a média aritmética da amostra, temos:\n\nmean(amostra2)\n\n[1] 0.1333333\n\n\nCom isso, concluímos que uma estimativa pontual para a proporção válida de gestantes e puérperas hospitalizadas pela COVID-19 no período em estudo e que apresentaram diarreia como um dos sintomas da doença é de 0,133, ou de 13,3%. Novamente, essa estimativa depende diretamente da amostra obtida; novas amostragens quase certamente resultariam em estimativas diferentes para o parâmetro. Com isso, volta à tona a reflexão levantada no final do exemplo anterior, de que a validade de nossa afirmação sobre o verdadeiro valor de \\(p\\) seria melhor compreendida caso levássemos em consideração a distribuição de nosso estimador, \\(\\hat{p}\\). Conseguiríamos estudar o comportamento probabilístico de \\(\\hat{p}\\) caso aumentássemos o tamanho da amostra? A resposta, já adiantando, é sim. O que utilizamos para realizar esse estudo, entretanto, será visto na próxima seção.\n\n\n\n6.3.3 A distribuição amostral de estimadores\nComo vimos ao longo das seções anteriores, o problema da Inferência Estatística que queremos resolver consiste em fazer uma afirmação sobre um certo parâmetro de uma determinada população por meio de uma amostra. Para encará-lo, decidimos que nossa afirmação será baseada em uma certa estatística \\(T\\), para a qual demos o nome de estimador, que será uma função da amostra (\\(X_1, X_2, ..., X_n\\)). Quando coletamos a amostra, podemos obter um valor particular de \\(T\\), digamos \\(t_0\\), para o qual demos o nome de estimativa. E é com base nesse valor \\(t_0\\) que faremos a afirmação sobre o parâmetro de interesse. Para entendermos melhor a incerteza por trás de nossa afirmação, entretanto, seria de nosso interesse determinar qual é a distribuição de \\(T\\) quando a amostra, \\(X_1, X_2, ..., X_n\\), assume todos os valores possíveis. Chamamos essa distribuição de distribuição amostral da estatística T. Bussab e Moretin (referência) esquematizam o procedimento para a obtenção da distribuição amostral da seguinte maneira:\n\nA partir de uma determinada população \\(X\\), com certo parâmetro de interesse \\(\\theta\\), obtemos todas as amostras possíveis com um mesmo tamanho amostral \\(n\\), de acordo com uma certa técnica de amostragem;\nPara cada amostra obtida, calculamos o valor \\(t\\) da estatística \\(T\\);\nOs valores \\(t\\) formam uma nova população, cuja distribuição recebe o nome de distribuição amostral de \\(T\\).\n\nÉ muito comum, no entanto, que não sejamos capazes de coletar todas as amostras possíveis de uma população. Com isso, acabamos tendo que nos contentar em simular um número grande de amostras, para assim termos uma ideia do que acontece com a estatística de interesse. Para melhor entendermos as ideias apresentadas, consideremos os estimadores \\(\\bar{X}\\), a média amostral, e \\(\\hat{p}\\), a proporção amostral. Nos exemplos antecedentes, acabamos determinando, talvez sem perceber, a média e a variância das distribuições amostrais de ambos os estimadores quando estávamos demonstrando duas de suas propriedades - a falta de vício e a consistência. Retomando os resultados obtidos, encontramos que\n\n\\(E(\\bar{X} = \\mu)\\) e \\(Var(\\bar{X}) = \\displaystyle \\frac{\\sigma^2}{n}\\);\n\\(E(\\hat{p} = p)\\) e \\(Var(\\hat{p}) = \\displaystyle \\frac{p(1 - p)}{n}\\).\n\nMédias e variâncias não são, todavia, tudo aquilo que precisamos para determinar a distribuição amostral de estimadores. Precisamos, também, determinar sua “forma”. Para isso, coletaremos várias amostras e construiremos histogramas das distribuições de \\(\\bar{X}\\) e \\(\\hat{p}\\) para diferentes tamanhos de amostra. Comecemos simulando \\(M\\) = 100 amostras, cada uma com tamanho \\(n\\) = 15, da população de idades de gestantes e puérperas hospitalizadas e falecidas em decorrência da COVID-19 no período em estudo, a qual chamamos de populacao1. Utilizaremos para isso a função replicate(), do pacote básico {base}. Essa função recebe dois argumentos: o primeiro, n, recebe o número de replicações a serem feitas, enquanto o segundo, expr, recebe a expressão que será replicada. O resultado, guardado no objeto amostras_pop1, é uma matriz na qual o elemento \\([a_{ij}]\\) representa o \\(i\\)-ésimo elemento da \\(j\\)-ésima amostra, com \\(i = 1, 2, ..., 15\\) e \\(j = 1, 2, ..., 100\\). As cinco primeiras colunas dessa matriz podem ser vistas abaixo.\n\nset.seed(43)\nM &lt;- 100\nn &lt;- 15\namostras_pop1 &lt;- replicate(M, expr = sample(x = populacao1, size = n, replace = TRUE))\namostras_pop1[, 1:5]\n\n      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]\n [1,]   32   35   33   26   33\n [2,]   27   32   33   41   42\n [3,]   37   38   27   26   32\n [4,]   38   23   17   27   29\n [5,]   39   24   27   33   32\n [6,]   32   33   24   27   30\n [7,]   30   38   28   33   30\n [8,]   24   18   29   24   39\n [9,]   29   25   30   39   35\n[10,]   30   26   32   36   48\n[11,]   34   32   32   30   32\n[12,]   40   25   31   40   26\n[13,]   33   36   41   32   27\n[14,]   17   29   25   28   42\n[15,]   34   32   30   23   23\n\n\nRepetimos o mesmo processo para a população de gestantes e puérperas com preenchimento válido da variável diarreia, que chamamos de populacao2_transformada. Novamente, as cinco primeiras colunas da matriz de amostras, que agora denominamos amostras_pop2, podem ser vistas abaixo.\n\nset.seed(43)\namostras_pop2 &lt;- replicate(M, expr = sample(x = populacao2_transformada, size = n, replace = TRUE))\namostras_pop2[, 1:5]\n\n      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]\n [1,]    0    0    0    0    0\n [2,]    0    0    0    0    0\n [3,]    0    1    0    0    0\n [4,]    0    0    0    0    0\n [5,]    0    0    0    1    1\n [6,]    0    0    0    0    0\n [7,]    0    0    0    0    0\n [8,]    1    0    0    0    0\n [9,]    1    0    0    0    0\n[10,]    0    0    0    1    0\n[11,]    0    0    0    0    0\n[12,]    0    0    0    1    1\n[13,]    0    0    0    0    0\n[14,]    0    1    0    0    0\n[15,]    0    0    0    1    0\n\n\nCom as amostras em mãos, o próximo passo é calcular o valor do respectivo estimador em cada uma delas. Realizaremos esse processo com a função apply(), também do pacote básico {base}, a qual permite que apliquemos qualquer função em todas as linhas ou colunas de uma matriz. Utilizaremos três de seus argumentos: o primeiro, X, recebe a matriz na qual queremos aplicar a função; o segundo, MARGIN, recebe a direção em que a função será aplicada (1 caso queiramos que a função seja aplicada nas linhas da matriz, ou 2 caso queiramos a aplicar em suas colunas); por fim, o terceiro, FUN, recebe a função que queremos aplicar. O código utilizado nesse processo, bem como parte dos vetores obtidos, podem ser vistos abaixo.\n\nx_barras &lt;- apply(X = amostras_pop1, MARGIN = 2, FUN = mean)\nhead(x_barras)\n\n[1] 31.73333 29.73333 29.26667 31.00000 33.33333 30.73333\n\np_chapeus &lt;- apply(X = amostras_pop2, MARGIN = 2, FUN = mean)\nhead(p_chapeus)\n\n[1] 0.1333333 0.1333333 0.0000000 0.2666667 0.1333333 0.2000000\n\n\nPor fim, criemos os histogramas da distribuição de cada estimador. Como já discutimos sobre a criação de histogramas no capítulo de Estatística Descritiva, o código abaixo deve ser familiar.\n\nlibrary(ggplot2)\n\nggplot(data.frame(x_barra = x_barras), aes(x = x_barra))  + \n  geom_histogram(\n    aes(y = after_stat(density)),\n    fill = \"lightblue\",\n    bins = 15,\n    color = \"black\"\n  ) +\n  coord_cartesian(xlim = c(26, 36)) +\n  labs(\n    x = \"Idade média das gestantes e puérperas\", \n    y = \"Densidade\",\n    title = \"Distribuição amostral da médias amostrais para n = 15\"\n  ) +\n  geom_vline(xintercept = mean(x_barras), linetype = 2) +\n  annotate(\n    geom = \"text\",\n    x = 34, \n    y = 0.3,\n    label = paste(\"Valor médio das estimativas:\", round(mean(x_barras), 3))\n  )\n\n\n\nggplot(data.frame(p_chapeu = p_chapeus), aes(x = p_chapeu))  + \n  geom_histogram(\n    aes(y = after_stat(density)),\n    fill = \"steelblue\", \n    bins = 15, \n    color = \"black\"\n  ) +\n  coord_cartesian(xlim = c(0, 0.5)) +\n  labs(\n    x = \"Proporção de gestantes ou puérperas com diarreia como sintoma\", \n    y = \"Densidade\",\n    title = \"Distribuição amostral das proporções amostrais para n = 15\"\n  ) + \n  geom_vline(xintercept = mean(p_chapeus), linetype = 2) +\n  annotate(\n    geom = \"text\",\n    x = 0.23, \n    y = 9,\n    label = paste(\"Valor médio das estimativas:\", round(mean(p_chapeus), 3))\n  )\n\n\n\n\nObservando os histogramas, podemos notar que, mesmo para um tamanho de amostra pequeno como \\(n\\) = 15, a distribuição de \\(\\bar{X}\\) se assemelha à distribuição normal, visto que apresenta o característico formato aproximado de sino e uma quase simetria em torno de sua média. Essa combinação de fatores nos sugere que \\(X_1, X_2, ..., X_{15}\\), as variáveis aleatórias que compõem as amostras da população de idades, seguem, também, uma distribuição simétrica em torno da média. Além disso, o valor médio das estimativas \\(\\bar{x}\\), de 31,843, está muito próximo do verdadeiro valor do parâmetro populacional \\(\\mu\\), que sabemos ser de 31,81 anos. Esse resultado já era esperado, uma vez que a distribuição de \\(\\bar{X}\\) está centrada em \\(\\mu\\). Pouco podemos dizer, entretanto, do histograma da distribuição amostral de \\(\\hat{p}\\) até o momento; apenas que sua média está muito próxima do verdadeiro valor de \\(p\\), que sabemos ser de 0,128, como já era esperado pelo mesmo motivo. Aumentemos, então, o tamanho das amostras, e observemos os resultados obtidos. Como a única modificação será o valor da variável n, ocultaremos os códigos utilizados para evitar uma maior poluição visual. Dessa forma, para \\(n\\) = 30, temos:\n\n\n\n\n\n\n\n\nPara \\(n = 50\\),\n\n\n\n\n\n\n\n\nPara \\(n = 100\\),\n\n\n\n\n\n\n\n\nPor fim, para \\(n = 200\\),\n\n\n\n\n\n\n\n\nObserve que, conforme aumentamos o tamanho das amostras, os histogramas de ambos os estimadores tendem a se concentrar cada vez mais em torno de suas respectivas médias, uma vez que as variância das estimativas se torna cada vez menor. Dessa forma, podemos concluir que estimativas obtidas a partir de tamanhos de amostra maiores têm uma maior probabilidade de “acertarem” o verdadeiro valor do parâmetro que estão estimando. É também notável que mesmo os histogramas das proporções amostrais aparentam convergir para o formato da distribuição normal conforme o valor de \\(n\\) aumenta. Esse fato, por incrível que pareça, não é coincidência: ele é decorrência direta do Teorema Central do Limite (TCL), o qual afirma que, independente da distribuição da população, quanto maior o tamanho amostral, mais próxima será a distribuição amostral da média de uma distribuição normal. Vale lembrar que a proporção amostral nada mais é do que um caso particular da média amostral em que os valores observados na amostra contém apenas zeros e uns, o que explica a aplicação do TCL nesse caso. Para sermos mais precisos, podemos dizer de forma aproximada que, para tamanhos suficientemente grandes de amostra,\n\\[\n\\bar{X} \\sim N\\left(\\mu, \\frac{\\sigma^2}{n} \\right) \\text{ e } \\hat{p}\\sim N\\left(p, \\frac{p(1-p)}{n} \\right).\n\\]\nCom isso, aqui terminamos o conteúdo referente à estimação pontual."
