Правки по линейной алгебре.

Всё по линейной алгебре отсюда поправлено: #11 (comment)  Кроме пары вопросов.

Author: gsvgit

tex/LinearAlgebra.tex

@@ -9,6 +9,18 @@ \section{Бинарные операции и их свойства}
 
 Введём понятие \textit{бинарной операции} и рассмотрим некоторые её свойства, такие как \textit{коммутативность} и \textit{ассоциативность}.
 
+\begin{definition}
+	\textit{Функцией} будем называть бинарное отношение на двух множествах $X$ и $Y$, такое, что каждому элементу из $X$ сопоставляется ровно один элемент из $Y$. Запись $f: X \to Y$ как раз и обозначает, что функция $f$ сопоставляет элементы из $X$ элементам из $Y$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Для функции $f: X \to Y$, множество $X$ называется \textit{областью определения функции} или \textit{доменом функции}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Для функции $f: X \to Y$, множество $Y$ называется \textit{областью значений функции} или \textit{кодоменом функции}.
+\end{definition}
+
 \begin{definition}
 	Функцию, принимающую два аргумента, $f: S \times K \to Q$ будем называть \emph{двухместной} или \emph{функцией арности два}.
 Для записи таких функций будем использовать типичную нотацию: $c = f(a,b)$.
@@ -143,7 +155,7 @@ \section{Полугруппа}
 \begin{itemize}
 	\item Множество положительных целых чисел с операцией сложения является коммутативной полугруппой.
 	\item Множество целых чисел с операцией взятия наибольшего из двух ($\max$) является коммутативной полугруппой.
-	\item Множество всех строк конечной длины (без пустой строки) над фиксированным алфавитом $\Sigma$ с операцией конкатенации является полугруппой. Так как конкатенация на строках не является коммутативной операцией, то и полугруппа не является коммутативной.
+	\item Множество всех строк конечной длины без пустой строки\footnote{Множество всех строк конечной длины c пустой строкой также является полугруппой. Однако, такая структура является ещё и моноидом, что будет показано далее.} над фиксированным алфавитом $\Sigma$ с операцией конкатенации является полугруппой. Так как конкатенация на строках не является коммутативной операцией, то и полугруппа не является коммутативной.
 \end{itemize}
 \end{example}
 
@@ -158,7 +170,7 @@ \section{Моноид}
 \begin{example} Приведём примеры моноидов, построенных на основе полугрупп из предыдущего раздела.
 
 \begin{itemize}
-	\item Неотрицательные целые числа с операцией сложения являются моноидом. Нейтральный элемент --- $0$.
+	\item Неотрицательные целые числа (или же натуральные числа с нулём) с операцией сложения являются моноидом. Нейтральный элемент --- $0$.
 	\item Целые числа, дополненные значением $-\infty$ (``минус-бесконечность'') с операцией взятия наибольшего из двух ($\max$) являются моноидом. Нейтральный элемент --- $-\infty$.
 	\item Множество всех строк конечной длины с пустой строкой (строка длины 0) над фиксированным алфавитом $\Sigma$ и операцией конкатенации является моноидом. Нейтральный элемент --- пустая строка.
 	\item Квадратные неотрицательные матрицы\footnote{Неотрицательной называется матрица, все элементы которой не меньше нуля.} фиксированного размера с операцией умножения задают моноид. Нейтральный элемент --- единичная матрица.
@@ -183,6 +195,14 @@ \section{Группа}
 Если операция $\circ$ коммутативна, то говорят, что группа \textit{Абелева}.
 \end{definition}
 
+\begin{example}
+Рассмотрим несколько примеров групп.
+\begin{itemize}
+	\item Целые числа $\mathbb{Z}$ с операцией сложения $+$ являются группой. Получается дополнением моноида из предыдущего раздела обратными по сложению элементами. 
+	\item Целые числа $\mathbb{Z}$ без нуля\footnote{При наличии нуля возникают трудности с нейтральным элементом. Логично считать $1$ --- нейтральным по умножению, однако $0\cdot1 = 0$, а не 1, как того требует определение.} с операцией умножения $\cdot$ не являются группой, так как нет обратных по умножению. Действительно, возьмём $a = 3$, тогда должен существовать $a^{-1} \in \mathbb{Z}$, такой что $3 \cdot a^{-1} = 1$. Видим, что $a^{-1} = \frac{1}{3}$, но $\frac{1}{3} \notin \mathbb{Z}$.
+	\item Множество обратимых\footnote{Квадратная матрица $M$ называется обратимой, если существует матрица $N$, называемая обратной, такая что $M \cdot N = N \cdot M I$, где $I$ --- единичная матрица. К сожалению, не все матрицы являются обратимыми, потому, чтобы сконструировать группу, нам приходится требовать обратимость явно.} матриц с операцией матричного умножения задают группу.
+\end{itemize}
+\end{example}
 
