设f(x)是二次可微实函数，又设$x^{(k)}$是f(x)一个极小点的估计，我们把f(x)在$x^{(k)}$处展开成Taylor级数，
并取二阶近似。
上式中最后一项的中间部分表示f(x)在$x^{(k)}$处的Hesse矩阵。对上式求导并令其等于0，可以的到下式：
设Hesse矩阵可逆，由上式可以得到牛顿法的迭代公式如下 (1.1)
值得注意 ， 当初始点远离极小点时，牛顿法可能不收敛。原因之一是牛顿方向不一定是下降方向，经迭代，目标函数可能上升。此外，即使目标函数下降，得到的点也不一定是沿牛顿方向最好的点或极小点。 因此，我们在牛顿方向上增加一维搜索，提出阻尼牛顿法。其迭代公式是 (1.2)：
其中，lambda是由一维搜索（参考文献【1】了解一维搜索）得到的步长，即满足
前面介绍了牛顿法，它的突出优点是收敛很快，但是运用牛顿法需要计算二阶偏导数，而且目标函数的Hesse矩阵可能非正定。为了克服牛顿法的缺点，人们提出了拟牛顿法，它的基本思想是用不包含二阶导数的矩阵近似牛顿法中的Hesse矩阵的逆矩阵。
由于构造近似矩阵的方法不同，因而出现不同的拟牛顿法。
下面分析怎样构造近似矩阵并用它取代牛顿法中的Hesse矩阵的逆。上文 (1.2) 已经给出了牛顿法的迭代公式，为了构造Hesse矩阵逆矩阵的近似矩阵$H_{(k)}$ ，需要先分析该逆矩阵与一阶导数的关系。
设在第k次迭代之后，得到$x^{(k+1)}$ ，我们将目标函数f(x)在点$x^{(k+1)}$展开成Taylor级数，
并取二阶近似，得到
由此可知，在$x^{(k+1)}$附近有，
记
则有
又设Hesse矩阵可逆，那么上式可以写为如下形式。
这样，计算出p和q之后，就可以通过上面的式子估计Hesse矩阵的逆矩阵。因此，为了用不包含二阶导数的矩阵$H_{(k+1)}$取代牛顿法中Hesse矩阵的逆矩阵，有理由令$H_{(k+1)}$满足公式 (2.1) ：
公式**(2.1)**称为拟牛顿条件。
当Hesse矩阵的逆矩阵是对称正定矩阵时，满足拟牛顿条件的矩阵$H_{(k)}$也应该是对称正定矩阵。构造这样近似矩阵的一般策略是，$H_{(1)}$取为任意一个n阶对称正定矩阵，通常选择n阶单位矩阵I，然后通过修正$H_{(k)}$给定$H_{(k+1)}$。
令，
秩1校正公式写为如下公式**(2.2)**形式。
著名的DFP方法是Davidon首先提出，后来又被Feltcher和Powell改进的算法，又称为变尺度法。在这种方法中，定义校正矩阵为公式 (2.3)
那么得到的满足拟牛顿条件的DFP公式如下 (2.4)
查看文献【1】，了解DFP算法的计算步骤。
前面利用拟牛顿条件 (2.1) 推导出了DFP公式 (2.4) 。下面我们用不含二阶导数的矩阵$B_{(k+1)}$近似Hesse矩阵，从而给出另一种形式的拟牛顿条件 (2.5) :
将公式 (2.1) 的H换为B，p和q互换正好可以得到公式 (2.5) 。所以我们可以得到B的修正公式 (2.6) :
这个公式称关于矩阵B的BFGS修正公式，也称为DFP公式的对偶公式。设$B_{(k+1)}$可逆，由公式 (2.1) 以及 (2.5) 可以推出：
这样可以得到关于H的BFGS公式为下面的公式 (2.7):
这个重要公式是由Broyden,Fletcher,Goldfard和Shanno于1970年提出的，所以简称为BFGS。数值计算经验表明，它比DFP公式还好，因此目前得到广泛应用。
在BFGS算法中，仍然有缺陷，比如当优化问题规模很大时，矩阵的存储和计算将变得不可行。为了解决这个问题，就有了L-BFGS算法。L-BFGS即Limited-memory BFGS。
L-BFGS的基本思想是只保存最近的m次迭代信息，从而大大减少数据的存储空间。对照BFGS，重新整理一下公式：
之前的BFGS算法有如下公式**(2.8)**
那么同样有
将该式子带入到公式**(2.8)**中，可以推导出如下公式
假设当前迭代为k，只保存最近的m次迭代信息，按照上面的方式迭代m次，可以得到如下的公式**(2.9)**
上面迭代的最终目的就是找到k次迭代的可行方向，即
为了求可行方向r，可以使用two-loop recursion算法来求。该算法的计算过程如下，算法中出现的y即上文中提到的t：
算法L-BFGS的步骤如下所示。
在机器学习算法中，使用损失函数作为最小化误差，而最小化误差是为了让我们的模型拟合我们的训练数据，此时， 若参数过分拟合我们的训练数据就会有过拟合的问题。正则化参数的目的就是为了防止我们的模型过分拟合训练数据。此时，我们会在损失项之后加上正则化项以约束模型中的参数：
公式右边的第一项是损失函数，用来衡量当训练出现偏差时的损失，可以是任意可微凸函数（如果是非凸函数该算法只保证找到局部最优解）。 第二项是正则化项。用来对模型空间进行限制，从而得到一个更“简单”的模型。
根据对模型参数所服从的概率分布的假设的不同，常用的正则化一般有L2正则化（模型参数服从Gaussian分布）、L1正则化（模型参数服从Laplace分布）以及它们的组合形式。
L1正则化的形式如下
L2正则化的形式如下
L1正则化和L2正则化之间的一个最大区别在于前者可以产生稀疏解，这使它同时具有了特征选择的能力，此外，稀疏的特征权重更具有解释意义。如下图：
