Rajout des citations du chapitre intégration

acamanes · acamanes · commit 414f524b5468 · 2024-12-09T11:40:42.000+01:00
diff --git a/chapitres/integration/02-lemme_de_lebesgue.tex b/chapitres/integration/02-lemme_de_lebesgue.tex
@@ -86,7 +86,8 @@ \section{Lemme de \nom{Lebesgue}}\label{sec:lemmeLebesgue}
 \end{theo}
 
 % L'exercice suivant, issu du concours de l'\textsc{esm} Saint-Cyr 1995, donne une démonstration de ce résultat. 
-\begin{exercice}[\cite{esm_1_1995}]
+\begin{exercice}
+\marginpar[0cm]{Source : \cite{esm_1_1995}}
 \begin{questions}
     \item Pour tout $k,n \in \Ne$, on définit les intégrales
     \[
diff --git a/chapitres/integration/03-calculs_approches_d_integrales.tex b/chapitres/integration/03-calculs_approches_d_integrales.tex
@@ -352,7 +352,7 @@ \subsection{Et ensuite ?}
 I_p(f) = \sum_{i=0}^{n-1} (x_{i+1} - x_i) \bigg[ \sum_{j=0}^p \gamma_j f(x_i + (x_{i+1} - x_i) y_j) \bigg].
 \] 
 
-On peut montrer que~\cite{demailly16} :
+On peut montrer que~\cite{demailly2016} :
 \begin{itemize}
 \item lorsque $n = 1$, on retrouve la formule des trapèzes.
 
diff --git a/chapitres/integration/04-fonction_integrable_et_decroissante_sur_R_plus.tex b/chapitres/integration/04-fonction_integrable_et_decroissante_sur_R_plus.tex
@@ -3,9 +3,10 @@ \section{Fonctions décroissantes}
 \todoarmand{Pour une raison que je ne comprends pas, je n'arrive plus à compiler deux des figures.}
 \todoinline{Pas de problème chez moi}
 
-\todoinline{Ajouter un petit texte pour dire que si ça décroît on a plus de propriétés ?}
+Lorsque les intégrandes sont décroissantes, la convergence de l'intégrale permet d'obtenir des informations supplémentaires sur la fonction. Nous illustrons ces propriétés à l'aide de deux exemples.
 
-\todoinline{J'ai mis un format prop / exo pour coller aux autrees thèmes.}
+%-----------
+\subsection{Décroissante, intégrabilité, rapidité de convergence}
 
 \begin{prop}
 \marginnote[0cm]{Source : \cite{exos_oraux} p. 268}
@@ -98,9 +99,8 @@ \section{Fonctions décroissantes}
 % \todoarmand{Mettre un lien vers \url{http://ddmaths.free.fr/section115.html} ou pas car c'est très classique}
 
 
-\todoinline{Je passe en mode prop / exo}
-
-\medskip
+%-----------
+\subsection{Décroissance, intégrabilité, sommes de Riemann}
 
 Le résultat suivant constitue une généralisation du théorème de convergence des sommes de \nom{Riemann} pour des fonctions intégrables sur un intervalle ouvert.
 
@@ -163,12 +163,13 @@ \section{Fonctions décroissantes}
 \end{elemsolution}
 
 \begin{remarque}
-Une étude plus détaillée de ce résultat et de ses limites est discutée dans \cite{truc2019} p. 268.
+Une étude plus détaillée de ce résultat et de ses limites est discutée dans~\cite{truc2019} p. 268.
 \end{remarque}
 
 %---------------
 
-\begin{exercice}[{\cite{RMS 888 2016 - ENSAM}}]
+\begin{exercice}
+\marginpar[0cm]{Source : \cite{rms2016-2} Ex.~888 - ENSAM}
 Soit $\fonctionligne[f]{x}{\frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}}}$ définie sur $\interoo{1}{+\infty}$.
 \begin{questions}
 \item Étudier et tracer la fonction $f$.
diff --git a/chapitres/integration/05-calcul_une_integrale_impropre.tex b/chapitres/integration/05-calcul_une_integrale_impropre.tex
@@ -53,7 +53,8 @@ \section{Utilisation de symétries}
 \]
 \end{prop}
 
