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MATRICES
Matrices :
- vocabulaire :
- dimension 2, m*n
- si m == n, square matrix
- si m == 1, row matrix
- si n == 1, column matrix
- éléments sont des "entries"
- souvent noté A, B, C, ...
- indexes [i,j]. A[x,k] souvent noté Aₓₖ
- contrairement à C, et en accord avec R, row est avant column pour indexation ("RC" convention)
- main/major/leading/primary/principale diagonale :
- diagonale d'une square matrix allant de [0,0] à [n,n]
- pour rectangular matrix, row/columns en dehors du square sont des 0
- autre diagonale est l'anti/counter/secondary/minor diagonale
- égalité :
- A == B, si même dimensions et mêmes entries
- zero matrix :
- matrix dont tous les entries sont 0
- identity matrix :
- carré, 0 partout, sauf 1 dans la main diagonale
- notée Iₙ, pour une taille n
- elementary matrix :
- matrix pouvant être obtenue via une seule "elementary row operations" sur une identity matrix
- forment le general linear group of invertible matrices
- transposition :
- swap rows et colonnes
- noté A^t
- (A+B)^t = A^t + B^t
(A*B)^t = B^t * A^t
- inverse matrice :
- matrice A⁻¹ tel que A*A⁻¹ = Iₙ
- l'inverse d'A⁻¹ est de même A
- certaines matrices sont invertibles, d'autres non ("singular")
- rectangular matrices sont toujours singulars
- peut être trouvée avec une Gauss-Jordan reduction, où A⁻¹ est l'inconnu
- si non-invertible, une rangée de A sera remplie de 0 à un moment
- ex :
[1 -1]
[-1 -1]
[1 -1 1 0] [1 -1 1 0] [1 -1 1 0] [1 -1 1 0] [-1 1 -1 0] [-1 0 -1/2 1/2] [1 0 1/2 -1/2]
[-1 -1 0 1] [1 1 0 -1] [0 2 -1 -1] [0 1 -1/2 -1/2] [ 0 1 -1/2 -1/2] [ 0 1 -1/2 -1/2] [0 1 -1/2 -1/2]
Donc [ 1 -1]⁻¹ = [ 1/2 -1/2]
[-1 -1] [-1/2 -1/2]
- "diviser" (terme à éviter pour matrices) revient à multiplier par A⁻¹
- matrice 2*2 :
- "déterminant" est a*d - b*c
- si déterminant est 0, pas d'inverse
- inverse de [a c] peut être trouvé simplement par : [ d -c]/dét.
[b d] [-b a]
Matrices opérations :
- addition :
- simple addition des éléments entre eux
- multiplication :
- avec une valeur scalaire ("scalar multiplication") :
- simplement multiplication de la valeur avec chaque élément de la matrice
- avec une autre matrice :
- soit A*B = C
- alors C[i,j] = CrossProd(A[j,],B[,i])
- ex:
[a b] [e f] [ae+bg fa+bh]
[c d] * [g h] = [ce+dg cf+dh]
- propriétés :
- pas commutatif : A*B != B*A
- associatif : (AB)C = A(BC)
- distributif over addition : A(B + C) = AB + AC
- pour les square matrices :
- Iₙ*A = A
- avec un vecteur :
- pareil que matrice, sauf que produit vecteur (autres colonnes du résultat pas considérées)
- ex :
[a b] [e] [ae+bg]
[c d] * [g] = [ce+dg]
- par conséquent column matrice * row matrice donne une matrice multipliant chacun, et row * column donne sa somme
- dimension de produit de A et B :
- si A a dimension m₁*n₁ et B m₂*n₂
- n₁ doit == m₂
- produit a dimension m₁ * n₂
- outer product :
- soit deux vecteurs A et B
- A ⊗ B = A * B^t
- soit matrice produisant multiplication de chaque élément de A avec chaque élément de B
- généralisation à d'autres dimensions : multiplication de chaque élément de A avec B pareil, mais donne nombres de