+  },
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+    "title": "6  Estimação",
+    "section": "6.4 Estimação intervalar",
+    "text": "6.4 Estimação intervalar\nAté este ponto, todos os estimadores que apresentamos e discutimos são pontuais, uma vez que fornecem um único valor como estimativa para o parâmetro de interesse. Estimativas pontuais, por mais úteis que sejam, acabam fornecendo uma informação incompleta sobre o valor estimado do parâmetro em questão. Como estimadores são variáveis aleatórias e, portanto, possuem uma distribuição de probabilidade, seria de nosso interesse que a estimativa a ser apresentada levasse em consideração uma medida de seu possível erro. Essa essa medida pode ser, por exemplo, um intervalo relacionado à dimensão da confiança que temos de que o verdadeiro valor do parâmetro está sendo captado. Dessa forma, a partir daqui, entramos no campo da estimação intervalar. Dentro da Inferência Clássica, que estamos estudando neste capítulo, estimativas intervalares se dão a partir dos chamados intervalos de confiança. Intervalos de confiança incorporam, à estimativa pontual do parâmetro, informações a respeito da variabilidade do estimador. Além disso, eles são obtidos através da distribuição amostral de seus estimadores, o que justifica ainda mais o conteúdo que vimos na última subseção de estimação pontual.\nComo o intuito deste livro não é conter uma porção pesada de teoria, introduziremos o conceito de intervalos de confiança a partir de exemplos, realizando explicações sobre os elementos envolvidos em sua construção conforme seja necessário. Caso seja de seu interesse, já publicamos, no site do Observatório, um texto que pode te ajudar a entender o melhor a teoria por trás dos intervalos de confiança, que conta também com o detalhamento de um dos principais métodos utilizados para a construção desses intervalos: o método da quantidade pivotal. O post está disponível  neste link . Com isso em mente, prossigamos para nosso primeiro exemplo: a criação de intervalos de confiança para a média amostral.\n\n6.4.1 Intervalos de confiança para a média amostral quando a variância populacional é conhecida\nUtilizando o exemplo já apresentado na seção anterior, considere que \\(X_1, X_2, ..., X_n\\) formam uma amostra aleatória da população de idades de gestantes e puérperas hospitalizadas e falecidas em decorrência da COVID-19 no período de março de 2020 a dezembro de 2021, sendo \\(X_i\\) a variável aleatória que representa a idade da \\(i\\)-ésima gestante ou puérpera sorteada, com \\(i = 1, 2, ..., n\\). Denotando, novamente, por \\(\\mu\\) a média populacional das idades dessas mulheres, e por \\(\\sigma^2\\) a variância populacional dessas idades, temos, ainda que \\(E(X_i) = \\mu\\) e \\(Var(X_i) = \\sigma^2\\). Suponha que queiramos estimar o valor de \\(\\mu\\), utilizando para isso o estimador \\(\\bar{X}\\). Suponha também, neste primeiro exemplo, que o valor de \\(\\sigma^2\\) é conhecido. Note que não estamos fazendo nenhuma suposição sobre a distribuição de probabilidade dessas variáveis. Dessa forma, precisaremos, a partir deste ponto, impor uma restrição: o tamanho da amostra deve ser grande o suficiente para que possamos aplicar o Teorema Central do Limite. Caso essa restrição seja cumprida, sabemos, por meio do TCL e de forma aproximada, que\n\\[\n\\bar{X} \\sim N \\left(\\mu, \\frac{\\sigma^2}{n} \\right).\n\\]\nSubtraindo de uma variável aleatória a sua média e dividindo o resultado por seu desvio padrão, obtemos o que chamamos de variável aleatória padronizadas. Uma variável aleatória padronizada tem média igual a zero e variância igual a um. Aplicando esse resultado em nosso estimador, \\(\\bar{X}\\), obtemos uma nova variável, a qual chamaremos de \\(Z\\), cuja distribuição estará totalmente definida, o que será de grande utilidade na construção de nosso intervalo. Observe.\n\\[\nZ = \\frac{\\bar{X} - \\mu}{\\sigma/\\sqrt{n}} = \\frac{\\sqrt{n}\\left(\\bar{X} - \\mu\\right)}{\\sigma} \\sim N(0, 1).\n\\] Como conhecemos a distribuição de probabilidade de \\(Z\\), podemos, para um certo valor \\(\\alpha\\), com \\(0 &lt; \\alpha &lt; 1\\), encontrar valores \\(z_1\\) e \\(z_2\\), com \\(z_1 &lt; z_2\\), tais que\n\\[\nP(z_1 &lt; Z &lt; z_2) = 1 - \\alpha.  \\qquad \\qquad \\text{(I)}\n\\]\nChamamos o valor \\(1 - \\alpha\\) de coeficiente de confiança. Sua interpretação será feita posteriormente. Quanto à probabilidade acima, note que existem infinitos valores de \\(z_1\\) e \\(z_2\\) que a satisfazem. Como queremos encontrar um intervalo que contenha os valores mais plausíveis do parâmetro em estudo, é de nosso interesse que a amplitude desse intervalo seja a menor possível, sendo a amplitude de um intervalo definida como a diferença entre seus extremos superior e inferior. E, para que esse interesse seja cumprido, é necessário que os valores de \\(z_1\\) e \\(z_2\\) sejam os mais próximos possíveis. Para distribuições simétricas em torno do zero, como é o caso da distribuição normal padrão, podemos mostrar que a amplitude do intervalo será mínima se os valores de \\(z_1\\) e \\(z_2\\) forem opostos, ou seja, se \\(z_1 = -z_2\\). Com isso, precisamos apenas encontrar um valor \\(z\\) tal que\n\\[\nP(Z \\leqslant z) = 1 - \\frac{\\alpha}{2}\n\\]\nA este valor, o qual denotamos por \\(z_{1 - \\alpha/2}\\), damos o nome de quantil de ordem \\(1 - \\alpha/2\\). Um quantil de ordem \\(k\\) de uma variável aleatória, com \\(0 &lt; k &lt; 1\\), nada mais é que o ponto tal que, quando nele aplicada a função de distribuição acumulada da variável, a probabilidade obtida é igual a \\(k\\) (a ordem que o quantil representa). Em uma situação prática, na qual teríamos um valor definido de \\(\\alpha\\), poderíamos utilizar uma tabela da distribuição normal padrão para encontrar o valor de \\(z_{1 - \\alpha/2}\\), ou mesmo utilizar a função qnorm(), do pacote básico {stats}, para realizar esse processo. A função qnorm(), bem como a família de funções do R que seguem a estrutura “qnome_da_distribuição()”, representa a função quantílica: para uma dada probabilidade e para dados valores dos parâmetros da distribuição, a função retorna o quantil cuja ordem é a probabilidade estipulada em seus arguementos. Com isso em mente, podemos reescrever \\(z_1\\) e \\(z_2\\) como sendo\n\\[\nz_1 = -z_{1 - \\alpha/2} \\text{ e } z_2 = z_{1 - \\alpha/2}.\n\\]\nPara que a explicação acima seja melhor absorvida, observe o gráfico a seguir, que representa a curva da densidade de probabilidade da distribuição normal padrão.\n\n\n\n\n\nFigura w: Para uma confiança de (100 - \\(\\alpha\\))%, a área em cada cauda da distribuição deverá ser de \\(\\alpha\\)/2 para que o intervalo seja o menor possível.\n\n\n\n\nVoltando à probabilidade definida em \\(\\text{(2)}\\), a atualizando com os resultados obtidos e reescrevendo \\(Z\\), temos:\n\\[\nP(z_1 &lt; Z &lt; z_2) = P \\left(-z_{1 - \\alpha/2} &lt; \\frac{\\sqrt{n}\\left(\\bar{X} - \\mu\\right)}{\\sigma}  &lt; z_{1 - \\alpha/2} \\right)  = 1 - \\alpha.\n\\]\nComo queremos obter um intervalo de confiança para \\(\\mu\\), precisamos isolá-lo na expressão acima, a saber:\n\\[\n\\begin{align}\n& P\\left(-z_{1 - \\alpha/2} &lt; \\frac{\\sqrt{n}\\left(\\bar{X} - \\mu\\right)}{\\sigma} &lt; z_{1 - \\alpha/2} \\right) \\\\ &\n= P\\left(-z_{1 - \\alpha/2}\\sigma &lt; \\sqrt{n}\\left(\\bar{X} - \\mu\\right) &lt; z_{1 - \\alpha/2}\\sigma \\right)  \\\\ &\n= P\\left(-z_{1 - \\alpha/2}\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} &lt; \\bar{X} - \\mu &lt; z_{1 - \\alpha/2}\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} \\right) \\\\  &\n= P\\left(-\\bar{X} + -z_{1 - \\alpha/2}\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} &lt; - \\mu &lt; -\\bar{X} + z_{1 - \\alpha/2}\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} \\right) \\\\ & = P\\left(\\bar{X} - z_{1 - \\alpha/2}\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} &lt; \\mu &lt; \\bar{X} - -z_{1 - \\alpha/2}\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} \\right) = 1 - \\alpha\n\\end{align}\n\\] Portanto, quando a variância populacional é conhecida, um intervalo de confiança para \\(\\mu\\), com coeficiente de confiança \\(1 - \\alpha\\), é dado por\n\\[\nIC(\\mu,\\ 1 - \\alpha) = \\left(\\bar{X} - z_{1 - \\alpha/2}\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}};\\; \\bar{X} + z_{1 - \\alpha/2}\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}\\right).\n\\]\nA interpretação do resultado acima deve ser feita com cuidado. É preciso entender que a expressão \\(IC(\\mu,\\ 1 - \\alpha)\\) envolve uma variável aleatória, \\(\\bar{X}\\), fazendo com que o intervalo obtido também seja aleatório. Para o intervalo aleatório encontrado acima, podemos dizer que a probabilidade aproximada de ele conter o verdadeiro valor do parâmetro \\(\\mu\\) é de \\(1 - \\alpha\\). Aproximada, nesse caso, porque estamos utilizando o TCL para fazer uma aproximação da distribuição de probabilidade de \\(\\bar{X}\\); caso a população seguisse distribuição normal, essa probabilidade seria exata. De qualquer forma, quando coletamos a amostra e observamos uma estimativa \\(\\bar{x}\\), obtemos um intervalo numérico, que chamamos de intervalo de confiança observado. A partir desse ponto, não existem mais quantidades aleatórias na expressão do intervalo, uma vez que, na Inferência Clássica, os parâmetros, por mais que possam ser desconhecidos, são quantidades fixas. Dessa forma, não podemos mais afirmar que um intervalo de confiança observado possui probabilidade \\(1 - \\alpha\\) de conter o verdadeiro valor do parâmetro. Podemos apenas dizer que temos uma confiança considerável de que esse intervalo contém o verdadeiro valor do parâmetro. A medida da nossa confiança é de \\(1 - \\alpha\\) porque, antes de colhermos a amostra, \\(1 - \\alpha\\) era a probabilidade aproximada de que o intervalo aleatório contivesse o verdadeiro valor de \\(\\mu\\).\nComo a distinção entre confiança e probabilidade pode ser difícil de se entender, uma interpretação conveniente para intervalos de confiança é a seguinte: se obtivéssemos várias amostras de mesmo tamanho e, para cada uma delas, calculássemos os correspondentes intervalos de confiança com coeficiente de confiança \\(1 - \\alpha\\), esperaríamos que a proporção de intervalos que contivessem o verdadeiro valor do parâmetro fosse igual a \\(1 - \\alpha\\).\nPor fim, antes de realizarmos um exemplo numérico, podemos fazer algumas considerações a respeito da escolha do valor de \\(\\alpha\\). É possível mostrar que, conforme aumentamos o coeficiente de confiança, a amplitude do intervalo aumenta. Isso, claro, é algo que deveríamos esperar, visto que intervalos maiores possuem naturalmente uma maior chance de conterem um valor desconhecido. Com isso, para que os intervalos sejam o mais informativo possível, mantendo uma confiança elevada, é necessário que selecionemos \\(\\alpha\\) de forma balanceada, sendo uma escolha muito comum o valor 0,05 (nesse caso, temos que o coeficiente de confiança é de 0,95). É muito mais interessante, por exemplo, um intervalo de confiança que diz que o verdadeiro valor do salário médio de um estatístico está entre 3,5 a 6 salários mínimos do que um intervalo que diz que esse valor está entre 2 a 7,5 salários mínimos. Apesar de, com o segundo intervalo, termos uma maior confiança de que o verdeiro valor do salário médio está sendo captado, a qualidade da informação que extraímos dele é consideravelmente pior do que aquela obtida com o primeiro intervalo.