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03강　ALU : Arithmetic Operations.md

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🦄 ALU: Arithmetic Operations (3 / 13회차)


3.5 정수의 산술 연산　　　 kycho

[문제1]
다음 문장은 덧셈을 수행하는 하드웨어에 관한 설명입니다. 빈칸에 알맞는 답을 적으세요.

  • 1)_____는 여러 비트들로 이루어진 두 개의 데이터에 대한 덧셈을 수행하는 회로로서, 비트 수 만큼의 2)_____들로 구성이 되어있다.
    2)_____들은 3)_____를 전송하는 선에 의해 연결되어있다.

[문제2]
다음 그림은 상태비트 제어회로가 포함된 4비트 병렬가산기의 구성도 입니다. 빨간박스로 표시된 상태비트 (1),(2),(3),(4)의 명칭과 간단한 설명을 작성하세요.

image


[문제3]
다음은 정수의 덧셈과 뺄셈에 대한 설명입니다. 틀린것을 모두 고르세요.

  • 가) 2의 보수로 표현된 수들 간의 덧셈에서 올림수가 발생하면, 올림수를 버리고 결과값을 사용한다.
  • 나) 덧셈 과정에서 수의 표현 범위를 초과하는 경우에도 올바른 결과를 산출하게된다.
  • 다) 정수들의 뺄셈은 덧셈을 이용하여 수행할수 있다.
  • 라) 일반적으로 ALU에 뺄셈을 위한 회로를 별도로 두고 뺄셈을 수행한다.

[문제4]
다음 그림은 부호 없는 2진수 곱셈기의 구성도 입니다. 그림을 참고하여 아래의 물음에 답하세요.

image

  1. Q레지스터의 최하위 비트(Q0)가 1이면, 별도의 작업없이 C-A-Q레지스터의 모든 비트를 한비트씩 우측 시프트 시킨다. (O / X)
  2. 최종 연산의 결과는 A레지스터에 담겨있다. (O / X)
  3. 두개의 4비트 정수들을 곱하면 4번의 시프트가 발생한다 (O / X)
  4. 1101 X 0101 을 수행할때, C, A, Q, M 레지스터의 초기 상태를 구하여라.
  5. 1101 X 0101 을 수행할때, C, A, Q, M 레지스터의 종료 상태를 구하여라.
  6. 1101 X 0101 의 결과값을 구하여라.

[문제5]
2의 보수들 간의 곱셈을 위해 고안된 알고리즘 중 가장 널리 사용되고 있는 알고리즘은 Booth 알고리즘입니다.
Booth 알고리즘을 구현한 Booth 곱셈기와 부호 없는 2진수 곱셈기를 구성할때 차이점 2가지는 무엇인가요?


[문제6]
다음 그림은 Booth 알고리즘의 흐름도입니다. 빈칸에 알맞는 식을 써넣으세요.

image


📄 답지

[문제1]
다음 문장은 덧셈을 수행하는 하드웨어에 관한 설명입니다. 빈칸에 알맞는 답을 적으세요.

  • 1) 병렬 가산기(parallel adder)는 여러 비트들로 이루어진 두 개의 데이터에 대한 덧셈을 수행하는 회로로서, 비트 수 만큼의 2) 전가산기(full-adder)들로 구성이 되어있다.
    2) 전가산기(full-adder)들은 3) 올림수 비트(carry bit)를 전송하는 선에 의해 연결되어있다.

[문제2]
다음 그림은 상태비트 제어회로가 포함된 4비트 병렬가산기의 구성도 입니다. 빨간박스로 표시된 상태비트 (1),(2),(3),(4) 명칭과 간단한 설명을 작성하세요.

image

(1) 오버플로우(V) 플래그 : 최상위 캐리비트 2개를 XOR한 값으로 세트하며(V = C4 XOR C3), 오버플로우가 발생했는지 판단한다. 오버플로우가 발생하면 1로 세트된다.
(2) 영(Z) 플래그 : 합의 모든 비트들을 NOR 게이트를 통과시켜서, 0인지 아닌지 판단한다. 합의 모든 비트들이 0이면 1로 세트된다.
(3) 부호(S) 플래그 : 부호비트인 합의 최상위 비트와 직접 연결되며, 양수이면 0 음수이면 1로 세트된다.
(4) 올림수(C) 플래그 : 최상위 단계의 전가산기로부터 발생하는 올림수(C4)에 의해서 세트된다.


[문제3]
다음은 정수의 덧셈과 뺄셈에 대한 설명입니다. 틀린것을 모두 고르세요.