dimensions supplémentaires
- inner product
- soit deux vecteurs A et B
- A · B = A^t * B
- soit scalaire égal à somme des multiplication de chaque élément de A et B entre eux
Gauss-Jordan reduction :
- sert à résoudre A*B = C, lorsque B est inconnu
- ne marche que si un B est possible
- sinon renvoie une matrice, mais elle n'est pas bonne (vérifier donc)
- concatène A et C en une seule matrice A∥C
- C contient les "constant terms"
- rangées sont notées Rₙ ou Rₓ
- utilise les "elementary operations" sur A∥C, car ne change pas le fait que A*B = C
- équivalent des opérations sur équations pour R, comme multiplier chaque côté, mais pour matrices
- types (a != 0) :
- row multiplication : Rₙ *= a (noté aRₙ)
- row addition : Rₙ += b*Rₓ (noté Rₙ + bRₓ)
- row switching : swap(Rₙ,Rₓ) (noté Rₙ <-> Rₓ)
- peuvent être reversed par une "inverse operation", avec même opération, mais a₂ = 1/a, b₂ = -b
- but : transformer A en Iₙ, de sorte d'avoir B = C
- A doit donc être squared
- étapes :
1) - sélectionner première case non-0 de R₁ comme "case pivot" d'une "colonne pivot"
- diviser R₁ par case pivot, de sorte que case pivot soit 1
2) Mettre à 0 toute la colonne pivot, sauf case pivot, avec pour chaque row (hors row de la case pivot) :
- Rₙ - bRₓ, où b = "case à mettre à 0"
3) faire pareil avec R₂, etc.
4) Diviser chaque row par case pivot, via aRₙ, pour que toutes cases pivot == 1
5) B = nouveau C
- optionel :
- simplification à toute étape avec un /= a (aRₙ) si row a nombre aux facteurs communs
- matrice est dite "reduced row echelon form" si solution d'un Gauss-Jordan reduction :
- dont row avec que des 0
- mais pas si row inconsistent ou si pas encore résolue entièrement avec des 1 et 0
- colonnes peuvent être swappées
- ex:
[1 3] * [x z] = [11 19]
[2 4] [y w] [16 28]
[1 3 11 19] [1 3 11 19] [1 3 11 19] [1 3 11 19] [1/3 1 11/3 19/3] [1/3 0 2/3 4/3] [1 0 2 4]
[2 4 16 28] [1 2 8 14] [0 -1 -3 -5] [0 1 3 5] [0 1 3 5] [0 1 3 5] [0 1 3 5]
Donc :
[x z] = [2 4]
[y w] [3 5]
1 -1 0
1 1 2
1 1
1 0 1
0 1 1
Matrices et équations :
- système équation peut être représentés par des produits de matrices ("augmented matrix") :
- {3x + 5y = 10}
{4x - 3y = 12}
[3 5] * [x] = [10]
[4 -3] [y] [12]
- première matrice est le coefficient matrice
- aussi noté A*X = C
- si variable absente, 0
- pour chaque row :
- si prochaine case pivot est 0 :
- si que des 0 sur R₂, etc. -> cette équation est équivalente
- si que des 0, sauf un des constant terms -> équation inconsistente
- sinon switch colonnes ou rangées pour continuer
- si plus d'équations que de variables, pour vérifier qu'équations supplémentaires sont redondantes, et non insolubles :
- résoudre avec dernière colonne comme pivot
- si constants terms = ceux d'équation du dessus, redondante, sinon système insoluble
- si moins d'équations que de variables, undetermined system :
- mettre terme résolu de l'autre côté de l'équation pour avoir
- peut ensuite être résolu par une Gauss-Jordan reduction
- solution peut aussi être trouvée par :
- si A*X = C, alors X = A⁻¹*C
- si A n'a pas d'inverse, système inconsistent ou redondant
- A doit être squared