\n\n6.4.1.1 Um exemplo numérico\nSubstituindo as letras por números, e continuando o exemplo em que estávamos, vamos, agora, obter, através do R, um intervalo de 95% confiança para \\(\\mu\\). Lembre-se que aqui \\(\\mu\\) é a média populacional das idades das gestantes e puérperas hospitalizadas e falecidas em decorrência da COVID-19 no período de março de 2020 a dezembro de 2021. Como precisamos que nossa amostra seja suficientemente grande para que possamos aplicar o TCL, utilizaremos \\(n = 50\\), uma vez que, observando os histogramas criados na seção de Distribuição Amostral, a distribuição de \\(bar{X}\\) já se aproxima satisfatóriamente bem da distribuição normal a partir desse ponto. Além disso, como a expressão do intervalo de confiança obtido acima leva em consideração que a variância populacional é conhecida, precisaremos, também, dessa informação. Para calculá-la, teremos de multiplicar o resultado da função var() por \\(\\frac{N - 1}{N}\\), sendo \\(N\\) o tamanho da população, uma vez que essa função utiliza \\(N - 1\\) como denominador para o cálculo da variância. Observe o código abaixo.\n\nsigma2 &lt;- var(populacao1) * (length(populacao1) - 1)/length(populacao1)\nsigma2\n\n[1] 45.97659\n\n\nObtendo uma amostra de tamanho \\(n = 50\\) por meio da função sample(), e a armazenando no vetor amostra_ic_media, temos:\n\nset.seed(34)\namostra_ic_media &lt;- sample(x = populacao1, size = 50, replace = TRUE)\nhead(amostra_ic_media, 20)\n\n [1] 26 39 32 35 35 35 31 21 25 40 33 32 19 22 19 30 40 31 38 36\n\n\nNesse próximo passo, criaremos uma função, a qual chamaremos de ic_media_caso1(), que calculará intervalos de confiança para o parâmetro \\(\\mu\\) quando a variância populacional é conhecida e \\(\\bar{X}\\) segue distribuição normal (ou aproximadamente normal). A função possuirá três argumentos: dados, que receberá o vetor de valores observados na amostra; sigma, que receberá o valor do desvio padrão populacional; e alpha, que receberá o valor necessário para se obter o coeficiente de confiança associado ao intervalo, que nesse caso será de 0,05. Utilizaremos a já explicada função qnorm() para encontrar o valor do quantil de ordem \\(1 - \\alpha\\) da normal padrão (não utilizaremos os argumentos mean e sigma dessa função, uma vez que seus valores padrões são, respectivamente, 1 e 0). O limite inferior do intervalo será guardado no vetor limite_inferior, enquanto o superior será guardado em limite_superior. A função retornará um data frame contendo algumas medidas referentes à amostra e o intervalo de confiança propriamente dito. O resultado do processo pode ser visto abaixo.\n\nic_media_caso1 &lt;- function(amostra, sigma, alfa) {\n  media &lt;- mean(amostra)\n  n &lt;- length(amostra)\n  z &lt;- round(qnorm(p = 1 - alfa/2), 3)\n  limite_inferior &lt;- round(media - z * sigma/sqrt(n), 3)\n  limite_superior &lt;- round(media + z * sigma/sqrt(n), 3)\n  amplitude &lt;- limite_superior - limite_inferior\n  return(\n    data.frame(\n      n, \n      estimativa_pontual = media,\n      limite_inferior, \n      limite_superior,\n      amplitude)\n  )\n}\n\nic_media_caso1(amostra = amostra_ic_media, sigma = sqrt(sigma2), alfa = 0.05)\n\n   n estimativa_pontual limite_inferior limite_superior amplitude\n1 50              32.16          30.281          34.039     3.758\n\n\nPortanto, um intervalo de 95% de confiança para a média populacional das idades das gestantes e puérperas hospitalizadas e falecidas em decorrência da COVID-19 no período em estudo é de (28,401; 32,159). Intervalos de confiança podem, inclusive, ser utilizados como substitutos para testes de hipóteses, dos quais falaremos no próximo capítulo. Caso quiséssemos, por exemplo, testar a hipótese de que o valor de \\(\\mu\\) é igual a 27, rejeitaríamos a hipótese nula sob um nível de significância de 0,05, uma vez que 27 não está contido no intervalo de 95% de confiança para \\(\\mu\\) obtido acima.\n\n\n\n6.4.2 Intervalos de confiança para a média amostral quando a variância populacional é desconhecida\nConsidere, assim como no exemplo anterior, que \\(X_1, X_2, ..., X_n\\) formam uma amostra aleatória da população de idades de gestantes e puérperas hospitalizadas e falecidas em decorrência da COVID-19 no período de março de 2020 a dezembro de 2021, sendo \\(X_i\\) a variável aleatória que representa a idade da \\(i\\)-ésima gestante ou puérpera sorteada, com \\(i = 1, 2, ..., n\\). Suponha que queiramos, novamente, estimar o valor de \\(\\mu\\), mas que agora o valor da variância populacional \\(\\sigma^2\\) é desconhecido. Ainda com a restrição de que o tamanho da amostra deve ser suficientemente grande para que possamos aplicar o Teorema Central do Limite, sabemos, como visto anteriormente, que\n\\[\nZ  = \\frac{\\sqrt{n}\\left(\\bar{X} - \\mu\\right)}{\\sigma} \\sim N(0, 1).\n\\]\nLembre-se, entretanto, que estamos no caso em que \\(\\sigma^2\\) é desconhecido, e por isso não podemos utilizar a variável acima para construirmos o intervalo de confiança, uma vez que o intervalo encontrado seria função de \\(\\sigma\\). Dessa forma, é intuitivo que em algum momento utilizemos um estimador da variância populacional na expressão do intervalo. Por sorte, existe um conhecido resultado dentro da Estatística que fornecerá uma função que nos seja conveniente. Definindo, primeiramente, o estimador da variância amostral, denotado por \\(S^2\\), como sendo\n\\[\nS^2 = \\frac{\\sum_{i = 1}^n (X_i - \\bar{X})}{n - 1},\n\\] sabemos ser válido que\n\\[\nT = \\frac{\\sqrt{n} \\left(\\bar{X} - \\mu \\right)}{S} \\sim t_{n - 1},\n\\] onde \\(S\\) é a raiz quadrada de \\(S^2\\) e \\(t_{n - 1}\\) representa a distribuição de probabilidade T de Student com \\(n - 1\\) graus de liberdade. A demonstração desse resultado pode ser consultada no post do Observatório que referenciamos no início da seção. A partir daqui, o processo para obtermos a expressão do intervalo de confiança será muito semelhante ao que realizamos no exemplo anterior. Como a distribuição da variável aleatória \\(T\\) é totalmente conhecida, uma vez que, em uma situação prática, o valor do tamanho da amostra \\(n\\) estaria definido, podemos encontrar valores \\(t_{1_{(n-1)}}\\) e \\(t_{2_{(n-1)}}\\), com \\(t_{1_{(n-1)}} &lt; t_{2_{(n-1)}}\\), tais que\n\\[\nP\\left(t_{1_{(n-1)}} &lt; T &lt; t_{2_{(n-1)}} \\right) = 1 - \\alpha. \\qquad \\qquad \\text{(II)}\n\\]\nComo a distribuição T de Student, assim como a distribuição normal padrão, é simétrica em torno de zero, os valores de \\(t_1\\) e \\(t_2\\) que geram a menor amplitude possível para o intervalo de confiança serão dados por\n\\[\nt_{1_{(n-1)}} = -t_{(n - 1;\\;1 -\\alpha/2)} \\text{ e } t_{2_{(n-1)}} = t_{(n - 1;\\;1 -\\alpha/2)}.\n\\]\nEm outras palavras, para encontrarmos os valores desses pontos, basta que calculemos o quantil de ordem \\(1 - \\alpha/2\\) da distribuição T de Student com \\(n - 1\\) graus de liberdade. Voltando à probabilidade definida em \\(\\text{(II)}\\), a atualizando com os resultados obtidos e reescrevendo \\(T\\), temos:\n\\[\nP\\left(t_{1_{(n-1)}} &lt; T &lt; t_{2_{(n-1)}} \\right) = P\\left(-t_{(n - 1;\\;1 -\\alpha/2)} &lt; \\frac{\\sqrt{n}\\left(\\bar{X} - \\mu\\right)}{S} &lt; -t_{(n - 1;\\;1 -\\alpha/2)} \\right) = 1 - \\alpha.\n\\]\nComo queremos obter um intervalo de confiança para \\(\\mu\\), precisamos isolá-lo na expressão acima, a saber:\n\\[\n\\begin{align}\n& P\\left(-t_{(n - 1;\\;1 -\\alpha/2)} &lt; \\frac{\\sqrt{n}\\left(\\bar{X} - \\mu\\right)}{S} &lt; t_{(n - 1;\\;1 -\\alpha/2)} \\right) \\\\ &\n= P\\left(-t_{(n - 1;\\;1 -\\alpha/2)} S &lt; \\sqrt{n}\\left(\\bar{X} - \\mu\\right) &lt; t_{(n - 1;\\;1 -\\alpha/2)} S\\right) \\\\ & =\nP\\left(-t_{(n - 1;\\;1 -\\alpha/2)} \\frac{S}{\\sqrt{n}} &lt; \\bar{X} - \\mu &lt; t_{(n - 1;\\;1 -\\alpha/2)} \\frac{S}{\\sqrt{n}} \\right) \\\\ & =\nP\\left(-\\bar{X} + -t_{(n - 1;\\;1 -\\alpha/2)} \\frac{S}{\\sqrt{n}} &lt; - \\mu &lt; -\\bar{X} + t_{(n - 1;\\;1 -\\alpha/2)} \\frac{S}{\\sqrt{n}} \\right) \\\\ &\n= P\\left(\\bar{X} - t_{(n - 1;\\;1 -\\alpha/2)} \\frac{S}{\\sqrt{n}} &lt; \\mu &lt; \\bar{X} - -t_{(n - 1;\\;1 -\\alpha/2)} \\frac{S}{\\sqrt{n}} \\right) = 1 - \\alpha\n\\end{align}\n\\]\nPortanto, quando a variância populacional é desconhecida, um intervalo de confiança para \\(\\mu\\), com coeficiente de confiança de \\(1 - \\alpha\\), é dado por\n\\[\nIC(\\mu,\\ 1 - \\alpha) = \\left(\\bar{X} - t_{(n-1;\\;1 - \\alpha/2)} \\frac{S}{\\sqrt{n}}; \\bar{X} + t_{(n-1;\\;1 - \\alpha/2)} \\frac{S}{\\sqrt{n}} \\right).\n\\]\nAlgo interessante a se observar é que, tanto o intervalo aleatório acima, quanto o intervalo aleatório encontrado no exemplo anterior, possuem probabilidade 1 - \\(\\alpha\\) de conterem o verdadeiro valor do parâmetro \\(\\mu\\), mesmo que suas estruturas sejam diferentes. Entretanto, como na construção do intervalo apresentado no presente exemplo foi utilizado um estimador de \\(\\sigma\\), a amplitude média dos intervalos de confiança obtidos por esse método será maior do que a amplitude média dos intervalos obtidos quando utilizamos o método apresentado no exemplo anterior. Com isso, dizemos que o intervalo de confiança acima é menos informativo, uma vez que o intervalo de valores plausíveis para \\(\\mu\\), nesse caso, será maior que o do intervalo de confiança construído anteriormente. Esse problema é mais evidente para tamanhos pequenos de amostra, e torna-se menos relevante conforme o valor de \\(n\\) aumenta.\n\n6.4.2.1 Um exemplo numérico\nPara demonstrar a diferença entre o intervalo de confiança derivado acima e aquele derivado no exemplo anterior, podemos aproveitar o mesmo exemplo sobre a média das idades das gestantes e puérperas previamente discutido. Novamente, criaremos uma função, a qual chamaremos de ic_media_caso2(), que retornará o intervalo de confiança para a média populacional quando a variância populacional é desconhecida e \\(\\bar{X}\\) segue distribuição normal (ou aproximadamente normal). A função se dará de forma similar àquela criada anteriormente, sendo as únicas diferenças o cálculo do desvio padrão amostral, feito com a função sd(), do pacote básico {stats} e a obtenção do quantil da distribuição T de Student através da função qt(), do mesmo pacote. O resultado do processo pode ser visto abaixo. Lembre-se que o vetor amostra_ic_media foi criado no exemplo anterior.\n\nic_media_caso2 &lt;- function(dados, alfa) {\n  media &lt;- mean(dados)\n  n &lt;- length(dados)\n  S &lt;- round(sd(dados), 3)\n  t &lt;- qt(1 - alfa/2, n - 1)\n  limite_inferior &lt;- round(media - t * S/sqrt(n), 3)\n  limite_superior &lt;- round(media + t * S/sqrt(n), 3)\n  amplitude &lt;- limite_superior - limite_inferior\n  return(\n    data.frame(\n      n,\n      S, \n      estimativa_pontual = media,\n      limite_inferior,\n      limite_superior,\n      amplitude)\n  )\n}\n\nic_media_caso2(dados = amostra_ic_media, alfa = 0.05)\n\n   n     S estimativa_pontual limite_inferior limite_superior amplitude\n1 50 6.634              32.16          30.275          34.045      3.77\n\n\nComo podemos perceber, o intervalo de confiança obtido acima apresenta uma amplitude levemente maior do que o intervalo obtido anteriormente (3,77 contra 3,758). Dessa forma, apesar de a diferença não ser gritante, podemos perceber que a utilização de uma estimativa para o valor da variância populacional acarretou, como já explicado anteriormente, em um intervalo levemente menos informativo a respeito do verdadeiro valor da média populacional. Essa diferença na amplitude, entretanto, não é regra: poderíamos ter coletado uma amostra em que a amplitude do intervalo de confiança construído pelo presente método fosse menor. Além disso, como o tamanho da amostra é grande o suficiente, a diferença nas amplitudes dos dois intervalos passa a ser praticamente desconsiderável. Com isso, aqui encerramos a construção de intervalos de confiança para a média de uma população. Partamos, agora, para a última seção desse capítulo, na qual trataremos da obtenção de intervalos de confiança para a proporção populacional.\n\n\n\n6.4.3 Intervalos de confiança para a proporção populacional\nA fazer"