-\begin{exercice}[Intégrale d'\nom{Euler}, Oraux - CCP-PSI-2016]\label{exercice:integraleEuler}
+\begin{exercice}[Intégrale d'\nom{Euler}]\label{exercice:integraleEuler}
+\marginpar[0cm]{Source :  Oral - CCP-PSI-2016}
     Soient $I = \int_0^{\pi/2} \ln(\sin x) \d x$ et $J = \int_0^{\pi/2} \ln(\cos x) \d x$.
     \begin{questions}
         \item Montrer que $I$ et $J$ sont convergentes et que $I = J$.
diff --git a/chapitres/integration/07-permutation_somme_integrale.tex b/chapitres/integration/07-permutation_somme_integrale.tex
@@ -3,8 +3,6 @@ \section{Permutation somme/intégrale}
 %-----------
 \subsection{Du continu au discret}
 
-\todoinline{Lier avec la formule de Stirling}
-
 \begin{prop}{Développement asymptotique de la factorielle}
 Il existe une constante $\delta$ telle que
 \[
@@ -13,7 +11,9 @@ \subsection{Du continu au discret}
 Le résultat sur la formule de \nom{Stirling} montre que $\delta = \sqrt{2\pi}$.
 \end{prop}
 
-\todoinline{Ajout de l'exercice suivant (questions à partir de la preuve déjà rédigée. Reprise de certains points pour essayer de les rendre plus clairs}
+\begin{remarque}
+Une méthode pour déterminer la valeur de la constante $\delta$ est développée dans la partie~\ref{preuve_stirling}.
+\end{remarque}
 
 \begin{exercice}
 Soient $f$, $g$ deux fonctions continues sur $\Rp$ à valeurs positives. On suppose que $\int_0^{+\infty} f(t) \d t$ converge. On définit la suite $(b_n)_{n\in\N}$ par
@@ -99,11 +99,6 @@ \subsection{Du continu au discret}
 \end{reponses}
 \end{elemdemo}
 
-\todoinline{Je commente le résultat général de comparaison ainsi que les intégrales de Bertrand. Je pense qu'on n'a pas d'illustration pour les intégrer ici.}
-
-\todoinline{Voir le sujet de capes où il y avait des séries de nombres premiers. Ça les utilisait peut être, mais dans une partie séries numériques.
-}
-
 \begin{comment}
 \begin{prop}
     Soit $f: \Rp \rightarrow \C$ une fonction continue par morceaux et $g, h:\Rp \rightarrow \Rp$ deux fonctions continues par morceaux, strictement positives. On suppose que $f = o_{+\infty}(g)$ et $f \sim_{+\infty} h$.\\
@@ -158,8 +153,6 @@ \subsection{Du continu au discret}
 \end{demo}
 \end{comment}
 
-\todoinline{Je commente le sujet suivant qui était prometteur mais avec une finalité assez vide à part pour faire de la technique.}
-
 \begin{comment}
 \todoinline{J'ai mis dans "documents" le sujet Centrale PC 2003 - Il fait à la fois des relations de comparaisons, de l'intégrale de Bertrand à la fin et une intégrale fonction des bornes. C'est peut être une bonne idée !}
 
diff --git a/chapitres/integration/09-produit_de_convolution.tex b/chapitres/integration/09-produit_de_convolution.tex
@@ -17,7 +17,7 @@ \section{Produit de convolution}
 La fonction $f \ast g$ ainsi définie est le \emph{produit de convolution} de $f$ et $g$.
 \end{defi}
 
-Ce thème est inspiré du sujet Maths 1 - Centrale Supélec 2012 \cite{cs_1_2012}.
+Ce thème est inspiré du sujet Maths 1 - Centrale Supélec 2012~\cite{cs_1_2012}.
 
