数学公式识别问题

[652036]

数学部分问题一些公式预览不出来

大佬能优化一下吗

[Dooy]

后面看看 如何优化下
能否把这段贴出来 ？

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求


lim


x
→
+
∞



 

i
n
x
−

x
e

+
1

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要求解这个极限：

[
\lim_{x \to +\infty} (\ln{x} - \frac{x}{e} + 1)
]

我们可以直接分析每一项的行为。随着$x$趋向于无穷大：

• $\ln{x}$增长无界，但是增长速度慢于线性函数。
• $-\frac{x}{e}$项也趋向于无穷大，且由于它是$x$的线性函数，其增长速度快于$\ln{x}$。
• 常数项$+1$对极限的影响可以忽略。

因此，整个表达式的行为主要由$-\frac{x}{e}$这一项决定，它导致整个表达式趋向于负无穷大。所以，这个极限的结果是：

[
-\infty
]
有时候这个公式能显示有时候就显示不了

[652036]

后面看看 如何优化下 能否把这段贴出来 ？

为了计算极限 (\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2 - 4x + 5} - 2x}{x})，我们首先观察根号内的表达式 (\sqrt{4x^2 - 4x + 5})。

当 (x) 趋向负无穷时，(4x^2) 是主导项。我们可以通过因式分解 (4x^2) 来简化根号内的表达式：

[
\sqrt{4x^2 - 4x + 5} = \sqrt{4x^2(1 - \frac{1}{x} + \frac{5}{4x^2})} = 2|x|\sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{5}{4x^2}}
]

因为 (x) 是负数，所以 (|x| = -x)，进而有：

[
\sqrt{4x^2 - 4x + 5} = 2(-x)\sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{5}{4x^2}}
]

我们接下来使用 (1 - \frac{1}{x} + \frac{5}{4x^2}) 的泰勒展开近似：

[
\sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{5}{4x^2}} \approx 1 - \frac{1}{2x} + \frac{5}{8x^2}
]

所以，

[
\sqrt{4x^2 - 4x + 5} \approx 2(-x)\left(1 - \frac{1}{2x} + \frac{5}{8x^2}\right) = -2x + 1 - \frac{5}{4x}
]

代入原极限公式中，

[
\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2 - 4x + 5} - 2x}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-2x + 1 - \frac{5}{4x} - 2x}{x}
]

[
= \lim_{x \to -\infty} \frac{-4x + 1 - \frac{5}{4x}}{x} = \lim_{x \to -\infty} \left(-4 + \frac{1}{x} - \frac{5}{4x^2}\right)
]

因为 (\frac{1}{x}) 和 (\frac{5}{4x^2}) 在 (x) 趋向负无穷时都趋向于 0，所以极限值为：

[
-4
]

这种情况也有整个回答都没有公式预览

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他用的好像是LaTeX格式

[Dooy]

集中这里 解决了 #345

[Dooy]

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