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+    "section": "7.1 Grupos não-pareados",
+    "text": "7.1 Grupos não-pareados\nPara grupos não-pareados ou independentes, dentre os testes mais conhecidos e utilizados temos os testes de Mann-Whitney e Kolmogorov-Smirnov para dois grupos, e o de Kruskal-Wallis para três ou mais grupos.\n\n7.1.1 Teste de Mann-Whitney\nO teste de Mann-Whitney é um teste estatístico não paramétrico usado para comparar dois grupos independentes, sendo o grau de medida pelo menos ordinal para variável de interesse e nominal para variável independente. Além disso, o teste é geralmente usado quando a variável resposta ou de interesse não é normalmente distribuída, sendo assim, uma alternativa não-paramétrica ao teste t para amostras independentes.\nQuando o resultado do teste for significativo, significa que ambos os grupos representam populações com distribuições diferentes. Caso a suposição de que ambas as distribuições são iguais seja feita, então podemos interpretar o teste como uma comparação de medianas, que ao ser significativo dizemos que as medianas são significativamente diferentes. Assim, considerando dois grupos independentes, as hipóteses podem ser definidas como:\n\\(H_0:\\) distribuição\\(_1=\\) distribuição\\(_2\\)\n\\(H_{\\mathrm{a}}:\\) distribuição\\(_1 \\neq\\) distribuição\\({ }_2\\)\nSuponha que queremos comparar as idades (anos) de gestantes hospitalizadas com Covid-19 de dois hospitais diferentes. Considere as idades coletadas nos seguintes grupos:\nHospital A: \\(\\quad 46,48,34,36,22,44,50\\)\nHospital B: \\(\\quad 25,21,39,14,37\\)\nConfirmado que o teste de Mann-Whitney é apropriado, o primeiro passo que devemos tomar, é ordenar os valores de ambos os grupos de forma crescente em um único grupo, e então, identificar o posto de cada valor desse grupo. Para o exemplo abordado, teremos o seguinte:\n\\[\\begin{array}{llllllllllll}\n\\hline \\text { Idades } & 14 & 21 & \\color{red}{22} & 25 & \\color{red}{34} & \\color{red}{36} & 37 & 39 & \\color{red}{44} & \\color{red}{46} & \\color{red}{48} & \\color{red}{50}\\\\\n\\hline \\text { Posto } & 1 & 2 & \\color{red}{3} & 4 & \\color{red}{5} & \\color{red}{6} & 7 & 8 & \\color{red}{9} & \\color{red}{10} & \\color{red}{11} & \\color{red}{12}\\\\\n\\hline\n\\end{array}\\]\nOnde está destacado em vermelho as idades das gestantes hospitalizadas no Hospital A e seus respectivos postos. Além disso, destacado em preto essa mesma informação para as gestantes hospitalizadas no Hospital B.\n\n7.1.1.1 Estatística \\(U\\)\nO teste de Mann-Whitney também é chamado de teste \\(U\\) de Mann-Whitney, pois calculamos o que chamamos de estatística \\(U\\), a qual é uma quantidade baseada na soma dos postos identificados de cada grupo calculada para fazer a avaliação das hipóteses.\nAgora, considere \\(n_1\\) e \\(n_2\\) como o número de observações do grupo 1 e grupo 2 respectivamente, em que, o grupo 1 será aquele com o menor número de observações (caso ambos os grupos tenham a mesma quantidade de observações, então \\(n_1 = n_2\\)). Além disso, considere \\(R_1\\) e \\(R_2\\) como a soma dos postos identificados nos grupos 1 e 2 respectivamente, e \\(N = n_1 + n_2\\) como o total de observações considerando ambos os grupos.\nDefinido os termos necessários e considerando o exemplo apresentado, calculamos as seguintes quantidades:\n\\(U_1=n_1n_2+\\displaystyle \\frac{n_1\\left(n_1+1\\right)}{2}-R_1=5\\cdot7+\\displaystyle \\frac{5 \\cdot\\left(5+1\\right)}{2}-22 = 28\\),\n\\(U_2=n_1 n_2+\\displaystyle \\frac{n_2\\left(n_2+1\\right)}{2}-R_2=5 \\cdot 7+\\displaystyle \\frac{7 \\cdot\\left(7+1\\right)}{2}-56 = 7\\).\nTendo calculado \\(U_1\\) e \\(U_2\\) a estatística \\(U\\) será o menor valor entre ambas, neste caso, \\(U = U_2\\). Podemos confirmar se todo procedimento foi feito corretamente ao verificar a relação \\(n_1n_2 = U_1 + U_2\\), a qual será \\(5\\cdot 7 = 28 + 7 = 35\\) no exemplo considerado.\n\n\n7.1.1.2 Avaliação das hipóteses\nPara avaliar as hipóteses precisamos calcular a quantidade \\(U_c\\), o qual é o valor crítico de \\(U\\) necessário para decidir em relação às hipóteses. Este valor pode ser encontrado em tabelas de valores críticos da estatística U bilateral (ou unilateral a depender das hipóteses), ou podemos utilizar a função qwilcox() do R e subtrair o resultado por 1, para obtê-lo no caso bilateral. Para o exemplo dos hospitais temos \\(n_1 = 5\\) e \\(n_2 = 7\\), considerando nível de 5% de significância, podemos utilizar a função qwilcox() para encontrar \\(U_c\\) da seguinte forma:\n\nqwilcox(0.05/2,5,7) - 1\n\n[1] 5\n\n\nOnde \\(0.05/2\\) é o nível de significância dividido por dois devido ao teste ser bilateral, e subtraímos por \\(1\\) como uma correção matemática por \\(U\\) ser discreto e qwilcox() calcular quantis, e não valores críticos de \\(U\\). Assim, \\(U_c = 5\\) no exemplo considerado.\nAssim, rejeitamos a hipótese nula quando o valor da estatística \\(U\\) calculada for menor ou igual ao valor crítico de \\(U\\), ou seja, quando \\(U \\leq U_c\\). Com os valores calculados de \\(U = 7\\) e \\(U_c = 5\\), podemos concluir ao nível de 5% de significância que não há diferença significativa entre as distribuições das idades das gestantes hospitalizadas em ambos hospitais.\n\n\n7.1.1.3 Empates\nDependendo do problema, pode existir valores repetidos observados, e ao ordená-los para identificar os postos, esses valores são considerados empates.\n\\[\\begin{array}{llllllllllll}\n\\hline \\text { Idades } & 14 & 21 & \\color{red}{25} & \\color{red}{25} & \\color{red}{34} & \\color{red}{36} & 37 & 39 & \\color{red}{44} & \\color{red}{46} & \\color{red}{48} & \\color{red}{50}\\\\\n\\hline \\text { Posto } & 1 & 2 & \\color{red}{3,5} & \\color{red}{3,5} & \\color{red}{5} & \\color{red}{6} & 7 & 8 & \\color{red}{9} & \\color{red}{10} & \\color{red}{11} & \\color{red}{12}\\\\\n\\hline\n\\end{array}\\]\nObserve nesse exemplo que há um empate para idade de 25 anos. Nesse caso, ao ordenar os valores teríamos os postos 3 e 4 para esses valores repetidos, mas devemos atribuir a média desses postos para dar continuidade ao teste. Assim, temos \\(\\displaystyle \\frac{3 + 4}{2}= 3,5\\).\n\n\n7.1.1.4 Estatística \\(U\\) normalizada\nÉ tido como um consenso a utilização dos procedimentos apresentados até então sobre o teste Mann-Whitney no cenário em que \\(n_1\\) e \\(n_2\\) são menores ou iguais que 20. Por outro lado, no cenário em que \\(n_1\\) e \\(n_2\\) são grandes (\\(&gt;20\\)), podemos aproximar a distribuição de \\(U\\) para uma normal. Assim, calculamos a estatística \\(Z_u\\) para avaliar as hipóteses da seguinte forma:\n\\[Z_u = \\displaystyle \\frac{U-\\displaystyle\\frac{n_1  n_2}{2}}{\\sqrt{\\displaystyle\\frac{n_1 n_2\\left(n_1+n_2+1\\right)}{12}}}.\\]\nEsse procedimento nada mais é do que subtrair a média de \\(U\\) e dividir pelo seu desvio padrão.\nAssim, para avaliar as hipóteses, é necessário obter o valor crítico de \\(Z_u\\), o qual pode ser obtido a partir de tabelas de valores críticos da distribuição normal padrão, ou podemos recorrer à função qnorm() no R com os seguintes argumentos: qnorm(0.05/2, lower.tail = FALSE) para teste bilateral e nível de 5% de significância; qnorm(0.05, lower.tail = FALSE) para teste unilateral e nível de 5% de significância. Os valores críticos de \\(Z_u\\) para o teste bilateral e unilateral ao nível de 5% de significância são 1,96 e 1,65 respectivamente. Assim, rejeitamos a hipótese nula quando \\(|Z_u|\\geq1,96\\) e \\(|Z_u|\\geq1,65\\) no teste bilateral e unilateral respectivamente.\nCaso haver empates, a aproximação deve ser feita da seguinte forma:\n\\[Z_u = \\displaystyle \\frac{U-\\displaystyle\\frac{n_1  n_2}{2}}{\\sqrt{\\displaystyle\\frac{n_1n_2\\left(n_1+n_2+1\\right)}{12}- \\displaystyle\\frac{n_1n_2\\left[\\sum_{i=1}^s\\left(t_i^3-t_i\\right)\\right]}{12  \\left(n_1+n_2\\right) \\left(n_1+n_2-1\\right)}}},\\]\nOnde, na quantidade \\(\\sum_{i=1}^s\\left(t_i^3-t_i\\right)\\) o \\(s\\) indica quantos grupos de empates ocorreram, ex: idade 25 se repete duas vezes e idade 45 se repete cinco vezes, totalizando 2 grupos de empates ou de repetições. Além disso, o termo \\(t\\) é o número total de empates no grupo de repetições \\(i\\). Assim, para as repetições hipotéticas da idade 25 e 45 teremos:\n\\[\\sum_{i=1}^2\\left(t_i^3-t_i\\right) = (2^3 - 2) + (5^3 - 5) = 126.\\]\nDessa forma, podemos calcular \\(Z_u\\) e então avaliar as hipóteses da mesma forma que avaliamos no cenário sem empates.\n\n\n7.1.1.5 Como aplicar o teste no R\nNa prática, tendo os dados em um formato de planilha, podemos carregá-los no software R e então aplicar o teste recorrendo a uma função específica, a qual irá efetuar os procedimentos formalmente explicados ao longo do texto e retornar um valor-p, o qual podemos utilizar para avaliar as hipóteses, onde, rejeitamos a hipótese nula caso valor-p \\(\\leq 0,05\\), sendo 5% de nível de significância escolhido. Podemos usar a seguinte estrutura:\n\nstats::wilcox.test(x, y, correct = FALSE,  alternative = \"two.sided\")\n\nOs argumentos x e y são os vetores dos valores dos grupos a serem comparados. O argumento correct indica se o usuário quer que seja feito uma correção de continuidade do valor-p no caso de aproximação normal da estatística \\(U\\), o que geralmente não é feito, a menos que a estatística \\(Z_u\\) esteja muito próxima do valor crítico utilizado. E por fim, o argumento alternative permite escolher o formato do teste de hipóteses desejado.