 %-----------
 \subsection{Propriétés du produit de convolution}
@@ -48,14 +48,17 @@ \subsection{Propriétés du produit de convolution}
 \end{demo}
 
 
-\todoinline{Ajouter des hypothèses au théorème suivant ?}
+\begin{comment}
+\todoinline{Ajouter un support compact pour avoir Fubini ?}
 
 \begin{theo}{}
 \[
 \mathcal{L}(f \ast g) = \mathcal{L}(f) \mathcal{L}(g)
 \]
 \end{theo}
 
+\end{comment}
+
 %-----------
 \subsection{Approximation de l'unité}
 
diff --git a/chapitres/integration/10-integrale_de_dirichlet.tex b/chapitres/integration/10-integrale_de_dirichlet.tex
@@ -406,17 +406,15 @@ \subsection{Une preuve par équations différentielles}
 %-----------
 \subsection{Pour aller plus loin}
 
-\todoinline{Mettre une citation pour ENSAIT-MP-1996}
-À l'aide d'intégrations par parties, on peut montrer que
+À l'aide d'intégrations par parties, on peut montrer que (voir~\cite{ensai_1_mp_1996})
 \[
 \int_0^{+\infty} \sinc(t) \d t
 = \int_0^{+\infty} \sinc^2(t) \d t
 = \int_0^{+\infty} \sinc^4(t) \d t
 = \frac{\pi}{2}.
 \]
 
-Plus généralement, les intégrales de \nom{Borwein} généralisent en un certain sens l'intégrale de \nom{Dirichlet}. En utilisant des calculs utilisant la tranformation de \nom{Fourier}, on peut montrer que
-\todoinline{Mettre une citation pour \url{https://perso.telecom-paristech.fr/rioul/publis/202301rioul.pdf}}
+Plus généralement, les intégrales de \nom{Borwein} généralisent en un certain sens l'intégrale de \nom{Dirichlet}. En utilisant des calculs utilisant la tranformation de \nom{Fourier}, on peut montrer que (voir~\cite{rioul}) :
 \begin{align*}
 \int_0^{\pi/2} \sinc(t) \d t &= \pi\\
 \int_0^{\pi/2} \sinc(t) \sinc(t/3) \d t &= \pi\\
diff --git a/chapitres/integration/12-integrale_de_wallis.tex b/chapitres/integration/12-integrale_de_wallis.tex
@@ -127,8 +127,6 @@ \subsection{Calcul de l'intégrale et démonstration de ses propriétés}
 %-----------
 \subsection{Formule de \nom{Stirling}} \label{preuve_stirling}
 
-\todoinline{Ajouter un texte d'introduction}
-
 \begin{theo}[Formule de \nom{Stirling}]
 \[
 n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{\e}\right)^n
@@ -314,10 +312,8 @@ \subsection{Séries génératrices}
 
 %---------------
 
-
-\todoinline{Ajouter lien ? Posé à l'ENSAM en 2016}
-
 \begin{exercice}
+\marginpar[0cm]{Oral : ENSAM - 2016}
 Montrer la convergence et déterminer la somme de la série $\sum (-1)^n \Wallis_n$.
 \end{exercice}
 
@@ -378,9 +374,10 @@ \subsection{Séries génératrices}
 \begin{comment}
 \todoinline{Je trouve que ça fait un peu beaucoup ou alors on ne donne pas de preuve pour l'exercice suivant.}
 
-\todoarmand{Nouvel exercice de \cite{exos_oraux}}
+\todoarmand{Nouvel exercice de }
 
 \begin{exercice}
+\marginpar[0cm]{Source : \cite{exos_oraux}}
     \textbf{Fonction de \textsc{Bessel} et intégrales de \textsc{Wallis}} \\
     Pour tout $x \in \R$, on note $J(x) = \displaystyle \int_0^{\pi/2} \cos\big(x \sin(t) \big) \d t$.
     \begin{enumerate}
@@ -392,7 +389,7 @@ \subsection{Séries génératrices}
 