图左侧是L2正则，右侧为L1正则。当模型中只有两个参数，即$w_1$和$w_2$时，L2正则的约束空间是一个圆，而L1正则的约束空间为一个正方形，这样，基于L1正则的约束会产生稀疏解，即图中某一维(L2正则只是将参数约束在接近0的很小的区间里，而不会正好为0(不排除有0的情况)。对于L1正则产生的稀疏解有很多的好处，如可以起到特征选择的作用，因为有些维的系数为0，说明这些维对于模型的作用很小。
这里有一个问题是，L1正则化项不可微，所以无法像求L-BFGS那样去求。微软提出了OWL-QN(Orthant-Wise Limited-Memory Quasi-Newton)算法，该算法是基于L-BFGS算法的可用于求解L1正则的算法。
简单来讲，OWL-QN算法是指假定变量的象限确定的条件下使用L-BFGS算法来更新，同时，使得更新前后变量在同一个象限中(使用映射来满足条件)。
- 1 次微分
设$f:I\rightarrow R$是一个实变量凸函数，定义在实数轴上的开区间内。这种函数不一定是处处可导的，例如绝对值函数$f(x)=|x|$。但是，从下面的图中可以看出（也可以严格地证明），对于定义域中的任何$x_0$，我们总可以作出一条直线，它通过点(
凸函数$f:I\rightarrow R$在点$x_0$的次导数，是实数c使得：
对于所有I内的x。我们可以证明，在点$x_0$的次导数的集合是一个非空闭区间$[a, b]$，其中a和b是单侧极限。
它们一定存在，且满足$a \leqslant b$。所有次导数的集合$[a, b]$称为函数f在$x_0$的次微分。
- 2 伪梯度
利用次梯度的概念推广了梯度，定义了一个符合上述原则的伪梯度，求一维搜索的可行方向时用伪梯度来代替L-BFGS中的梯度。
其中
我们要如何理解这个伪梯度呢？对于不是处处可导的凸函数，可以分为下图所示的三种情况。
左侧极限小于0：
右侧极限大于0：
其它情况：
结合上面的三幅图表示的三种情况以及伪梯度函数公式，我们可以知道，伪梯度函数保证了在$x_0$处取得的方向导数是最小的。
- 3 映射
有了函数的下降的方向，接下来必须对变量的所属象限进行限制，目的是使得更新前后变量在同一个象限中，定义函数：$\pi: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$
上述函数$\pi$直观的解释是若$x$和$y$在同一象限则取$x$，若两者不在同一象限中，则取0。
- 4 线搜索
上述的映射是防止更新后的变量的坐标超出象限，而对坐标进行的一个约束，具体的约束的形式如下：
其中$x^{k} + \alpha p _{k}$是更新公式，$\zeta$表示$x^k$所在的象限，$p^k$表示伪梯度下降的方向，它们具体的形式如下：
上面的公式中，$v^k$为负伪梯度方向，$d^k = H_{k}v^{k}$。
选择$\alpha$的方式有很多种，在OWL-QN中，使用了backtracking line search的一种变种。选择常数$\beta, \gamma \subset (0,1)$，对于$n=0,1,2,...$，使得
- 5 算法流程
与L-BFGS相比，第一步用伪梯度代替梯度，第二、三步要求一维搜索不跨象限，也就是迭代前的点与迭代后的点处于同一象限，第四步要求估计Hessian矩阵时依然使用损失函数的梯度。
spark Ml调用breeze中实现的BreezeLBFGS来解最优化问题。
val optimizer = new BreezeLBFGS[BDV[Double]]($(maxIter), 10, $(tol))
val states =
optimizer.iterations(new CachedDiffFunction(costFun), initialWeights.toBreeze.toDenseVector) 下面重点分析lbfgs.iterations的实现。
def iterations(f: DF, init: T): Iterator[State] = {
val adjustedFun = adjustFunction(f)
infiniteIterations(f, initialState(adjustedFun, init)).takeUpToWhere(_.converged)
}
//调用infiniteIterations，其中State是一个样本类
def infiniteIterations(f: DF, state: State): Iterator[State] = {
var failedOnce = false
val adjustedFun = adjustFunction(f)
//无限迭代
Iterator.iterate(state) { state => try {
//1 选择梯度下降方向
val dir = chooseDescentDirection(state, adjustedFun)
//2 计算步长
val stepSize = determineStepSize(state, adjustedFun, dir)
//3 更新权重
val x = takeStep(state,dir,stepSize)
//4 利用CostFun.calculate计算损失值和梯度
val (value,grad) = calculateObjective(adjustedFun, x, state.history)