\n\n\n\n7.1.2 Teste de Kolmogorov-Smirnov\nAssim como o teste de Mann-Whitney, o teste de Kolmogorov-Smirnov é uma alternativa não paramétrica ao teste t para grupos independentes quando há a suspeita de não normalidade da variável de interesse. O teste possui grau de medida pelo menos ordinal, e é sensível a qualquer diferença de tendência central, dispersão, simetria ou curtose das distribuições.\nVisa verificar se ambos os grupos originaram-se de populações com a mesma distribuição. Para isso, é calculado a estatística de teste \\(D\\) a partir das distribuições de frequências acumuladas dos grupos, e então, utiliza-se essa estatística \\(D\\) para avaliar as hipóteses. Quanto maior a estatística, maior será a evidência para rejeitar a hipótese nula.\nRetornando ao exemplo das idades de gestantes hospitalizadas com Covid-19 em dois diferentes hospitais, as hipóteses para o teste bilateral terão a seguinte forma:\n\\(H_0:\\) distribuição\\(_1=\\) distribuição\\(_2\\)\n\\(H_{\\mathrm{a}}:\\) distribuição\\(_1 \\neq\\) distribuição\\({ }_2\\)\nSão hipóteses com formas idênticas as do teste de Mann-Whitney. Porém, embora tenham o mesmo objetivo de comparar as distribuições para ambos os grupos, o método difere consideravelmente. Além disso, o teste de Mann-Whitney é sensível em relação à mediana, enquanto o teste de Kolmogorov-Smirnov é sensível em relação aos aspectos gerais das distribuições sendo testadas como foi discutido anteriormente.\nEmbora seja o mesmo exemplo, serão considerados valores diferentes por motivos didáticos:\nHospital A: \\(\\quad 22,22,25,27,29\\)\nHospital B: \\(\\quad 27,31,34,37,44\\)\nConsiderando as notações introduzidas no desenvolvimento do teste de Mann-Whitney, os tamanhos dos grupos são \\(n_1 = 5\\) e \\(n_2 = 5\\). Vale lembrar que, usualmente, denotamos \\(n_1\\) como sendo o tamanho do menor grupo, chamado de grupo 1. Como neste exemplo ambos possuem o mesmo tamanho, o grupo 1 sera composto dos valores das idades referentes as gestantes hospitalizadas no Hospital A.\n\n7.1.2.1 Estatística \\(D\\)\nPrecisamos calcular a estatística \\(D\\) para avaliar as hipóteses. Essa estatística nada mais é do que o maior valor que encontrarmos ao realizar a diferença entre as proporções de frequências relativas acumuladas dos dois grupos. Para isso, construímos a seguinte tabela:\n\\[\\begin{array}{ccccc}\n\\hline\n\\text{Idades}_1 & S_1 & \\text{Idades}_2 & S_2 & S_1-S_2 \\\\\n\\hline 22;22 & 2 / 5=0,40 & - & 0 & 0,40-0=0,40 \\\\\n25 & 3 / 5=0,60 & - & 0 & 0,60-0=0,60 \\\\\n27 & 4 / 5=0,80 & 27 & 1 / 5=0,20 & 0,80-0,20=0,60 \\\\\n29 & 5 / 5=1,00 & - & 1 / 5=0,20 & 1,00-0,20=\\color{red}{0,80} \\\\\n- & 5 / 5=1,00 & 31 & 2 / 5=0,40 & 1,00-0,40=0,60 \\\\\n- & 5 / 5=1,00 & 34 & 3 / 5=0,60 & 1,00-0,60=0,40 \\\\\n- & 5 / 5=1,00 & 37 & 4 / 5=0,80 & 1,00-0,80=0,20 \\\\\n- & 5 / 5=1,00 & 44 & 5 / 5=1.00 & 1,00-1,00=0,00 \\\\\n\\hline\n\\end{array}\\]\nAs colunas Idades1 e Idades2 são referentes aos valores do grupo 1 (usualmente o menor grupo, o que não é o caso, pois \\(n_1 = n_2\\)) e grupo 2 respectivamente. Porém, note que existe um valor repetido (Idades1 \\(= 22\\)) na primeira coluna, quando isso ocorre todas as repetições desse mesmo valor permanecem na mesma linha. Além disso, observe que na primeira linha e coluna Idades2 foi atribuído um símbolo de \\(-\\), isso ocorre, pois não há um valor de Idades2 \\(= 22\\) assim como na coluna Idades1. O mesmo ocorre na quinta linha e coluna Idades1, pois nessa coluna não há um valor de Idades1 \\(= 31\\) assim como ocorre na coluna Idades2, por exemplo. Para mais, a tabela é construída com os valores de ambos os grupos ordenados de forma crescente no decorrer das linhas.\nAs colunas \\(S_1\\) e \\(S_2\\) são referentes as proporções das frequências relativas acumuladas das colunas Idades1 e Idades2 respectivamente. Note que, na primeira linha e coluna Idades1 da tabela, temos uma frequência relativa de \\(\\displaystyle \\frac{2}{5}\\) para Idades1 \\(= 22\\) devido a esse valor repetir uma vez. Na segunda linha temos uma frequência relativa de \\(\\displaystyle \\frac{1}{5}\\) para Idades1 \\(= 25\\), pois esse valor aparece uma única vez, que ao acumular com a frequência da linha anterior obtemos \\(\\displaystyle \\frac{2}{5} + \\displaystyle \\frac{1}{5} = \\displaystyle \\frac{3}{5}\\). Na terceira e quarta linha da tabela os valores da coluna Idades1 também não se repetem, o que faz com que tenham uma frequência relativa de \\(\\displaystyle \\frac{1}{5}\\) que ao acumular com as frequências anteriores resultam em \\(\\displaystyle \\frac{4}{5}\\) e \\(\\displaystyle \\frac{5}{5}\\). Após a quarta linha não há mais valores para a coluna Idades1, portanto, a proporção das frequências relativas se mantêm em \\(\\displaystyle \\frac{5}{5} = 1\\). Além disso, na primeira e segunda linha as frequências relativas referentes a coluna Idades2 são zeradas, pois não há valores para essa coluna nessas linhas, e por serem as primeiras linhas não há nenhuma frequência a ser acumulada. Isso muda a partir da terceira linha, onde a mesma lógica utilizada para construir as frequências relativas \\(S_1\\) pode ser usada na construção de \\(S_2\\).\nPor fim, basta calcular os valores de \\(S_1 - S_2\\) para todas as linhas da tabela. A estatística \\(D\\) será o maior dentre esses valores, sendo \\(D = 0,80\\) no exemplo abordado.\n\n\n7.1.2.2 Avaliação das hipóteses\nPara avaliar as hipóteses precisamos obter o valor crítico \\(D_c\\), o qual é um valor tabelado que pode ser verificado em Sheskin (2003) fazendo uso apenas das quantidades \\(n_1\\), \\(n_2\\) e o nível de significância escolhido. Para \\(n_1 = 5\\), \\(n_2 = 5\\) e o nível de significância de 5%, temos que \\(D_c = 0,80\\). Assim, em um teste de hipóteses bilateral rejeitamos a hipótese nula quando o valor absoluto da estatística \\(D\\) for maior ou igual que o valor crítico, ou seja, quando \\(|D| \\geq D_c\\). No exemplo, como \\(D = 0,80\\) e \\(D_c = 0,80\\), poderíamos concluir que há evidências de que ambos os grupos se originaram de populações com distribuições diferentes.\nEmbora não seja muito comum, testes de hipóteses unilaterais podem ser empregados:\n\nCaso a hipótese alternativa seja \\(H_{\\mathrm{a}}:\\) distribuição\\(_1 &gt;\\) distribuição\\({ }_2\\), então rejeita-se a hipótese nula quando \\(|D| \\geq D_c\\), onde \\(D_c\\) é o valor crítico tabelado para o teste de Kolmogorov-Smirnov unilateral, que para o exemplo temos \\(D_c = 0,60\\) ao nível de 5% de significância. Além disso, para os dados serem consistentes com o teste, a proporção da frequência acumulada referente ao grupo 1 deve ser maior que a do grupo 2 no ponto em que a estatística de teste \\(D\\) foi identificada, ou seja, precisamos ter \\(S_1 &gt; S_2\\) na quarta linha da tabela do exemplo considerado para este teste unilateral ser utilizado. Assim, esse formato de hipótese é aplicável ao problema dado que as condições são satisfeitas, e poderíamos chegar nas mesmas conclusões que no teste bilateral.\nCaso a hipótese alternativa seja \\(H_{\\mathrm{a}}:\\) distribuição\\(_1 &lt;\\) distribuição\\({ }_2\\), o procedimento de avaliação da hipótese é o mesmo dos casos anteriores. Porém, para ser utilizado temos que respeitar a condição \\(S_1 &lt; S_2\\) na linha da tabela referente a estatística \\(D\\), o que não ocorre no exemplo considerado, o que faz com que esse formato de hipótese seja inapropriado.\n\n\n\n7.1.2.3 Como aplicar o teste no R\nÉ fácil notar que com valores grandes de \\(n_1\\) e \\(n_2\\) a construção da tabela para encontrar a estatística \\(D\\) se torna trabalhosa sem o auxílio computacional. Agora que a ideia de como o teste é construído foi formalmente explicada, podemos verificar como utilizá-lo no software R através de uma função específica. Segue abaixo a estrutura para efetuar o teste de Kolmogorov-Smirnov no R:\n\nstats::ks.test(x, y, alternative = \"two.sided\")\n\nOs argumentos x e y são os vetores dos valores dos grupos a serem comparados, enquanto o argumento alternative permite escolher o formato do teste de hipóteses desejado. Ao executar a função, ela irá retornar a estatística de teste e o valor-p, os quais podemos utilizar para avaliar as hipóteses, onde, rejeitamos a hipótese nula caso valor-p \\(\\leq 0,05\\), sendo 5% de nível de significância escolhido.\nAlém disso, podemos utilizar a mesma função para efetuar o teste de Kolmogorov-Smirnov para um grupo. A lógica de construção do teste para um grupo é similar a construção do teste para dois, a principal diferença é de que em vez de comparar as distribuições para dois grupos, estaremos comparando a distribuição de um único grupo com uma distribuição hipotética ou teórica. A estrutura de aplicação no R será a seguinte:\n\nstats::ks.test(x, \"pnorm\", alternative = \"two.sided\")\n\nOs argumentos x e alternative são os mesmos, a diferença é que em vez de utilizar o argumento y utilizamos o argumento \"pnorm\", o qual estamos especificando que queremos comparar a distribuição da população que deu origem ao grupo com a distribuição empírica normal.\n\n\n\n7.1.3 Teste de Kruskal-Wallis\nO teste de Kruskal-Wallis é uma extensão do teste de Mann-Whitney em que é possível contruí-lo utilizando a lógica de postos dos valores ordenados dos grupos do estudo, e comparar a distribuição desses grupos, os quais, nesse caso, podem ser mais do que dois. Além disso, é um teste sensível à mediana como o teste de Mann-Whitney, e requer que a variável de interesse seja no mínimo ordinal. Como os grupos precisam ser independentes e não é necessário assumir normalidade, o teste de Kruskal-Wallis é uma alternativa não-paramétrica a análise de variância de um fator (One-way ANOVA).\nConsidere \\(k\\) como sendo o número de grupos no estudo. Quando \\(k = 2\\), o teste de Kruskal-Wallis terá resultados equivalentes aos do teste de Mann-Whitney. Além disso, o teste verifica se as distribuições das populações das quais os grupos foram amostrados são iguais, mas caso a suposição de que a forma dessas distribuições é a mesma for feita, então, o teste pode ser interpretado com base na mediana. Assim, considerando \\(k\\) grupos independentes, as hipóteses podem ser definidas como:\n\\(H_0:\\) Todos os \\(k\\) grupos originam-se de populações com distribuições idênticas.\n\\(H_{\\mathrm{a}}:\\) Pelo menos 2 grupos originam-se de populações com distribuições diferentes.\nRetornaremos ao exemplo que considera a idade(anos) das gestantes hospitalizadas com Covid-19. Considere \\(n_1 = 5\\), \\(n_2 = 5\\) e \\(n_3 = 5\\) como a quantidade de gestantes de três hospitais diferentes dos quais foram registradas as idades para o estudo. Os grupos podem ser vistos abaixo:\nHospital A: \\(\\quad 27,24,18,18,25\\)\nHospital B: \\(\\quad 43,39,31,36,41\\)\nHospital C: \\(\\quad 25,27,29,24,24\\)\nAssim como feito na construção do teste de Mann-Whitney, deve-se considerar todas as idades registradas como se fossem de um único grupo e então ordená-las para que os postos de cada registro seja identificado. No caso de empates, o posto atribuído a cada valor repetido será a média dos postos desses valores inicialmente identificados, assim como feito para o teste de Mann-Whitney.