 \subsection{Volume d'une boule en dimension \texorpdfstring{$n$}{n}}
 
-\todoinline{Ajouter un mot pour dire que les intégrales multiples ne sont pas vraiment au programme ?}
+La partie suivante constitue une ouverture mais utilise des notions d'intégrales multiples qui dépassent le cadre du programme des classes préparatoires.
 
 \begin{defi}{}
 La boule unité de $\R^n$ est définie par
@@ -490,8 +487,6 @@ \subsection{Volume d'une boule en dimension \texorpdfstring{$n$}{n}}
 \end{reponses}
 \end{solution}
 
-\todoinline{J'ai changé les ; en . dans la remarque car j'avais des difficultés à la lire. Il faudrait référencer le ch.13.}
-
 \begin{remarque}
 Interprétons physiquement ces considérations. En physique statistique, on utilise fréquemment l'espace des phases comprenant comme dimensions les six coordonnées de position et de vitesse de chaque particule. lorsque celles-ci sont en très grand nombre, l'espace des phases a énormément de dimensions. Supposons que nous mesurions la vitesse de chacune des $n$ particules : la moyenne $V$ de ces vitesses donnera une mesure macroscopique comme la témpérature ou la pression (quantités liées à la vitesse). Reportons cette mesure sur chacun des axes d'un espace à $n$ dimensions : les points considérés seront approximativement sur une coquille de rayon $V$ et d'épaisseur $\frac{V}{\sqrt{n}}$ (voir ch. 13). On peut également considérer que les vitesses vont se répartir dans une sphère de rayon inférieur ou égal à la plus grande mesure obtenue $V_\mathrm{max}$, mais comme les points se retrouveront quasiment à la surface, la plupart des vitesses seront environ $V_\mathrm{max}$ qui sera en fait la vitesse moyenne : nous retrouvons là l'hypothèse ergodique de \nompropre{Boltzmann} et \nompropre{Maxwell}. \url{http://promenadesmaths.free.fr/fichiers_pdf/volume%20en%20dim%20n.pdf} \url{https://www.phy.ulaval.ca/fileadmin/phy/documents/Bacc_PHY/Nathalie/Espace-phase-pdf.pdf}
 \end{remarque}
diff --git a/chapitres/integration/13-integrales_euleriennes.tex b/chapitres/integration/13-integrales_euleriennes.tex
@@ -7,7 +7,7 @@ \section{Intégrales eulériennes}\label{secinteuleriennes}
 Les fonctions eulériennes sont les plus importantes \say{ fonctions spéciales } de l'analyse classique, réelle et complexe. \nom{Legendre} les a nommées, classifiées et étudiées. Elles ont aussi été étudiées par \nom{Gauss}, \nom{Binet}, \textsc{Plana}, \textsc{Malmsten}, \textsc{Raabe}, \textsc{Weierstrass}, \textsc{Hankel}, H. \textsc{Bohr}, \textsc{Mollerup}, \textsc{Artin}, \ldots
 \todoarmand{Utiliser la commande nom}
 
-\todoinline{Je garde pour lecture dès que possible ! On met une citation ? J'ai l'impression que c'est American Monthly ?}
+On trouvera une présentation du contexte historique de l'extension de la fonction factorielle dans l'article~\cite{davis1959}.
 
 \todoarmand{
 \url{https://people.math.osu.edu/gautam.42/S20/DavisGammaFunction.pdf} : un texte passionnant qui raconte en détail toute l'aventure intellectuelle autour de la fonction Gamma et qui explique (p. 18-20) la manière dont on peut construire des pseudo fonctions Gamma qui vérifient l'essentiel des propriétés d'un prolongement de la fonction $n!$.}
@@ -186,9 +186,8 @@ \subsection{Fonction Gamma d'\nom{Euler}}\label{subsec:FonctionGammaEuler}
 %..............
 \subsubsection{Caractérisation de $\Gamma$}
 
-\todoinline{Ajout de cette partie - À relire rapidement - Ajouter une référence à Rudin, Analyse réelle et complexe ?}
-
 \begin{theo}{}
+\marginpar[0cm]{Source : \cite{rudin2009}}
 Soit $f$ une fonction définie sur $\Rpe$ telle que
 \begin{enumerate}
 \item pour tout $x > 0$, $f(x + 1) = x f(x)$,
@@ -286,9 +285,9 @@ \subsubsection{Caractérisation de $\Gamma$}
 