  • 가) 2의 보수로 표현된 수들 간의 덧셈에서 올림수가 발생하면, 올림수를 버리고 결과값을 사용한다.
  • 나) 덧셈 과정에서 수의 표현 범위를 초과하는 경우에도 올바른 결과를 산출하게된다.
  • 다) 정수들의 뺄셈은 덧셈을 이용하여 수행할수 있다.
  • 라) 일반적으로 ALU에 뺄셈을 위한 회로를 별도로 두고 뺄셈을 수행한다.
나), 라) 틀렸다.

나)
덧셈 과정에서 수의 푸현 범위를 초과하는 경우에는 전혀 틀린 결과를 산출하게 된다.
예를 들어서 4비트 데이터인 0110(6)과 0011(3)을 더하게 되면 0110 + 0011 = 1001(-7)이 나오게된다.
이것을 오버플로우(overflow)라고 한다.

라)
뺄셈은 덧셈을 이용하여 수행된다. 그러므로 일반적으로 ALU에 뺄셈을 위한 회로를 별도로 두지 않고 가산기를 이용하여 뺄셈을 수행한다.
아래의 이미지처럼 보수기를 이용해서 덧셈과 뺄샘을 겸용으로 사용할수 있는 회로를 구성한다.
image


[문제4]
다음 그림은 부호 없는 2진수 곱셈기의 구성도 입니다. 그림을 참고하여 아래의 물음에 답하세요.

image

  1. Q레지스터의 최하위 비트(Q0)가 1이면, 별도의 작업없이 C-A-Q레지스터의 모든 비트를 한비트씩 우측 시프트 시킨다. (O / X)

답 : X
제어 회로는 Q0비트를 검사하고, Q0 = 1인 경우에는 M레지스터 A레지스터의 덧셈을 수행하게 한뒤 C-A-Q레지스터의 모든 비트를 우측으로 한비트씩 시프트 시킨다. Q0 = 0 인경우에는 덧셈을 수행하지 않고 바로 시프트 시킨다.

  1. 최종 연산의 결과는 A레지스터에 담겨있다. (O / X)

답 : X
연산의 최종 결과는 A-Q레지스터에 담겨있다.

  1. 두개의 4비트 정수들을 곱하면 4번의 시프트가 발생한다 (O / X)

답 : O
n비트의 경우 n번의 우측 시프트 연산이 일어난다.

  1. 1101 X 0101 을 수행할때, C, A, Q, M 레지스터의 초기 상태를 구하여라.

C : 0 (0으로 초기화)
A : 0000 (0으로 초기화)
Q : 0101 (승수로 초기화)
M : 1101 (피승수로 초기화)

  1. 1101 X 0101 을 수행할때, C, A, Q, M 레지스터의 종료 상태를 구하여라.

C : 0
A : 0100
Q : 0001
M : 1101 (피승수, 변함없음)

C A Q
[초기 상태] 0 0000 0101
[사이클 1] 0 1101 0101 Q0 = 1 이므로, A ← A + M
0 0110 1010 우측 시프트( C-A-Q)
[사이클 2] 0 0011 0101 Q0 = 0 이므로, 우측 시프트( C-A-Q)만 수행
[사이클 3] 1 0000 0101 Q0 = 1 이므로, A ← A + M
0 1000 0010 우측 시프트( C-A-Q)
[사이클 4] 0 0100 0001 Q0 = 0 이므로, 우측 시프트( C-A-Q)만 수행
  1. 1101 X 0101 의 결과값을 구하여라.

답 : 65
A-Q레지스터의 값이 01000001(65)이다.
1101(13) X 0101(5) = 01000001(65)


[문제5]
2의 보수들 간의 곱셈을 위해 고안된 알고리즘 중 가장 널리 사용되고 있는 알고리즘은 Booth 알고리즘입니다.
Booth 알고리즘을 구현한 Booth 곱셈기와 부호 없는 2진수 곱셈기를 구성할때 차이점 2가지는 무엇인가요?

(1) M레지스터와 병렬 가산기 사이에 보수기(complementer)를 추가한다.

(2) Q레지스터 오른쪽에 Q-1이라고 부르는 1비트 레지스터를 추가하고, Q0와 함께 제어 회로로 입력되도록 한다.
(Q레지스터가 우측 시프트 될때, Q0 비트가 Q-1레지스터에 저장된다.)


[문제6]
다음 그림은 Booth 알고리즘의 흐름도입니다. 빈칸에 알맞는 식을 써넣으세요.

image

(1) A ← A - M
(2) A ← A + M




3.6 부동소수점 수의 표현　　　　 jakang

[문제1]

다음은 kycho가 IEEE 754 표준 32비트 부동소수점에 대한 특징을 논한 것이다. 설명 중 틀린 항목의 갯수는?

