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深入理解Roofline模型.md

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一 Roofline 性能分析模型

1.1 Roofline 模型原理

Roofline 性能分析模型是一种用于衡量和分析计算性能的工具,通过将应用程序的计算性能与硬件的理论峰值性能进行对比,以揭示应用是受到计算性能的限制还是受到内存带宽的限制。Roofline 模型的有两个关键指标:操作强度 (Operational Intensity, OI, 也称算术强度 Arithmetic Intensity 和性能上限。

  1. 算作强度:每访问一个字节的内存所执行的计算量(FLOPs/Byte)。$\text{OI} = \frac{\text{总浮点操作数(FLOPs)}}{\text{总内存访问量(Bytes)}}$
  2. 性能瓶颈分析:
    • 内存受限:当算子的算术强度 < gpu 的 ops/bytes,性能受内存带宽限制。
    • 计算受限:当算子的算术强度 > gpu 的 ops/bytes,受限于处理器的计算性能(例如每秒执行的 FLOPs 数量)。

一个 Naive Roofline 模型可以表示为如下公式:

$$P_{max} = min(P_{peak}, I*b_{max})$$

$P_{max}$: 性能上限 [操作数/秒]

CPU/NPU/GPU 机器相关参数:

  • $P_{peak}$: 可用的峰值性能 [操作数/秒]
  • $b_{max}$: 可用的峰值带宽 [字节/秒]

代码相关参数:

  • $I$: 计算强度 [操作数/字节] $ = \frac{\text{总浮点操作数(FLOPs)}}{\text{总内存访问量(Bytes)}}$

Roofline 模型可视化曲线如下图所示:

roof-line

Roofline 可以帮助识别程序的性能瓶颈,并指导优化(减少内存访问次数还是算法计算量 FLOPs),以及是否达到了硬件的能力上限。

性能瓶颈可能来自计算性能($P_{peak}$)或数据传输路径($I*b_{max}$)。通过 roofline 模型判断应用程序是在内存受限还是计算受限,进而进行有针对性的优化。举个例子,对于矩阵乘法: $A\times B = C$,其中 $A\in \mathbb{R}^{M\times k}, B \in \mathbb{R}^{M\times N},C \in \mathbb{R}^{M\times N}$,数据类型为 FP16,它的 Roofline 性能瓶颈分析如下:

$$\text{OI}\text{matmul} = \frac{2MNK}{MK + KN +MN} \ \text{ops/bytes}\text{A100} = \frac{312}{2.03} = 153$$

如果 $\text{OI}_\text{matmul} &lt; 153$,则矩阵乘法处于内存受限,反之则计算受限。

下表是 v100、a100、h100 卡的常用性能指标和 FP16 Tensor 算力的操作强度 oi:

GPU 显存 CUDA 核心数 FP16 Tensor Core 浮点运算能力 FP32 浮点运算能力 最大内存带宽 Tensor 运算强度(OI)
V100-SXM 16 GB 5120 125 TFLOPS 15.7 TFLOPS 900 GB/s 138 TOPS (FP16)
A100-SXM 40 GB / 80 GB 6912 312 TFLOPS 19.5 TFLOPS 2039 GB/s 153 TOPS (FP16)
H100-SXM 80 GB 8192 989 TFLOPS(不开启稀疏计算) 60 TFLOPS 3350 GB/s 295 TOPS (FP16)

下表是 llama7b、llama13b、llama70b、gpt3、模型的参数量、计算量和模型推理 prefill 阶段的显存占用量和内存访问代价及操作强度 oi:

1.2 Roofline 模型实例分析

分析并计算 LLaMA-13B 模型的 Roofline 性能。

1,计算操作强度(OI)

$$\text{OI} = \frac{n\times (24bsh^2 + 4bs^2h) + 2bshV}{1.2*12nh^2 + 4nbh(s+o)} = 7563.29\ \text{FLOPs/Byte}$$

2,Roofline 模型的理论限制(A100 卡)

  • 内存带宽:GPU 的内存带宽为 2039 GB/s。
  • 理论计算能力(FLOPs):GPU 的理论 FP16 计算能力为 312 TFLOPs($312 * 10^{12}$FLOPs)。

根据这些数据,绘制 Roofline 图可以显示性能的上限,并展示应用程序的瓶颈。

3,Python 代码示例:

我们可以用 Python 编写一个简单的脚本,计算矩阵乘法的操作强度,并估算性能。

import numpy as np

# 定义 LLaMA-13B 模型的参数
h = 5120    # 隐藏层维度
b = 8       # 推理时的批大小
s = 1024    # 输入序列长度
o = 1024    # 输出序列长度
n = 40      # Transformer 层数
V = 32000   # 词表大小

# 1. 计算每层的 FLOPs, 总 FLOPs = 每层 FLOPs * 层数
total_flops = n * (24*b*s*h*h + 4*b*s*s*h) + 2*b*s*h*V
print(f"Total FLOPs for LLaMA-13B: {total_flops / 10**12:.2f} TFLOPs")


# 2. 总的显存占用量(=显存访问量?), 2字节访问
total_memory_access = 1.2*12*n*h*h + 4*n*b*h*(s+o)  
print(f"Total memory access: {total_memory_access / 10**9:.2f} GB")

# 3. 计算操作强度(OI = FLOPs / Memory Access)
llama_oi = total_flops / total_memory_access
print(f"Operational Intensity (OI): {llama_oi:.2f} FLOPs/Byte")

# 4. 定义 A100-SXM3 硬件参数
peak_flops = 312 * 10**12  # 312 FP16 Tensor Core TFLOPs
memory_bandwidth = 2039 * 10**9  # 900 GB/s = 900 * 10^9 Bytes/s

# 计算 Roofline 中的两条线

oi_max = peak_flops / memory_bandwidth
# 带宽受限部分(FLOPs = OI * Memory Bandwidth)
bandwidth_bound_performance = oi_values * memory_bandwidth
# 计算受限部分(FLOPs = Peak FLOPs)
compute_bound_performance = np.full_like(oi_values, peak_flops)

该代码将输出矩阵乘法的操作强度以及带宽受限时的性能上限。通过比较实际的性能和理论峰值性能,我们可以判断该应用是否是计算受限还是内存受限。

1.3 AI 应用性能优化策略

roofline model picture
Many components contribute to the kernel run time
roofline_time

总结:

  1. AI 应用的推理时间取决于多个因素,我们应该关注主要因素,比如:内存读写和数学计算时间,而不是次要因素:网络带宽和磁盘读写时间。
  2. Roofline Model 有两个区域:内存带宽受限算力受限区域,分别对应两种不同的优化策略。网络层/模型的算术强度 < GPU 的 ops:byte ratio,即内存带宽限制;反之,则是模型算力 FLOPS 限制。
  3. AI 模型的推理时间取决于内存读取时间和 CPU/GPU 数学(乘加)计算时间,取决于哪个时间更长。一般来讲,当处于内存受限时,内存读取时间长;当处于算力受限时,数学计算时间长。

以 A100 GPU 为例,该硬件的 ops:byte ratio 是 $208$(V100 是 $138.9$),这意味着如果我们计算一个 token 的 kv 值,与计算多达 208 个 token 的时间几乎是相同的!因为低于这个数,会受到内存带宽的限制,且内存时间 > 数学计算时间;高于这个数,我们会受到算力 FLOPS 的限制。

ops:byte ratio 的计算公式,及 数学带宽 vs 内存带宽的理解,请参考文档《英伟达 GPU 性能分析指导》

参考资料