 %..............
 \subsubsection{$\Gamma$ et $\gamma$}
-\todoinline{Ajout de cette section - À relire rapidement - Mettre un lien vers $\gamma$ dans le chapitre suites et séries ? - Apparu également dans un sujet d'oral Centrale 2 (2021)}
 
 \begin{defi}{Constante $\gamma$ d'\nom{Euler}}
+\marginpar[0cm]{Oral : Centrale 2 - 2021}
 La limite suivante est bien définie et appelée constante $\gamma$ d'\nom{Euler} :
 \[
 \gamma = \lim_{n\to+\infty} \left(\ln(n) - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\right).
@@ -449,7 +448,7 @@ \subsubsection{Paramètres entiers}
 Sources : 
 \begin{itemize}
     \item \href{https://fr.wikipedia.org/wiki/Intégrale_d'Euler}{Intégrale d'\nom{Euler} -- \textsf{wikipedia.org}}
-    \item \cite{calcul_infinitesimal} Chapitre IV, 3 Intégrales eulériennes, page 125.
+    \item \cite{dieudonne1968} Chapitre IV, 3 Intégrales eulériennes, page 125.
 \end{itemize}
 }
 
@@ -713,9 +712,9 @@ \subsubsection{Bêta, Gamma et \nom{Wallis}}
 \]
 \end{remarque}
 
-\todoinline{Citer proprement (si nécessaire car tout ici est très classique : soit 
-\url{https://claude-gimenes.fr/mathematiques/calcul-integral/-i-integrales-euleriennes}
-}
+% \todoinline{Citer proprement (si nécessaire car tout ici est très classique : soit 
+% \url{https://claude-gimenes.fr/mathematiques/calcul-integral/-i-integrales-euleriennes}
+% }
 
 \begin{theo}{}
 Pour tout $n \in \N$,
diff --git a/chapitres/integration/14-theoreme_de_fubini.tex b/chapitres/integration/14-theoreme_de_fubini.tex
@@ -3,6 +3,7 @@ \section{Théorème de \nom{Fubini}}
 \url{https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./f/fubini.html} pour quelques éléments historiques sur les intégrales multiples. 
 
 \marginnote[0pt]{Ce théorème a été démontré par le mathématicien italien Guido \nom{Fubini} (1879--1943) en 1907.}
+
 \begin{theo}[\nom{Fubini}]
     Soit $\fonctionligne[f]{\interff{a}{b} \times \interff{c}{d}}{\K}$ une application continue. Alors,
     \[
@@ -71,11 +72,11 @@ \section{Théorème de \nom{Fubini}}
     \end{reponses}
 \end{solution}    
 
+\begin{comment}
+
 \todoarmand{Une application possible : le produit de convolution. J'ai pour l'instant simplement repris le théorème de l'un de mes cours de première année.}
 
 \todoinline{Le pb est que la démo précédente de Fubini ne fonctionne que sur un segment. J'aime bien aussi le produit de convolution, je crée un exercice dessus.}
-
-\begin{comment}
 \begin{theo}
     Soient $u$ et $v$ deux fonctions de $L^1(\R^d)$. \textcolor{red}{Pour presque tout} $x \in \R^d$, on peut définir
     \begin{equation}\label{defconvolution}
diff --git a/chapitres/integration/15-transformee_de_laplace.tex b/chapitres/integration/15-transformee_de_laplace.tex
@@ -38,7 +38,7 @@ \section{Transformée de \nom{Laplace}}
     % \item Théorème de convergence dominée
 % \end{itemize}
 
-\todoinline{Pointer vers CCP - MP - 2011}
+La plupart de ces résultats peuvent être retrouvés dans le sujet~\cite{ccp_1_mp_2011}.
 