 \section{Полукольцо}
 
@@ -246,14 +266,19 @@ \section{Полукольцо}
 	\item $(a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)$ по определению $\odot$
     \item $\{\varepsilon\} \odot a = \{\varepsilon \cdot w \mid w \in a \} = \{w \mid w \in a \} = a \odot \{\varepsilon\} = a$
 \end{itemize}
-Вообще говоря, сконструированный нами моноид не является коммутативным: легко проверить, например, что для любых непустых $a,b \in R, a \neq b, a \neq \{\varepsilon\}, b \neq \{\varepsilon\}$: $a \cdot b \neq b \cdot a$ по причине некоммутативности конкатенации строк.
+Вообще говоря, сконструированный нами моноид не является коммутативным: легко проверить, например, что существуют непустые $a,b \in R, a \neq b, a \neq \{\varepsilon\}, b \neq \{\varepsilon\}$: $a \cdot b \neq b \cdot a$ по причине некоммутативности конкатенации строк.
 
 \item $\odot$ дистрибутивно слева и справа относительно $\cup$:
 \begin{itemize}
 	\item $a \odot (b \cup c) = \{ w_1 \cdot w_2 \mid  w_1 \in a, w_2 \in b \cup c\} = \{ w_1 \cdot w_2 \mid  w_1 \in a, w_2 \in b \} \cup  \{ w_1 \cdot w_2 \mid  w_1 \in a, w_2 \in c \} =  (a \odot b) \cup (a \odot c)$
     \item Аналогично, $(a \cup b) \odot c = (a \odot c) \cup (b \odot c)$
 \end{itemize}
-При этом, в общем случае, $a \odot (b \cup c) \neq (b \cup c) \odot a$ из-за некоммутативности операции $\odot$.
+При этом, в общем случае, $a \odot (b \cup c) \neq (b \cup c) \odot a$ из-за некоммутативности операции $\odot$. Действительно, 
+
+\begin{align*}
+	& \{``a"\}\odot(\{``b"\} \cup \{``c"\}) = \{``a"\}\odot \{``b" \ ,``c" \} =  \{``ab"\ ,``ac" \} \neq \\
+	\neq & (\{``b"\} \cup \{``c"\}) \odot \{``a"\} =  \{``b",``c" \} \odot \{``a"\} =  \{``ba"\ ,``ca" \}
+\end{align*}
 
 
 \item $\varnothing$ является \textit{аннигилятором} по умножению: для любого $a \in R$ верно, что
@@ -294,7 +319,20 @@ \section{Кольцо}
 
 \end{enumerate}
 
-Заметим, что мультипликативное свойство $\mathbb{0}$ (быть аннигилятором по умножению) не указыватеся явно, так как может быть выведено из остальных утверждений.
+Заметим, что мультипликативное свойство $\mathbb{0}$ (быть аннигилятором по умножению) не указыватеся явно, так как может быть выведено из остальных утверждений. Действительно, 
+\begin{enumerate}
+	\item $a \otimes \mathbb{0} = a \otimes (\mathbb{0} \oplus \mathbb{0})$, так как $\mathbb{0}$ --- нейтральный по сложению, то $\mathbb{0} \oplus \mathbb{0} = \mathbb{0}$
+	\item Воспользуемся дистрибутивностью: $a \otimes (\mathbb{0} \oplus \mathbb{0}) = a \otimes \mathbb{0} \oplus a \otimes \mathbb{0}$. В итоге: $a \otimes \mathbb{0} = a \otimes \mathbb{0} \oplus a \otimes \mathbb{0}$
+	\item Так как у нас есть группа по сложению, то для любого $a$ существует обратный элемент $a^{-1}, a \oplus a^{-1} = \mathbb{0}$. Прибавим $a^{-1} \otimes \mathbb{0}$ к левой и правой части равенства\footnote{Обычно данное действие воспринимается как очевидное, но, строго говоря, оно требует аккуратного введения структур с равенством и соответствующих аксиом.}, полученного на предыдущем шаге: 
+	$$a \otimes \mathbb{0} \oplus a^{-1} \otimes \mathbb{0} = a \otimes \mathbb{0} \oplus a \otimes \mathbb{0} \oplus a^{-1} \otimes \mathbb{0}.$$
+	\item Воспользуемся дистрибутивностью и ассоциативностью.
+	\begin{align*}
+	(a \oplus a^{-1}) \otimes \mathbb{0} & = a \otimes \mathbb{0} \oplus (a  \oplus a^{-1}) \otimes \mathbb{0} \\
+	\mathbb{0} \otimes \mathbb{0} & = a \otimes \mathbb{0} \oplus \mathbb{0} \otimes \mathbb{0} \\
+	\mathbb{0} & = a \otimes \mathbb{0}
+	\end{align*}	
+	\item Аналогично можно доказать, что $\mathbb{0} = \mathbb{0} \otimes a$.
+\end{enumerate}
 