\n\\[\\begin{array}{llllllllllll}\n\\hline \\text { Idades } & \\color{red}{18} & \\color{red}{18} & \\color{red}{24} & 24 & 24 & \\color{red}{25} & 25 & \\color{red}{27} & 27 & 29 & \\color{blue}{31} & \\color{blue}{36} & \\color{blue}{39} & \\color{blue}{41} & \\color{blue}{43}\\\\\n\\hline \\text { Posição} & \\color{red}{1} & \\color{red}{2} & \\color{red}{3} & 4 & 5 & \\color{red}{6} & 7 & \\color{red}{8} & 9 & 10 & \\color{blue}{11} & \\color{blue}{12} & \\color{blue}{13} & \\color{blue}{14} & \\color{blue}{15}\\\\\n\\hline \\text { Posto } & \\color{red}{1,5} & \\color{red}{1,5} & \\color{red}{4} & 4 & 4 & \\color{red}{6,5} & 6,5 & \\color{red}{8,5} & 8,5 & 10 & \\color{blue}{11} & \\color{blue}{12} & \\color{blue}{13} & \\color{blue}{14} & \\color{blue}{15}\\\\\n\\hline\n\\end{array}\\]\nIdentificado os postos de cada observação, é possível obter algumas quantidades de interesse para a construção do teste. Considere \\(R_1 = 22\\), \\(R_2 = 65\\) e \\(R_3 = 33\\) como sendo a soma dos postos do grupo 1 (verde), grupo 2 (vermelho) e grupo 3 (preto) respectivamente. Além disso, considere \\(N = n_1 + n_2 + n_3\\) como o total de observações registradas, que para o exemplo abordado é de \\(N = 15\\).\n\n7.1.3.1 Estatística \\(H\\)\nPara avaliar as hipóteses é necessário calcular a estatística de teste \\(H\\), a qual é obtida a partir de uma aproximação pela distribuição qui-quadrado e possui a seguinte forma:\n\\[H=\\displaystyle \\frac{12}{N(N+1)} \\sum_{j=1}^k\\left[\\displaystyle \\frac{\\left(R_j\\right)^2}{n_j}\\right]-3(N+1).\\]\nNote que a quantidade \\(\\sum_{j=1}^k\\left[\\displaystyle \\frac{\\left(R_j\\right)^2}{n_j}\\right]\\) indica, para cada grupo, a soma da razão entre o quadrado da soma dos postos e o número de observações, ou seja:\n\\[\\sum_{j=1}^k\\left[\\displaystyle \\frac{\\left(R_j\\right)^2}{n_j}\\right] = \\displaystyle \\frac{\\left(R_1\\right)^2}{n_1} + \\displaystyle \\frac{\\left(R_2\\right)^2}{n_2} + \\displaystyle \\frac{\\left(R_3\\right)^2}{n_3} = \\displaystyle \\frac{\\left(22\\right)^2}{5} + \\displaystyle \\frac{\\left(65\\right)^2}{5} + \\displaystyle \\frac{\\left(33\\right)^2}{5} = 1159,6.\\]\nAssim, sabendo que \\(N = 15\\) e \\(\\sum_{j=1}^k\\left[\\displaystyle \\frac{\\left(R_j\\right)^2}{n_j}\\right] = 1159,6\\) obtemos a estatística \\(H = 9,98\\).\n\n\n7.1.3.2 Avaliação das hipóteses\nTendo calculado a estatística \\(H\\), basta obtermos o valor crítico \\(H_c\\) para avaliar as hipóteses. O valor crítico \\(H_c\\) pode ser obtido a partir da distribuição qui-quadrado com \\(df = K-1\\) graus de liberdade quando há pelo menos cinco observações em cada grupo. Os valores críticos de uma qui-quadrado são quantidades tabeladas, assim, podemos acessá-los diretamente de uma tabela de pontos críticos dessa distribuição, ou, a partir da função qchisq() no r, sendo necessário especificar o grau de liberdade df e o nível de significância p com a estrutura qchisq(p = 0.05, df = 2, lower.tail = FALSE), considerando o exemplo abordado. Quando existem menos que cinco observações nos grupos, o valor de \\(H_c\\) pode ser obtido a partir de tabelas de valores exatos. Esses valores tabelados podem ser verificados em Sheskin (2003) ou pelo endereço www.dataanalytics.org.uk/critical-values.\nConsiderando o nível de 5% de significância e grau de liberdade \\(df = 2\\), o valor crítico para o exemplo é de \\(H_c = 5,99\\). Além disso, rejeitamos a hipótese nula quando \\(H \\geq H_c\\), como o valor da estatística de teste \\(H\\) é de fato maior que o valor crítico \\(H_c\\), podemos concluir que há evidências de que pelo menos dois dos três grupos originam-se de populações com distribuições diferentes.\nCaso haja um número excessivo de empates, é recomendado utilizar uma correção para a estatística \\(H\\) que considere essas repetições. A seguinte quantidade deve ser calculada:\n\\[C=1-\\displaystyle \\frac{\\sum_{i=1}^s\\left(t_i^3-t_i\\right)}{N^3-N}.\\]\nNote que \\(\\sum_{i=1}^s\\left(t_i^3-t_i\\right)\\) é a mesma quantidade utilizada para incluir a informação de empates ao calcular a estatística \\(U\\) normalizada no teste de Mann-Whitney, em que \\(s\\) indica quantos grupos de empates ocorreram e \\(t\\) o número total de empates no grupo. No exemplo sendo considerado temos \\(s = 4\\) grupos de empates, sendo duas repetições do valor 18, três do valor 24, duas do valor 25 e duas do valor 27, ou seja, \\(t_1 = 2\\), \\(t_2 = 3\\), \\(t_3 = 2\\) e \\(t_4 = 2\\) respectivamente. Assim, para calcular \\(C\\) teremos:\n\\[\\sum_{i=1}^s\\left(t_i^3-t_i\\right) = (2^3-2) + (3^3-3) + (2^3-2) + (2^3-2) = 42.\\]\nSabendo que \\(N = 15\\), o valor do fator de correção será \\(C = 0.987\\). Para obter a estatística \\(H\\) corrigida, basta dividir pelo valor de \\(C\\), onde teremos \\(\\displaystyle \\frac{H}{C} = 10,11\\). Assim, para o exemplo abordado, as conclusões serão as mesmas feitas anteriormente ao avaliar as hipóteses com a estatística sem correção.\n\n\n7.1.3.3 Como aplicar o teste no R\nO teste pode ser facilmente aplicado no R ao utilizar a função kruskal.test(), a qual irá retornar o valor da estatística \\(H\\) aproximada pela qui-quadrado, os graus de liberdade considerados e o valor-p. Assim, rejeita-se a hipótese nula quando valor-p \\(\\leq 0,05\\) considerando 5% de nível de significância. A função possui a seguinte estrutura:\n\nstats::kruskal.test(resposta ~ grupos, data = dados)\n\nO argumento resposta ~ grupos é a fórmula de entrada da função para aplicação do teste, em que resposta é a variável de interesse e grupos é a variável independente onde os grupos são especificados, sendo grupos uma variável que precisa ser tratada como factor dentro do R (ver apêndice). No exemplo abordado, teríamos idade ~ hospitais, por exemplo. O argumento data é onde precisamos especificar o nome da base de dados utilizada que possui as variáveis sendo incluídas na fórmula.\nCaso o teste de Kruskal-Wallis seja realizado, e como resultado, a hipótese nula seja rejeitada, podemos identificar quais pares de grupos apresentam diferentes distribuições de suas populações. O teste de Dunn, uma alternativa não-paramétrica ao teste de Tukey, pode ser usado para realizar comparações múltiplas entre os grupos. Para aplicá-lo no R, podemos instalar o pacote FSA e recorrer à função dunnTest(), a qual possui a seguinte estrutura:\n\nFSA::dunnTest(resposta ~ grupos, data = dados, method = \"bonferroni\")\n\nOs argumentos resposta ~ grupos e data são os mesmos utilizados na função kruskal.test(). O argumento method é utilizado para especificar o método de controle da taxa de erro experimental, sendo o bonferroni o mais usual. A função retorna uma matriz com valores-p ajustados pelo método bonferroni organizados em uma coluna chamada P.adj para o usuário avaliar cada par de grupos, sendo cada linha equivalente a cada par sendo comparado. Caso o valor-p ajustado for menor ou igual ao nível de significância (geralmente 5%), então, as distribuições das populações dos grupos sendo comparados são significativamente diferentes."
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+    "title": "7  Testes não-paramétricos",
+    "section": "7.2 Grupos pareados",
+    "text": "7.2 Grupos pareados\nGrupos ou amostras são considerados pareados quando as observações em um grupo estão relacionadas ou emparelhadas com as observações de outro grupo. Isso significa que cada observação em um grupo é emparelhada ou relacionada com uma observação correspondente no outro grupo.\nUm exemplo comum de grupos pareados é quando o mesmo grupo de indivíduos é medido duas ou mais vezes em diferentes momentos, o que chamamos de amostras antes e depois. Outro cenário, é quando temos grupos não necessariamente com os mesmos indivíduos avaliados em diferentes momentos, mas com indivíduos diferentes em que conseguimos pareá-los de acordo com características em comum. Um exemplo de pareamento entre indivíduos de dois grupos é quando há o interesse em estudar a eficácia de um novo tratamento médico, onde cada paciente no grupo de tratamento é emparelhado com um paciente no grupo de controle com características semelhantes, formando assim, pares de observações pareadas.\nDentre os testes não-paramétricos mais conhecidos e utilizados nestes cenários, temos os testes de Wilcoxon e McNemar para dois grupos, e o de Friedman para três ou mais grupos.\n\n7.2.1 Teste de Wilcoxon\nO teste de Wilcoxon é utilizado em problemas onde a variável de interesse pode ser ordenada (medida pelo menos ordinal) e há dois grupos dependentes a serem comparados. A hipótese a ser testada é se a mediana das diferenças dos valores pareados das populações que deram origem aos grupos é zero. O teste é usualmente aplicado quando as suposições sobre o teste t para dois grupos dependentes são violadas, principalmente em relação à normalidade dos dados, pois, pelo teste de Wilcoxon ser uma alternativa não-paramétrica ao teste t para duas amostras dependentes, as suposições requeridas são mais leves.\nO teste consiste em identificar as diferenças entre os valores pareados dos grupos, identificar os postos das diferenças absolutas, e então, atribuir os sinais originais das diferenças em cada posto (sinalização dos postos). Além disso, diferenças que resultaram em zero, não são consideradas na construção do teste.\nSejam as seguintes hipóteses:\n\\(H_0:\\) A mediana das diferenças dos valores pareados é igual a zero.\n\\(H_{\\mathrm{a}}:\\) A mediana das diferenças dos valores pareados difere de zero.\nConsidere que em um determinado hospital estava sendo reportado altos níveis de ansiedade em gestantes no terceiro trimestre de gravidez. Foi medido o nível de ansiedade de 10 gestantes antes e após participarem de um programa de atividades em grupo que durou duas semanas, onde, 0 indica sem ansiedade e 10 ansiedade severa. Suponha que as 10 gestantes foram selecionadas de forma aleatória, e que as diferenças dos pares de níveis de ansiedade (antes e depois) seguem uma distribuição simétrica em torno da mediana. Considere os seguintes dados:\n\\[\\begin{array}{llllllllllll}\n\\hline \\text { Indivíduo } & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\\\\n\\hline \\text { Antes} & 8 & 9 & 8 & 7 & 6 & 4 & 6 & 6 & 7 & 3 \\\\\n\\hline \\text { Depois } & 2 & 6 & 7 & 5 & 4 & 5 & 6 & 3 & 2 & 5 \\\\\n\\hline\n\\end{array}\\]\nCada indivíduo possui um nível de ansiedade registrado antes e depois do programa de atividades em grupos. O grupo 1 é composto pelos níveis de ansiedade registrados antes das atividades, e o grupo 2 composto pelos níveis de ansiedade registrados depois das atividades.