 %-----------
 \subsection{Exemples de transformées de \nom{Laplace}}
@@ -83,7 +83,7 @@ \subsection{Exemples de transformées de \nom{Laplace}}
 
 \todoarmand{Résoudre problème avec adjustbox{valign=c}}
 \todoarmand{Ajouter les derniers graphes}
-\input{chapitres/integration/15-transformee_de_laplace-tableau}
+\input{chapitres/integration/illustrations/15-transformee_de_laplace-tableau}
 
 \begin{remarque}
 À un changement de variable près, on reconnaît, pour la dernière transformée de \nom{Laplace}, la fonction Gamma d'\nom{Euler}.\marginnote[0pt]{\href{subsec:FonctionGammaEuler}{\faLink~Fonction Gamma d'\nom{Euler}}}
@@ -284,11 +284,9 @@ \subsection{Théorème de la valeur initiale}
 
 %--------------
 \subsubsection{Méthode de \nom{Laplace}}
-\todoinline{Ajouter méthode de Laplace ? cf . Mines 2 - PC - 2017 - Un cas discret est traité, ici on traite un cas continu}
-
-\todoinline{Phrase introductive - Voir Rouvière - Petit guide de calcul différentiel pour un théorème plus complet}
 
 \begin{theo}{Méthode de Laplace}
+\marginpar[0cm]{Source : \cite{rouviere2009}}
 Soient $f$ une fonction de classe $\mathscr{C}^2$ et intégrable sur $\Rp$. Alors,
 \[
 F(t) = \int_0^{+\infty} \e^{-t x^2} f(t) \d x
@@ -298,6 +296,8 @@ \subsubsection{Méthode de \nom{Laplace}}
 
 \begin{remarque}
 Par rapport au théorème de la valeur initiale, la fonction $\e^{-t x}$ a été remplacée par $\e^{-t x^2}$. L'heuristique de la démonstration est identique, à savoir que dès que $t$ devient grand, seules les valeurs de $f$ proches de $0$ comptent. Une généralisation de ce résultat permet de retrouver la formule de \nom{Stirling}. 
+
+Pour une autre formulation de ce théorème dans un cadre légèrement différent, on pourra traiter le sujet~\cite{mines_2_pc_2017}.
 \end{remarque}
 
 \begin{exercice}
diff --git a/chapitres/integration/16-integrale_de_frullani.tex b/chapitres/integration/16-integrale_de_frullani.tex
@@ -7,6 +7,8 @@ \section{Intégrale de \nom{Frullani}}
 \todoarmand{
 Exercices 51, 52, 53 de \url{http://vonbuhren.free.fr/Prepa/Colles/integration_intervalle_quelconque.pdf}}
 
+\todoinline{Je ne mettrais pas de référence ici car c'est très classique.}
+
 \begin{theo}\label{theo:frullani}
 Soit $\fonctionligne[f]{\interoo{0}{+\infty}}{\R}$ une fonction continue et $\ell$ et $L$ deux réels tels que
 \[
diff --git a/chapitres/integration/18-normes_Lp.tex b/chapitres/integration/18-normes_Lp.tex
@@ -280,8 +280,8 @@ \subsection{Cas $p \geq 1$}
 \end{reponses}
 \end{solution}
 