(가) 표준에 따르면 32비트 단일-정밀도 형식의 경우, 부호 (S) 1비트, 지수 (E) 8비트, 가수 (M) 23비트로 구성되어 있어.
(나) 지수 필드는 바이어스 된 2진수로 표현되어 있는데, 이 때 바이어스 값은 127이야.
(다) 그렇다면 지수 필드 패턴이 0000_0000일 때, 실제 지수 값은 바이어스 값 127을 뺀 -127이라고 할 수 있겠군!
(라) 이 경우 2-127이므로, (가수) 값에 상관없이 0에 가까운 아주 작은 값을 표현하게 되는 셈이군.
(마) 표준에서는 가수는 1.M X 2E-127의 형태를 가지는데, 여기서 소수점 위의 1은 숨겨진 비트라고 부르고, 가수 필드에는 나타내지 않는다고 하네.

[문제2]

다음은 jakang이 10진수 '-253.25'를 IEEE 754 표준 32비트 부동소수점 형식으로 표현하는 과정을 나타내었다. 절차 중 틀린 항목의 갯수는?

(가) 먼저 음수이므로, 부호 (S) 필드는 1이겠네.
(나) 253.25는 11111101.01(2)이므로, 1.111110101 X 27으로 정리할 수 있겠군.
(다) 그렇다면 지수 (E) 필드는 0000_0111에다가 바이어스 127인 0111_1111을 더한 1000_0110 이겠군.
(라) 가수 (M) 필드는 1111_1101_0100_0000_0000_000이네.
(마) 이를 전부 합치면 1 1000_0110 1111_1101_0100_0000_000 이겠군.

[문제3]

부동소수점 표현으로는 ’0’을 나타낼 수 없는 이유를 설명하고, IEEE 754 표준 32-비트 부동소수점 형식에서의 ‘0’에 대한 비트 패턴을 표시하세요.

[문제4]

10진수 '-1.625'를 IEEE 754 표준 32비트 부동소수점 형식으로 표현하세요.

📄 답지

[문제1] 주어진 보기는 모두 맞다

다음은 kycho가 IEEE 754 표준 32비트 부동소수점에 대한 특징을 논한 것이다. 설명 중 틀린 항목의 갯수는?

(가) (ㅇ) 표준에 따르면 32비트 단일-정밀도 형식의 경우, 부호 (S) 1비트, 지수 (E) 8비트, 가수 (M) 23비트로 구성되어 있어.
(나) (ㅇ) 지수 필드는 바이어스 된 2진수로 표현되어 있는데, 이 때 바이어스 값은 127이야.
(다) (ㅇ) 그렇다면 지수 필드 패턴이 0000_0000일 때, 실제 지수 값은 바이어스 값 127을 뺀 -127이라고 할 수 있겠군!
(라) (ㅇ) 이 경우 2-127이므로, (가수) 값에 상관없이 0에 가까운 아주 작은 값을 표현하게 되는 셈이군.
(마) (ㅇ) 표준에서는 가수는 1.M X 2E-127의 형태를 가지는데, 여기서 소수점 위의 1은 숨겨진 비트라고 부르고, 가수 필드에는 나타내지 않는다고 하네.

[문제2] (라)와 (마)가 틀렸다

다음은 jakang이 10진수 '-253.25'를 IEEE 754 표준 32비트 부동소수점 형식으로 표현하는 과정을 나타내었다. 절차 중 틀린 항목의 갯수는?

(가) (ㅇ) 먼저 음수이므로, 부호 (S) 필드는 1이겠네.
(나) (ㅇ) 253.25는 11111101.01(2)이므로, 1.111110101 X 27으로 정리할 수 있겠군.
(다) (ㅇ) 그렇다면 지수 (E) 필드는 0000_0111에다가 바이어스 127인 0111_1111을 더한 1000_0110 이겠군.
(라) (X) 가수 (M) 필드는 1111_1101_0100_0000_0000_000이네.
(마) (X) 이를 전부 합치면 1 1000_0110 1111_1101_0100_0000_000 이겠군.

가수 필드의 젤 첫 비트인 1은 숨겨진 비트이므로 생략. 즉, 111_1101_0100_0000_0000_0000이 맞다.
이를 (마)에 반영하면 1 1000_0110 111_1101_0100_0000_0000_0000이 정답이다.

[문제3]

부동소수점 표현으로는 ’0’을 나타낼 수 없는 이유를 설명하고, IEEE 754 표준 32-비트 부동소수점 형식에서의 ‘0’에 대한 비트 패턴을 표시하세요.