val (adjValue,adjGrad) = adjust(x,grad,value)
val oneOffImprovement = (state.adjustedValue - adjValue)/(state.adjustedValue.abs max adjValue.abs max 1E-6 * state.initialAdjVal.abs)
//5 计算s和t
val history = updateHistory(x,grad,value, adjustedFun, state)
//6 只保存m个需要的s和t
val newAverage = updateFValWindow(state, adjValue)
failedOnce = false
var s = State(x,value,grad,adjValue,adjGrad,state.iter + 1, state.initialAdjVal, history, newAverage, 0)
val improvementFailure = (state.fVals.length >= minImprovementWindow && state.fVals.nonEmpty && state.fVals.last > state.fVals.head * (1-improvementTol))
if(improvementFailure)
s = s.copy(fVals = IndexedSeq.empty, numImprovementFailures = state.numImprovementFailures + 1)
s
} catch {
case x: FirstOrderException if !failedOnce =>
failedOnce = true
logger.error("Failure! Resetting history: " + x)
state.copy(history = initialHistory(adjustedFun, state.x))
case x: FirstOrderException =>
logger.error("Failure again! Giving up and returning. Maybe the objective is just poorly behaved?")
state.copy(searchFailed = true)
}
}
}看上面的代码注释，它的流程可以分五步来分析。
protected def chooseDescentDirection(state: State, fn: DiffFunction[T]):T = {
state.history * state.grad
} 这里的*是重写的方法，它的实现如下：
def *(grad: T) = {
val diag = if(historyLength > 0) {
val prevStep = memStep.head
val prevGradStep = memGradDelta.head
val sy = prevStep dot prevGradStep
val yy = prevGradStep dot prevGradStep
if(sy < 0 || sy.isNaN) throw new NaNHistory
sy/yy
} else {
1.0
}
val dir = space.copy(grad)
val as = new Array[Double](m)
val rho = new Array[Double](m)
//第一次递归
for(i <- 0 until historyLength) {
rho(i) = (memStep(i) dot memGradDelta(i))
as(i) = (memStep(i) dot dir)/rho(i)
if(as(i).isNaN) {
throw new NaNHistory
}
axpy(-as(i), memGradDelta(i), dir)
}
dir *= diag
//第二次递归
for(i <- (historyLength - 1) to 0 by (-1)) {
val beta = (memGradDelta(i) dot dir)/rho(i)
axpy(as(i) - beta, memStep(i), dir)
}
dir *= -1.0
dir
}
} 非常明显，该方法就是实现了上文提到的two-loop recursion算法。
protected def determineStepSize(state: State, f: DiffFunction[T], dir: T) = {
val x = state.x
val grad = state.grad
val ff = LineSearch.functionFromSearchDirection(f, x, dir)
val search = new StrongWolfeLineSearch(maxZoomIter = 10, maxLineSearchIter = 10) // TODO: Need good default values here.