-\todoinline{Pointer vers
-Exercice 2 de \url{https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~joel.merker/Enseignement/Integration/l-p-espaces.pdf}}
+% \todoinline{Pointer vers
+% Exercice 2 de \url{https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~joel.merker/Enseignement/Integration/l-p-espaces.pdf}}
 % \begin{exercice}
     % On considère les espaces $L^p(\R^d)$ pour  $0 < p < +\infty$. Montrer que si l'on a 
     % \[
@@ -310,7 +310,6 @@ \subsection{Inclusions entre les $L^p$}
 \begin{remarque}
 En utilisant des intégrales de \nom{Riemann}, on montre que ces inclusions sont fausses dès que $I$ n'est pas borné. \\
 En effet, choisissons $p$ et $q$ tels que $p > q$ et considérons $\alpha > 0$ avec la fonction $f(x) = \frac{1}{1+\module{x}^\alpha}$ pour $x \in \R$. Si on choisit $1/p < \alpha < 1/q$, alors $f \in L^p(\R)$ mais $f \not\in L^q(\R)$, donc $L^p(\R) \not\subset L^q(\R)$. \\
-Considérons maintenant la fonction $g(x) = \frac{1}{\module{x}^\alpha (1+x^2)}$ pour $x \in \R$. Si on choisit encore $\alpha$ tel que $1/p <  \alpha < 1/q$, alors $g \in L^q(\R)$ mais $g \not\in L^p(\R)$, donc $L^q(\R) \not\subset L^p(\R)$.
-\end{remarque}
-
-\todoinline{Pointer vers Rudin pour une caractérisation des inclusions}
+Considérons maintenant la fonction $g(x) = \frac{1}{\module{x}^\alpha (1+x^2)}$ pour $x \in \R$. Si on choisit encore $\alpha$ tel que $1/p <  \alpha < 1/q$, alors $g \in L^q(\R)$ mais $g \not\in L^p(\R)$, donc $L^q(\R) \not\subset L^p(\R)$.\\
+Des résultats plus précis concernant les inclusions entre espaces $L^p$ peuvent être trouvés dans~\cite{rudin2009}.
+\end{remarque}
diff --git a/chapitres/integration/19-integrale_dependant_des_bornes.tex b/chapitres/integration/19-integrale_dependant_des_bornes.tex
@@ -23,8 +23,6 @@ \subsection{Une modification du logarithme intégral}
 La fonction $x \mapsto \int_0^x \frac{1}{\ln(t)} \d t$ est la fonction \textsl{logarithme intégral}.
 \end{remarque}
 
-\todoinline{Ajout de l'exercice pour guider la démonstration.}
-
 \begin{exercice}
 \begin{questions}
 \item En utilisant la concavité du logarithme, montrer que
diff --git a/chapitres/integration/20-fonction_zeta.tex b/chapitres/integration/20-fonction_zeta.tex
@@ -1,10 +1,5 @@
 \section{Prolongement de la zêta de \nom{Riemann} par une intégrale}
 
-\todoinline{Fonction $\sinc$ et séries entières déplacée dans séries entières car pas d'intégrales.\\
-Section suivante sur Euler commentée car déjà présente ailleurs.}
-
-\todoinline{Titre modifié - On pourrait également déplacer cette partie dans les séries de fonctions}
-
 \begin{comment}
 \subsection{Fonction Gamma d'\textsc{Euler}}\label{prolongementFonctionGamma}
 
@@ -50,6 +45,7 @@ \subsection{Fonction Gamma d'\textsc{Euler}}\label{prolongementFonctionGamma}
 \label{subsec:fonctionZeta}
 
 \begin{theo}
+\marginpar[0cm]{\cite{rudin2006}, Ex.16 p.131}
 Pour tout $s > 1$,
 \[
 \zeta(s)
@@ -61,8 +57,6 @@ \subsection{Fonction Gamma d'\textsc{Euler}}\label{prolongementFonctionGamma}
 La fonction $I$ prolonge ainsi $\zeta$ sur le segment $]0, 1]$.
 \end{theo}
 
-\todoinline{Pointer vers Rudin Ex.16 p.131}
-
 %---------------
 \begin{exercice}
 \begin{questions}
diff --git a/chapitres/integration/21-inegalites_integrales.tex b/chapitres/integration/21-inegalites_integrales.tex
diff --git a/chapitres/integration/illustrations/15-transformee_de_laplace-tableau.tex b/chapitres/integration/illustrations/15-transformee_de_laplace-tableau.tex
diff --git a/chapitres/integration/integration_remarques.tex b/chapitres/integration/integration_remarques.tex
diff --git a/chapitres/polynomes/01-interpolation_de_lagrange.tex b/chapitres/polynomes/01-interpolation_de_lagrange.tex
diff --git a/main.bib b/main.bib
diff --git a/remarques.tex b/remarques.tex