부동소수점 표현식을 살펴보면 (-1)S2E-127(1.M) 이므로, 표현할 수 있는 가장 작은 절대값은 2-127(1.0)이다. 즉, 표현할 수 있는 가장 작은 수인 지수와 가수가 모두 0인 경우를 0으로 하며,
0000_0000_0000_0000_0000_0000_0000_0000 혹은 1000_0000_0000_0000_0000_0000_0000_0000을 0이라고 할 수 있다.

[문제4]

10진수 '-1.625'를 IEEE 754 표준 32비트 부동소수점 형식으로 표현하세요.

1.625는 2진수로 표현하면 1.101이다.
부호 (S) 필드는 음수이므로 1
지수 (E) 필드는 0에서 127을 더한 0111_1111 가수 (E) 필드는 앞자리 1을 제외한 10100000...

그러므로 정답은 1_0111_1111_1010_0000_0000_0000_0000_000이다.



3.7 부동소수점 산술 연산　　 gaekim

[부동소수점 산술 연산 방법]

1. 덧셈 / 뺄셈

    1단계. 두 수의 지수가 같아지도록 만든다(소수점의 위치를 이동)

    2단계. 가수들끼리 덧셈 / 뺄셈한다

    3단계. 결과값을 정규화한다.(가수의 숫자가 소숫점 첫째자리에서 시작하도록)

          예시) 1.001001 x 2^5 → 0.1001001 x 2^6

2. 곱셈 / 나눗셈

    1단계. 가수끼리 곱한다

    2단계. 지수끼리 더하거나(곱셈) 뺀다(나눗셈)

    3단계. 정규화한다.
  • 다음 중 부동소수점 덧셈 과정에서 필요하지 않은 연산은 어느 것인가? [기본문제 3.15번]

       가. 지수 조정     나. 정규화     다. 지수 덧셈     라. 가수 덧셈

  • 다음 중 부동소수점 나눗셈 과정에서 필요하지 않은 연산은 어느 것인가? [기본문제 3.16번]

        가. 지수 조정     나. 정규화     다. 가수 나누기     라. 지수 뺄셈

  • 아래의 부동소수점 산술 연산들을 수행하고, 알맞은 답을 고르시오. [연습문제 3.24번 변형]

    1번> (0.111001 x 2-5) + (0.100111 x 2-3)

                  (가) 0.11011101 x 2-3     (나) 0.11010101 x 2-3     (다) 0.11011111 x 2-3     (라) 0.11010101 x 2-4

        2번> (0.100011 x 26) - (0.111001 x 23)

                 (가) 1.1011111 x 25     (나) 0.11111111 x 25    (다) 0.11011111 x 25     (라) 0.11011111 x 29

        3번> (0.1001 x 28) x (0.1011 x 212)

                 (가) 0.1100001 x 219     (나) 0.1010011 x 219    (다) 0.1100011 x 220     (라) 0.1100011 x 219

  • 부동소수점 산술연산 과정에서는 __ 오버플로우, __ 언더플로우, __ 언더플로우, __ 오버플로우 등의 문제가 발생할 가능성이 있다.
📄 답지
  • 다음 중 부동소수점 덧셈 과정에서 필요하지 않은 연산은 어느 것인가? [기본문제 3.15번]

        가. 지수 조정     나. 정규화     다. 지수 덧셈     라. 가수 덧셈

  • 다음 중 부동소수점 나눗셈 과정에서 필요하지 않은 연산은 어느 것인가? [기본문제 3.16번]

        가. 지수 조정     나. 정규화     다. 가수 나누기     라. 지수 뺄셈

  • 아래의 부동소수점 산술 연산들을 수행하고, 알맞은 답을 고르시오. [연습문제 3.24번 변형]

    1번> (0.111001 x 2-5) + (0.100111 x 2-3)

                  (가) 0.11011101 x 2-3     (나) 0.11010101 x 2-3     (다) 0.11011111 x 2-3     (라) 0.11010101 x 2-4

        2번> (0.100011 x 26) - (0.111001 x 23)

                 (가) 1.1011111 x 25     (나) 0.11111111 x 25    (다) 0.11011111 x 25     (라) 0.11011111 x 29

        3번> (0.1001 x 28) x (0.1011 x 212)

                 (가) 0.1100001 x 219     (나) 0.1010011 x 219    (다) 0.1100011 x 220     (라) 0.1100011 x 219

  • 부동소수점 산술연산 과정에서는 지수 오버플로우, 지수 언더플로우, 가수 언더플로우, 가수 오버플로우 등의 문제가 발생할 가능성이 있다.

    표현할 수 있는 범위를 넘어설 경우, 위와 같은 문제들이 발생할 수 있다.