 \end{definition}
 
@@ -353,11 +391,10 @@ \section{Матрицы и вектора}
 Примерами структурных операций является \textit{транспонирование}, \textit{взятие подматрицы} и \textit{взятие элемента по индексу}.
 
 \begin{definition}[Транспонирование матрицы]
-Пусть дана матрица $M_{n\times m}$. Тогда результат её \emph{транспонирования}
-$
-M_{n\times m}^T = M'_{m\times n},
-$
-такая что $M'[i,j] = M[j,i]$ для всех $0\leq i \leq m - 1$ и $0\leq j \leq n - 1$.
+Пусть дана матрица $M_{n\times m}$. Тогда результат её \emph{транспонирования}, это такая матрица $M'_{m\times n}$, что $M'[i,j] = M[j,i]$ для всех $0\leq i \leq m - 1$ и $0\leq j \leq n - 1$.
+
+Операцию транспонирования принято обозначать как $M^{T}$.
+
 \end{definition}
 
 \begin{example}
@@ -418,7 +455,7 @@ \section{Матрицы и вектора}
 
 \begin{definition}[Поэлементные операции]
 
-Пусть $G = (S,\circ)$ --- полугруппа, $M_{n \times m}, N_{n\times m}$ --- две матрицы одинакового размера над этой полугруппой.
+Пусть $G = (S,\circ)$ --- полугруппа\footnote{Здесь, как и в дальнейшем, требование к структуре быть полугруппой не обязательно. Оно лишь позволяет нам получить ассоциативность соответствующих операций над матрицами, что может оказаться полезным при дальнейшей работе.}, $M_{n \times m}, N_{n\times m}$ --- две матрицы одинакового размера над этой полугруппой.
 Тогда
 $
 ewise(M,N,\circ) = P_{n \times m}
@@ -640,9 +677,9 @@ \section{Теоретическая сложность умножения мат
 \end{algorithmic}
 \end{algorithm}
 
-Сложность наивного произведения двух матриц составляет $O(n^3)$, что очевидным образом следует из псевдокода. Но можно ли улучшить этот алгоритм? Первый положительный ответ был опубликовал Ф. Штрассен в 1969 году~\cite{Strassen1969}. Сложность предложенного им алгоритма --- $O(n^{\log_2 7}) \approx O(n^{2.81})$. Основная идея --- рекурсивное разбиение исходных матриц на блоки и вычисление их произведения с помощью только 7 умножений, а не 8.
+Сложность наивного произведения двух матриц составляет $O(n^3)$ из-за тройного вложенного цикла, где каждый уровень вложенности привносит $n$ итераций. Но можно ли улучшить этот алгоритм? Первый положительный ответ был опубликовал Ф. Штрассен в 1969 году~\cite{Strassen1969}. Сложность предложенного им алгоритма --- $O(n^{\log_2 7}) \approx O(n^{2.81})$. Основная идея --- рекурсивное разбиение исходных матриц на блоки и вычисление их произведения с помощью только 7 умножений, а не 8.
 
-Рассмотрим алгоритм Штрассена более подробно. Пусть $A$ и $B$ --- две квадратные матрицы размера $2^n \times 2^n$\footnote{Если размер умножаемых матриц не является натуральной степенью двойки, мы дополняем исходные матрицы дополнительными нулевыми строками и столбцами.} над кольцом $R=(S,\oplus,\otimes)$. Наша задача найти матрицу $C = A \cdot B$.
+Рассмотрим алгоритм Штрассена более подробно. Пусть $A$ и $B$ --- две квадратные матрицы размера $2^n \times 2^n$ над кольцом $R=(S,\oplus,\otimes)$. Если размер умножаемых матриц не является натуральной степенью двойки, то дополняем исходные матрицы дополнительными нулевыми строками и столбцами. Наша задача найти матрицу $C = A \cdot B$.
 
 Разделим матрицы $A, B$ и $C$ на четыре равные по размеру блока.
 $$
@@ -663,7 +700,7 @@ \section{Теоретическая сложность умножения мат
  \end{pmatrix}
 $$
 
-На основе определения произведения матриц легко убедиться, что выполняются следующие равенства.
+По определению произведения матриц выполняются следующие равенства.
 \begin {align*}
 C_{1,1}&= A_{1,1} \cdot B_{1,1} + A_{1,2} \cdot B_{2,1} \\
 C_{1,2}&= A_{1,1} \cdot B_{1,2} + A_{1,2} \cdot B_{2,2} \\