val alpha = search.minimize(ff, if(state.iter == 0.0) 1.0/norm(dir) else 1.0)
if(alpha * norm(grad) < 1E-10)
throw new StepSizeUnderflow
alpha
} 这一步对应L-BFGS的步骤的Step 5，通过一维搜索计算步长。
protected def takeStep(state: State, dir: T, stepSize: Double) = state.x + dir * stepSize 这一步对应L-BFGS的步骤的Step 5，更新权重。
protected def calculateObjective(f: DF, x: T, history: History): (Double, T) = {
f.calculate(x)
} 这一步对应L-BFGS的步骤的Step 7，使用传人的CostFun.calculate方法计算梯度和损失值。并计算出s和t。
//计算s和t
protected def updateHistory(newX: T, newGrad: T, newVal: Double, f: DiffFunction[T], oldState: State): History = {
oldState.history.updated(newX - oldState.x, newGrad :- oldState.grad)
}
//添加新的s和t，并删除过期的s和t
protected def updateFValWindow(oldState: State, newAdjVal: Double):IndexedSeq[Double] = {
val interm = oldState.fVals :+ newAdjVal
if(interm.length > minImprovementWindow) interm.drop(1)
else interm
} BreezeOWLQN的实现与BreezeLBFGS的实现主要有下面一些不同点。
override protected def chooseDescentDirection(state: State, fn: DiffFunction[T]) = {
val descentDir = super.chooseDescentDirection(state.copy(grad = state.adjustedGradient), fn)
// The original paper requires that the descent direction be corrected to be
// in the same directional (within the same hypercube) as the adjusted gradient for proof.
// Although this doesn't seem to affect the outcome that much in most of cases, there are some cases
// where the algorithm won't converge (confirmed with the author, Galen Andrew).
val correctedDir = space.zipMapValues.map(descentDir, state.adjustedGradient, { case (d, g) => if (d * g < 0) d else 0.0 })
correctedDir
} 此处调用了BreezeLBFGS的chooseDescentDirection方法选择梯度下降的方向，然后调整该下降方向为正确的方向（方向必须一致）。
override protected def determineStepSize(state: State, f: DiffFunction[T], dir: T) = {
val iter = state.iter
val normGradInDir = {
val possibleNorm = dir dot state.grad
possibleNorm
}
val ff = new DiffFunction[Double] {
def calculate(alpha: Double) = {
val newX = takeStep(state, dir, alpha)
val (v, newG) = f.calculate(newX) // 计算梯度
val (adjv, adjgrad) = adjust(newX, newG, v) // 调整梯度
adjv -> (adjgrad dot dir)
}
}
val search = new BacktrackingLineSearch(state.value, shrinkStep= if(iter < 1) 0.1 else 0.5)
val alpha = search.minimize(ff, if(iter < 1) .5/norm(state.grad) else 1.0)
alpha
} takeStep方法用于更新参数。
// projects x to be on the same orthant as y
// this basically requires that x'_i = x_i if sign(x_i) == sign(y_i), and 0 otherwise.
override protected def takeStep(state: State, dir: T, stepSize: Double) = {
val stepped = state.x + dir * stepSize
val orthant = computeOrthant(state.x, state.adjustedGradient)
space.zipMapValues.map(stepped, orthant, { case (v, ov) =>
v * I(math.signum(v) == math.signum(ov))
})
} calculate方法用于计算梯度，adjust方法用于调整梯度。
// Adds in the regularization stuff to the gradient
override protected def adjust(newX: T, newGrad: T, newVal: Double): (Double, T) = {
var adjValue = newVal
val res = space.zipMapKeyValues.mapActive(newX, newGrad, {case (i, xv, v) =>
val l1regValue = l1reg(i)
require(l1regValue >= 0.0)
if(l1regValue == 0.0) {
v
} else {
adjValue += Math.abs(l1regValue * xv)
xv match {
case 0.0 => {
val delta_+ = v + l1regValue //计算左导数
val delta_- = v - l1regValue //计算右导数
if (delta_- > 0) delta_- else if (delta_+ < 0) delta_+ else 0.0
}
case _ => v + math.signum(xv) * l1regValue
}
}
})
adjValue -> res
}【1】陈宝林，最优化理论和算法
【2】[Updating Quasi-Newton Matrices with Limited Storage](docs/Updating Quasi-Newton Matrices with Limited Storage.pdf)
【3】[On the Limited Memory BFGS Method for Large Scale Optimization](docs/On the Limited Memory BFGS Method for Large Scale Optimization.pdf)
【4】L-BFGS算法
【5】BFGS算法