\nConsidere \\(D\\) como uma representação das diferenças. Assim, calculamos \\(D\\), o valor absoluto das diferenças \\(|D|\\), os postos de \\(|D|\\), e então, os postos de \\(|D|\\) sinalizados:\n\\[\\begin{array}{cccccc}\n\\hline \\text { Indivíduo } & \\text{Grupo} 1 & \\text{Grupo} 2 & D & |D| & \\text { Postos de }|D| & \\text { Postos sinalizados de }|D|\\\\\n\\hline\n\\mathbf{7} & 6 & 6 & 0 & - & - & -\\\\\n\\mathbf{6} & 4 & 5 & -1\\phantom{-} & 1 & 1,5 & -1,5\\phantom{-}\\\\\n\\mathbf{3} & 8 & 7 & 1 & 1 & 1,5 & 1,5\\\\\n\\mathbf{10} & 3 & 5 & -2\\phantom{-} & 2 & 4,0 & -4,0\\phantom{-}\\\\\n\\mathbf{4} & 7 & 5 & 2 & 2 & 4,0 & 4,0\\\\\n\\mathbf{5} & 6 & 4 & 2 & 2 & 4,0 & 4,0\\\\\n\\mathbf{2} & 9 & 6 & 3 & 3 & 6,5 & 6,5\\\\\n\\mathbf{8} & 6 & 3 & 3 & 3 & 6,5 & 6,5\\\\\n\\mathbf{9} & 7 & 2 & 5 & 5 & 8,0 & 8,0\\\\\n\\mathbf{1} & 8 & 2 & 6 & 6 & 9,0 & 9,0\\\\\n\\hline\n\\end{array}\\]\nNote que a tabela é construída ordenando a coluna \\(D\\) de forma crescente desconsiderando o sinal dos valores. Além disso, a primeira linha gerou um valor de \\(D = 0\\), o qual deve ser desconsiderado no teste, e então, os postos são identificados a partir da segunda linha. Para mais, note que houve empates nos valores de \\(|D|\\), para os quais os postos são identificados como a média dos postos caso não fossem empates, assim como é feito para os testes de Mann-Whitney e Kruskal-Wallis.\nO próximo passo é calcular a soma dos postos em que a sinalização de \\(|D|\\) foi negativa, o qual denotaremos de \\(R_{neg}\\). Além disso, devemos calcular a soma dos postos em que a sinalização de \\(|D|\\) foi positiva, denotada por \\(R_{pos}\\).\nPara o exemplo, temos \\(R_{neg} = 5,5\\) e \\(R_{pos} = 39,5\\). Além disso, podemos verificar a seguinte relação:\n\\[R_{neg} + R_{pos} =\\displaystyle \\frac{n(n+1)}{2}.\\]\nCaso essa relação não for verdadeira, é um indicativo de que houve erro nos cálculos. Como houve um par de valores entre os grupos cuja diferença foi zero, o número de pares considerados no teste para o exemplo abordado será de \\(n = 9\\). Dessa forma, teremos \\(\\displaystyle \\frac{n(n+1)}{2} = \\displaystyle \\frac{9(9+1)}{2} = 45\\) que corresponde ao valor de \\(R_{neg} + R_{pos} = 5,5 + 39,5 = 45.\\)\n\n7.2.1.1 Avaliação das hipóteses\nCaso os valores das diferenças originaram-se de uma população cuja mediana é zero, espera-se que os valores de \\(R_{neg}\\) e \\(R_{pos}\\) sejam equivalentes ao valor esperado da estatística de teste de Wilcoxon, a qual denotaremos de estatística \\(V\\). O valor esperado possui a seguinte forma:\n\\[\\displaystyle \\frac{n(n+1)}{4}.\\]\nAssim, para o exemplo, o valor esperado da estatística de teste \\(V\\) é de \\(\\displaystyle \\frac{9(9+1)}{4} = 22,5\\). Note que o valor esperado da estatística de teste \\(V\\) parece ser razoavelmente diferente de \\(R_{neg}\\) e \\(R_{pos}.\\)\nCaso \\(R_{pos}\\) for significativamente maior que \\(R_{neg}\\), significa haver uma alta probabilidade de que o grupo 1 originou-se de uma população com valores maiores do que os da população da qual o grupo 2 originou-se, o contrário também é verdadeiro caso \\(R_{neg}\\) for significativamente maior. Como \\(R_{pos} &gt; R_{neg}\\) no exemplo considerado, podemos interpretar a hipótese alternativa como sendo:\n\\(H_{\\mathrm{a}}:\\) A mediana das diferenças dos valores pareados é maior que zero.\nAssim, resta identificar se \\(R_{pos}\\) é de fato significativamente maior que \\(R_{neg}\\).\n\n\n7.2.1.2 Estatística \\(V\\)\nA estatística \\(V\\) de Wilcoxon nada mais é do que o menor dos valores entre \\(R_{neg}\\) e \\(R_{pos}\\). Assim, para o exemplo em questão, a estatística de teste será \\(V = R_{neg} = 5,5\\).\nPara avaliar as hipóteses precisamos obter o valor crítico de \\(V\\), denotado por \\(V_c\\). Valores críticos de \\(V\\) são quantidades tabeladas identificadas de acordo com a quantidade de postos utilizados no teste ou pares válidos, esses valores podem ser encontrados em Sheskin (2003). Assim, para \\(n = 9\\) e nível de 5% de significância, o valor crítico de \\(V\\) é de \\(V_c = 8\\) para o teste unilateral.\nRejeitamos a hipótese nula quando \\(V \\leq V_c\\). Como \\(R_{pos} &gt; R_{neg}\\), \\(V = 5,5\\) e \\(V_c = 8\\), podemos concluir, ao nível de 5% de significância, que os níveis de ansiedade registrados das gestantes antes do programa de atividades em grupo foram maiores do que após as atividades, ou seja, houve uma redução significativa nos níveis de ansiedade das gestantes em decorrência das atividades em grupo.\n\n\n7.2.1.3 Estatística \\(V\\) normalizada\nNa prática, quando \\(n &gt; 30\\) podemos normalizar a estatística de teste \\(V\\), e então, avaliar as hipóteses baseado na distribuição normal padrão. A estatística de teste \\(V\\) normalizada será denotada por \\(Z_V\\), e possui a seguinte forma:\n\\[Z_T=\\displaystyle \\frac{T-\\displaystyle\\frac{n(n+1)}{4}}{\\sqrt{\\displaystyle\\frac{n(n+1)(2 n+1)}{24}}}.\\]\nComo \\(n = 9\\), temos que o valor da estatística \\(V\\) normalizada é de \\(Z_V = -2,01\\). O valor crítico da estatística de teste normalizada é um valor tabelado o qual pode ser verificado em tabelas de valores críticos da distribuição normal padrão. Pode ser encontrada em Sheskin (2003), ou, obtido computacionalmente no R através da função qnorm(). Para o nível de 5% de significância, os valores críticos para normal padrão são muito conhecidos, sendo 1,96 e 1,65 para os testes bilaterais e unilaterais respectivamente.\nRejeita-se a hipótese nula quando \\(|Z_V|\\geq Z_{crítico}\\). Como \\(R_{pos} &gt; R_{neg}\\), \\(Z_V = -2,01\\) e \\(Z_{crítico} = 1,65\\), então, podemos concluir que há evidências para a rejeição da hipótese nula, e a mesma interpretação feita anteriormente para o teste sem normalização permanece.\n\n\n7.2.1.4 Como aplicar o teste no R\nPara aplicar o teste de Wilcoxon no R podemos utilizar a mesma função e estrutura utilizada para o teste de Mann-Whitney. Utilizamos a seguinte estrutura:\n\nstats::wilcox.test(x, y, correct = FALSE,  alternative = \"two.sided\", paired = TRUE)\n\nOs argumentos x e y são referentes aos grupos 1 e 2 respectivamente. O argumento correct indica se o usuário quer que seja feito uma correção de continuidade do valor-p no caso de aproximação normal da estatística \\(V\\). O argumento alternative especifica a forma do teste a ser aplicado (unilateral ou bilateral). E por fim, o mais importante no caso do teste de Wilcoxon, o argumento paired que indica que o teste considere grupos pareados.\nA função wilcox.test() neste caso irá retornar o valor da estatística de teste \\(V\\) e o valor-p. A hipótese nula pode ser rejeitada quando valor-p \\(\\leq 0,05\\), quando o nível de significância desejado for de 5%.\n\n\n\n7.2.2 Teste de McNemar\nO teste de McNemar é usualmente utilizado em cenários onde a variável de interesse é categórica, dicotômica (duas categorias) e os grupos são dependentes (geralmente experimentos do tipo “antes-depois” de um evento de intervenção). O objetivo do teste é verificar a existência de diferenças significativas entre os grupos em relação à variável de interesse, e sua construção é feita tendo como base tabelas de contingência 2x2.\nConsidere o exemplo abordado na construção do teste de Wilcoxon, onde, foi coletado os dados do nível de ansiedade de gestantes no terceiro trimestre gestacional, antes e depois, de um programa de atividades em grupo, sendo 0 indicando sem ansiedade e 10 indicando ansiedade severa. Porém, considere que o número de gestantes que participaram do programa foi de 100, e que o nível de ansiedade foi classificado como baixo ou alto (baixo: 0 a 5; alto: 6 a 10). Além disso, considere que as gestantes foram selecionadas de forma aleatória e que as categorias baixa e alta são mutualmente exclusivas. Os dados são apresentados na seguinte forma:\n\\[\\begin{array}{c|cc|c}\n\\hline \\text { Antes/Depois } & \\text { Baixo } & \\text { Alto } & {\\text { Soma das linhas }} \\\\\n\\hline \\text { Baixo } & \\mathrm{a = 17} & \\mathrm{b = 10} & \\mathrm{n}_1=\\mathrm{27} \\\\\n\\text { Alto } & \\mathrm{c = 59} & \\mathrm{d = 14} & \\mathrm{n}_2=\\mathrm{73} \\\\\n\\hline \\text { Soma das colunas } & \\mathrm{76} & \\mathrm{24} & \\mathrm{n} =\\mathrm{100} \\\\\n\\hline\n\\end{array}\\]\nPara a construção do teste, as caselas de interesse são aquelas onde houve mudança na avaliação, ou seja, a casela \\(c\\), em que indica que a gestante apresentava alto nível de ansiedade, e então, passou a apresentar baixo nível de ansiedade após as atividades em grupo, e a casela \\(b\\), em que indica que a gestante apresentava baixo nível de ansiedade, e passou a apresentar alto nível após as atividades em grupo. As caselas \\(a\\) e \\(d\\) não são consideradas na construção do teste, pois não houve alterações em decorrência da intervenção (programa de atividades em grupo). Assim, considerando as populações as quais os grupos (antes; depois) representam, as hipóteses terão a seguinte forma bilateral:\n\\(H_0:\\) A proporção das observações da casela \\(b\\) é igual a proporção das observações da casela \\(c\\), ou seja, \\(\\pi_b = \\pi_c\\).\n\\(H_{\\mathrm{a}}:\\) A proporção das observações da casela \\(b\\) difere da proporção das observações da casela \\(c\\), ou seja, \\(\\pi_b \\neq \\pi_c\\).\nOs valores \\(\\pi_b\\) e \\(\\pi_c\\) podem ser estimados por \\(p_b = \\displaystyle \\frac{b}{b + c}\\) e \\(p_c = \\displaystyle \\frac{c}{b + c}\\) respectivamente. Para o exemplo considerado, temos \\(p_b = 0,14\\) e \\(p_c = 0,85\\). Assim, como \\(p_c &gt; p_b\\), a hipótese unilateral \\(H_{\\mathrm{a}}: \\pi_b &lt; \\pi_c\\) é consistente com os dados e pode ser considerada.\n\n7.2.2.1 Estatística \\(M\\)\nA estatística de teste utilizada no teste de McNemar é baseada na distribuição qui-quadrado e será denotada por \\(M\\). O cálculo da estatística \\(M\\) pode ser feito da seguinte maneira:\n\\[M = \\displaystyle \\frac{(b-c)^2}{b+c}.\\]\nNote que essa estatística sempre será não-negativa, e caso o número de observações na casela \\(b\\) e \\(c\\) seja o mesmo, então, a estatística \\(M\\) será zero. Para o exemplo considerado, teremos que o valor da estatística de teste será \\(M = 34,79\\).\n\n\n7.2.2.2 Avaliação das hipóteses\nPara avaliar as hipóteses precisamos obter o valor crítico da estatística \\(M\\), que será denotado por \\(M_c\\). Valores críticos de \\(M\\) são os mesmos da distribuição qui-quadrado, os quais são valores tabelados podendo ser encontrados em Sheskin (2003), ou, podemos utilizar a função qchisq() no R para encontrá-los. A função qchisq() terá a seguinte forma:\n\nstats::qchisq(p = 0.10, df = 1, lower.tail = FALSE)\n\n[1] 2.705543\n\n\nO argumento p indica o nível de significância considerado a depender do formato das hipóteses, como estamos considerando um teste unilateral, para o teste ter o nível de significância de 5% devemos especificar \\(p = 0,10\\). Caso o teste fosse bilateral, então, teríamos \\(p = 0,05\\). O argumento df indica o grau de liberdade considerado, que será o número de caselas avaliadas menos 1, como por construção o teste avalia apenas duas caselas, especificamos \\(df = 1\\). O argumento lower.tail deve ser especificado como FALSE para o formato de p apresentado, caso esse argumento for especificado como TRUE, o valor utilizado no argumento p precisa ser indicado como seu complementar. No exemplo, caso lower.tail = TRUE, então, teríamos p = 1 - 0,10 = 0,90.