Numerisk Analys - Cheat Sheet
Ändar strukturen på momenten
Absolutfel
$$
\delta x = \hat{x} - x
$$
Där $\hat{x}$ är det approximativa värdet och $x$ är det riktiga värdet
Exempel
$\delta x = 3.14159 - \pi = -2.65*10^{-6}$
Relativa fel
$$
\frac{\delta x}{x} \approx \frac{\delta x}{\hat{x}} = \rho
$$
Exempel
$\rho = \frac{-2.6510^{-6}}{3.1415} = -8.45 10^-7$
Korrekt decimal
$$
|\delta x| \le 0.5*10^{-t}
$$
Man säger att $\hat{x}$ har t rätta decimaler
Exempel
$-2.6510^{-6} > 0.5 10^{-1}$
$-2.6510^{-6} > 0.5 10^{-2}$
$-2.6510^{-6} > 0.5 10^{-3}$
$-2.6510^{-6} > 0.5 10^{-4}$
$-2.6510^{-6} > 0.5 10^{-5}$
$-2.6510^{-6} > 0.5 10^{-6}$
$-2.6510^{-6} < 0.5 10^{-7}$
$\hat{x}$ har 7 korrekta decimaler
Signifikanta siffror
$$
\sigma = t+1
$$
Där $\sigma$ betecknar antalet signifikanta siffror
$\sigma = 7 + 1 = 8$
$$
\int_a^b f(x) dx = \sum_{i=1}^n w_if(x_i) + R_T \
R_T \text{ är trunkeringsfelet}
$$
$$
\int_a^b f(x) dx = \frac{b-a}{2} {f(a) + f(b)} \\
R_T = \frac{f''(\xi)}{12}(b-a)^3 \quad, \quad a \leq \xi \leq b
$$
$$
\bold{\text{Exempel}} \\
$$
$$
\text{Tre punkter behövs} \quad [a,b,c] \quad \text{,} \quad c = \frac{a+b}{2} \\
\int_a^b f(x)dx = \frac{b-a}{6}{f(a)+f(b)+4*f(c)} \\
R_T = \frac{f^{(4)}(\xi)}{2880}(b-a)^5 \quad, \quad a \leq \xi \leq b
$$
$$
\bold{\text{Exempel}} \\
$$
$$
n\text{ är antalet delintervall och } h \text{ är längden på intervallen} \\
T(h) = h\left{\frac{f(x_0)}{2} + f(x_1) + \dots + f(x_{n-1} + \frac{f(x_n)}{2})\right} \quad \text{,} \quad x_i = a+ih \\
R_T = \frac{b-a}{12}h^2f''(\xi) \quad, \quad a \leq \xi \leq b \\
h = \frac{b-a}{n}
$$
$$
\bold{\text{Exempel}} \\
$$
$$
n\text{ är antalet delintervall och } h \text{ är längden på intervallen} \\
S(h) = \frac{h}{3}\left{f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1} + f(x_n)\right} \quad \text{,} \quad x_i = a+ih \\
R_T = \frac{b-a}{180}h^4f^{(4)}(\xi) \quad, \quad a \leq \xi \leq b \\
h = \frac{b-a}{2n}
$$
$$
\bold{\text{Exempel}} \\
$$
Richardsonextrapolation
$$
T^{(2)}(h) = T(h) + \frac{T(h) - T(2h)}{3}\
|R_T| \leq |T(h) - T(2h)| \qquad\text{(Kalls för tumreglen)} \ \text{ }\
\bold{\text{Not:}}\text{ Om man använder trapetsformeln plus Richardsonextrapolation får man simpsons formel}
$$
$$
\bold{\text{Exempel}} \\
$$
$$
\text{När man använder upprepad Richardsonextrapolation på trapetsformeln kallas det Rombers metod} \\
\text{Nästa steg blir:} \\
T^{(3)}(h) = T^{(2)}(h) + \frac{T^{(2)}(h) - T^{(2)}(2h)}{15}\\
\vdots \\
T^{(n)}(h) = \dots \ \text{ } \\
|R_T| \leq |T(h) - T(2h)|
$$
Generaliserade integraler ##Checklista på saker man ska kunna
Sybol
Krav med hänseende till tentamen
✅
Ska kunna
⚠️ Förkunskap till de andra formlerna. Bör ha koll på men behöver inte kunna
❓
Osäker om man behöver kunna
Absolut fel
Relativ fel
Korrekt decimal
Signifikana siffror
Felfortplantning, envariable
Felfortplantning, fler variabler
Kondition och kontitionstal
bakåt fel
frammåt fel
Flyttalssystem
Newtons metod - dämpad - hybrid
Sekantmetoden
Intervallhalverinsmetoden
Fixpunktmedtoden
Jacobymatrisen
Newtons metod för system - dämpad - hybrid
Fixpunktmetoden för system
Lösningsnogranhet/metodberonde feluppskattning
Lösningsnogranhet för system
⚠️ Kvadraturformler⚠️ ❓ Trapetsreglen⚠️ ❓ Simsons regel✅ Trapets formlen
✅ Simpsons formel
✅ Richardsonextrapolation
✅ Rombergs metod
✅ Generaliserade integraler