\nAssim, rejeitamos a hipótese nula quando \\(M \\geq M_c\\). Como \\(M = 34,79\\) e \\(M_c = 2,71\\), então, ao nível de 5% de significância, há evidências de uma mudança significativa nos níveis de ansiedade das gestantes, onde a direção dessa mudança é de níveis altos de ansiedade para níveis baixos. É importante notar, que essa hipótese apenas é aceita, pois a relação \\(p_c &gt; p_b\\) é consistente com os dados.\nEmbora o exemplo utilizado seja de um experimento em que os grupos são formados a partir de dados obtidos das mesmas pessoas duas vezes (antes e depois da intervenção), em experimentos em que os grupos são formados de indivíduos diferentes, mas pareados por características em comum, o teste de McNemar pode ser aplicado normalmente.\n\n\n7.2.2.3 Como aplicar o teste no R\nPodemos aplicar o teste de McNemar facilmente no R ao utilizar a função mcnemar.test(), a qual irá retornar a estatística de teste, os graus de liberdades considerados e o valor-p calculado. Essa função possui a seguinte estrutura:\n\nstats::mcnemar.test(x, correct = TRUE)\n\nO argumento x é a tabela de contingência 2x2 considerada, e deve ser passada como um objeto do tipo matriz (ver apêndice). O argumento correct indica se o usuário quer que seja aplicado uma correção de continuidade na estatística de teste, o que é sempre recomendado na prática dado que o teste de McNemar utiliza uma distribuição contínua para aproximar uma distribuição de probabilidade discreta. Assim, aplicando o teste com a função mcnemar.test(), podemos rejeitar a hipótese nula quando valor-p \\(\\leq 0,05\\) considerando nível de 5% de significância, ou podemos obter o valor crítico da estatística de teste e avaliar \\(M \\geq M_c\\).\n\n\n\n7.2.3 Teste de Friedman\nO teste de Friedman é utilizado para comparar mais de dois grupos dependentes, onde, sua construção de baseia em postos. Assim, a variável de interesse precisar ser pelo menos ordinal para ser possível identificar os postos. Além disso, é usado quando os pressupostos de normalidade não são atendidos, sendo uma alternativa não-paramétrica a análise de variância de um fator (One-way ANOVA) de medidas repetidas. O teste tem por objetivo verificar se as distribuições das populações as quais os grupos representam são iguais em relação à mediana, logo, teremos a seguinte estrutura de hipóteses:\n\\(H_0:\\) Todos os \\(k\\) grupos originam-se de populações com medianas idênticas.\n\\(H_{\\mathrm{a}}:\\) Pelo menos 2 grupos originam-se de populações com medianas diferentes.\nConsidere o exemplo abordado na construção dos testes de Wilcoxon e de McNemar, onde, foi coletado os dados do nível de ansiedade de gestantes no terceiro trimestre gestacional, antes e depois, de um programa de atividades em grupo, sendo 0 indicando sem ansiedade e 10 indicando ansiedade severa. Porém, agora considere que os níveis de ansiedade foram medidos antes do início do programa e, posteriormente, após duas atividades em grupo diferentes (atividades A e B), onde, foram escolhidas baseado em estudos anteriores que indicaram que eram atividades capazes de reduzir a ansiedade. Além disso, considere que foram selecionadas de forma aleatória 5 gestantes no terceiro trimestre gestacional para participarem do experimento, e que os tempos entre as atividades foram determinados apropriadamente. Os dados e os postos foram identificados da seguinte forma:\n\\[\\begin{array}{ccccccc}\n\\hline \\text { Indivíduos } & \\text{Grupo}_1 & \\text{Postos}_1 & \\text{Grupo}_2 & \\text{Postos}_2 & \\text{Grupo}_3 & \\text{Postos}_3 \\\\\n\\hline 1 & 5 & 3 & 3 & 1 & 4 & 2 \\\\\n2 & 7 & 3 & 3 & 1 & 5 & 2 \\\\\n3 & 6 & 3 & 5 & 2 & 4 & 1 \\\\\n4 & 9 & 3 & 2 & 1 & 5 & 2 \\\\\n5 & 6 & 2,5 & 6 & 2,5 & 3 & 1 \\\\\n\\hline\n\\end{array}\\]\nA coluna Grupo1 indica os níveis de ansiedade das gestantes (identificadas na coluna Indivíduos) registrados antes das atividades, sendo os valores na coluna Postos1 seus respectivos postos. Além disso, a coluna Grupo2 indica os níveis de ansiedade registrados após a atividade A, cujos postos são identificados na coluna Postos2. Para mais, a coluna Grupo3 indica os níveis de ansiedade registrados das gestantes após a atividade B, sendo seus postos identificados na coluna Postos3. Por fim, detonamos a soma dos postos dos grupos por \\(R_1\\), \\(R_2\\) e \\(R_3\\), onde aplicamos a soma de todos os valores para cada coluna Postos1, Postos2 e Postos3. Assim, teremos \\(R_1 = 14,5\\), \\(R_2 = 7,5\\) e \\(R_3 = 8,0\\).\nNote que o procedimento de identificação dos postos é feito para cada indivíduo em específico, ou seja, é identificado os postos dos valores (níveis de ansiedade) dos grupos por linha separadamente, de forma que os postos de cada linha não interferem os postos das outras. Caso houver empates dos valores, então, a média dos postos identificados caso não fossem empates será aplicado, da mesma forma em que é feito nos demais testes não-paramétricos abordados nesta seção.\nEmbora o exemplo utilizado seja de um experimento onde os mesmos indivíduos passam por condições diferentes, e então, para cada condição é formado um novo grupo, cenários onde os grupos são formados por indivíduos diferentes, porém, pareados por características em comum, também são válidos para aplicação do teste de Friedman.\n\n7.2.3.1 Estatística \\(Q\\)\nPara avaliar as hipóteses devemos calcular a estatística de teste, a qual denotaremos de estatística \\(Q\\). A estatística \\(Q\\) é aproximada a partir da distribuição qui-quadrado da seguinte forma:\n\\[Q=\\displaystyle \\frac{12}{n k(k+1)}\\left[\\sum_{i = 1}^k\\left(R_i\\right)^2\\right]-3 n(k+1).\\]\nExperimentos do tipo “antes-depois” possuem a característica de serem geralmente avaliados os mesmos indivíduos mais de uma vez, assim, os grupos formados serão do mesmo tamanho, onde, teremos \\(n_1 = n_2 = n_3 = n\\), sendo \\(n = 5\\) no exemplo considerado. O número de grupos é denotado por \\(k\\), assim, podemos calcular a seguinte quantidade:\n\\[\\displaystyle \\sum_{i = 1}^k(R_i)^2 = (R_1)^2 + (R_2)^2 + (R_3)^2 = (14,5)^2 + (7,5)^2 + (8,0)^2 = 330,5.\\]\nCom todos os termos identificados, a estatística para o teste de Friedman será \\(Q = 6,1\\).\n\n\n7.2.3.2 Avaliação das hipóteses\nTendo calculado a estatística de teste, precisamos obter o valor crítico de \\(Q\\) para avaliar as hipóteses, o qual será denotado por \\(Q_c\\). Como a estatística \\(Q\\) é aproximada pela qui-quadrado, então, os valores críticos da distribuição qui-quadrado podem ser utilizados. Tais valores podem ser obtidos de forma tabelada, onde, tais tabelas podem ser encontradas em Sheskin (2003). Outra forma de obtê-los é através da função qchisq(), da mesma forma em que foi explicado na construção do teste de McNemar. Considerando que os graus de liberdade são \\(k - 1\\), então, ao nível de 5% de significância, teremos o seguinte valor crítico para o exemplo abordado:\n\nstats::qchisq(p = 0.05, df = 2, lower.tail = FALSE)\n\n[1] 5.991465\n\n\nRejeitamos a hipótese nula quando \\(Q \\geq Q_c\\), logo, dado que \\(Q = 6,1\\) e \\(Q_c = 5,99\\), há evidências de que pelo menos dois grupos (condições as quais o nível de ansiedade foi registrado) diferem significativamente.\n\n\n7.2.3.3 Correção de empates\nCaso houver um número excessivo de indivíduos onde ocorreu empates (muitas linhas da tabela em que tenham empates ou muitos empates em uma mesma linha), é recomendado utilizar um fator de correção para aplicar na estatística de teste, o qual, terá a seguinte forma:\n\\[C=1- \\displaystyle\\frac{\\sum_{i=1}^s\\left(t_i^3-t_i\\right)}{n\\left(k^3-k\\right)}.\\]\nNote que a quantidade \\(\\displaystyle \\sum_{i=1}^s\\left(t_i^3-t_i\\right)\\) é a mesma utilizada no fator de correção de empates para o teste de Kruskal-Wallis, onde, \\(s\\) indica quantos conjuntos de empates ocorreram e \\(t\\) o número total de empates no conjunto. Logo, para o exemplo considerado teremos:\n\\[\\displaystyle \\sum_{i=1}^s\\left(t_i^3-t_i\\right) = \\left(2^3-2\\right) = 6.\\]\nAssim, sabendo que \\(n = 5\\) e \\(k = 3\\), o valor do fator de correção será \\(C = 0,95\\). Então, a estatística de teste \\(Q\\) corrigida será \\(Q_{corrigida} = \\displaystyle \\frac{Q}{C} = 6,42\\).\nA avaliação das hipóteses é feita da mesma forma, onde, rejeitamos a hipótese nula quando \\(Q_{corrigida} \\geq Q_c\\).\n\n\n7.2.3.4 Como aplicar o teste no R\nPodemos aplicar o teste de Friedman no R utilizando a função friedman.test(), a qual, possui a seguinte estrutura:\n\nstats::friedman.test(y, groups, blocks)\n\nÉ recomendável criar um objeto do tipo data.frame (ver apêndice) com cada coluna necessária para realização do teste, sendo: uma coluna com as observações da variável de interesse para o argumento y da função; uma coluna com os grupos (variável independente) para o argumento groups; uma coluna com a identificação numérica dos indivíduos para o argumento blocks. Tendo criado o objeto, digamos, objeto dados, basta passar as colunas para os argumentos, sendo y = dados$variavel, groups = dados$grupos e blocks = dados$individuos. O teste irá retornar a estatística de teste, os graus de liberdade utilizados e o valor-p, em que rejeitamos a hipótese nula quando \\(Q \\geq Q_c\\) ou quando valor-p \\(\\leq 0,05\\) ao nível de 5% de significância.\nPodemos realizar comparações múltiplas após a confirmação da rejeição da hipótese nula, para isso, devemos utilizar métodos específicos para o teste de Friedman. Um dos métodos mais utilizados é o teste de Conover, que pode ser utilizado para comparações múltiplas tanto para o teste de Friedman quanto para o teste de Kruskal-Wallis, como também, em outros cenários. Podemos aplicar o teste de Conover no R com a função frdAllPairsConoverTest(), a qual, pertence ao pacote PMCMRplus e possui a seguinte estrutura:\n\nPMCMRplus::frdAllPairsConoverTest(y, groups, blocks, p.adjust.method = \"bonf\")\n\nNote que a estrutura é a mesma da função friedman.test(), a única diferença é o argumento p.adjust.method, o qual, indica o método de ajuste do valor-p a ser utilizado, onde, usualmente especificamos o método de Bonferroni por “bonf”. A função irá retornar uma pequena matriz de valores-p para cada comparação feita, onde, identificamos os pares de grupos que diferem de forma significativa ao nível de 5% quando valor-p \\(\\leq 0,05\\)."
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+    "text": "7.3 Materiais complementares\nLivros e Artigos:\n\nCorder, Gregory W., and Dale I. Foreman. “Nonparametric statistics for non‐statisticians.” (2011).\nPett, Marjorie A. Nonparametric statistics for health care research: Statistics for small samples and unusual distributions. Sage Publications, 2015.\nSheskin, David J. Handbook of parametric and nonparametric statistical procedures. Chapman and hall/CRC, 2003.\nTomkins, C. C., and C. Hall. “An introduction to non-parametric statistics for health scientists.” University of Alberta Health Sciences Journal 3.1 (2006): 20-26.\n\n\\(Sites\\):\n\nhttps://www.graphpad.com/guides/prism/latest/statistics/index.htm\nhttps://www.dataanalytics.org.uk/critical-values-for-the-kruskal-wallis-test/"
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